初中数学培优：乘法公式

1、2222 22)=a b222223 3 2 2 34 4 3 2 2 3 45 5 4 3 22 3 4 53 2 2 3 4 44223455 4 3 2 2 3 4 5 6 62n 12n 22n 322n 22n 1 2n2n 2n 1 2n 2 22n 1 2n 2n+1 2n+1 初中数学培优：乘法公式【知识精读】1 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、 根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解）， 还要记住一些重要的变形及其逆运

2、算除法等。2 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。完全平方公式：(ab) =a2ab+b ,平方差公式：（a+b）(ab)=a b立方和（差）公式：(ab)(a 3.公式的推广：ab+b2 3 3 多项式平方公式：(a+b+c+d) =a+b+c+d+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的 2 倍。 二项式定理：(ab) =a 3a b+3ab b(ab) =a 4a b+6a b 4ab +b ）（ab） =a 5a b+10a b 10a b 5ab b ） 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 由平

3、方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a a b+ab b )=a b(a+b)(a a3b+abab +b)=a+b5(a+b)(a a b+a b a b +ab b )=a b注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设 n 为正整数(a+b)(a a b+a b ab b)=ab2n(a+b)(a a b+a b ab +b )=a +b 类似地：n 1 n 2 n 3 2n 2 n 1 n n 2 222 223 3 2 2 3 3 33 33n n2n+12n 2n2 23 34 45 52 2223 3334422224225 5

4、4 3 2 2 3 44 42 2 2 24 2 2 225322 22 2 2222222 111222 111 2 111 111 111 111（ab）(a +a b+a b +ab +b )=a b 4. 公式的变形及其逆运算由（a+b） =a +2ab+b得 a +b =(a+b) 2ab由 (a+b) =a +3a b+3ab +b =a +b +3ab(a+b) 得 a +b =(a+b) 3ab(a+b)由公式的推广可知：当 n 为正整数时 a b 能被 ab 整除,a +b2n+1能被 a+b 整除,a b 能被 a+b 及 ab 整除。【分类解析】例 1. 己知 x+y=a

5、 xy=b求 x +yx +yx +yx +y解： x +y (x+y) 2xya 2bx +y (x+y) 3xy（x+y）a 3abx4+y(x+y) 4xy（x+y）6xya4a b2b例2.x +y （x+y）(x x y+x y xy +y )=(x+y)x +y xy(x +y )+x y =aa 4a b+2b b(a 2b)+b a 5a b+5ab求证：四个連续整数的积加上 1 的和，一定是整数的平方。证明：设这四个数分别为 a, a+1, a+2, a+3 (a 为整数)a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a +3a)(a +3a+

6、2)+1=(a +3a) +2(a +3a)+1=(a +3a+1)a 是整数，整数的和、差、积、商也是整数a +3a+1 是整数证毕例3.求证：2 3 能被 7 整除证明：2 3 （2 ） 3 4 32n+1 2n+1111 111222 111222222 222233344225 54 45 5 2 2 3 34 44 45555222222342 2根据 a +b 能被 a+b 整除，（见内容提要 4） 4 3 能被 43 整除2 3 能被 7 整除例 4. 由完全平方公式推导“个位数字为+210a5+25=100a(a+1)+25(10a+5) =100a5 的两位数的平方数”的计算

7、规律解：“个位数字为 5 的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字 5 的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大 1 的数的积。如：15 =225 幂的百位上的数字 2=12)，25 =625 (6=23)，35=1225 (12=34) 452=2025 (20=45)【实战模拟】1 填空：a +b =(a+b) _(a+b) =(ab) +_a+b=(a+b) 3ab(_)a +b =(a+b2) _,a +b =(a+b)(a +b )_ 2 填空：(x+y)(_)=x ya +b =(a +b )(a +b )_(xy)(_)=x y(x+y)( _)=x+

8、y（xy）(_)=xy3.计算：55 =65 =75 =85 =95 =4. 计算下列各题 ，你发现什么规律1119=2228=3436=4347=7674=5.已知 x+1 1 1 1=3, 求x + x + x + x x 2 x 3 x 4的值6.化简：（a+b） (ab)2232 23 3253322 (a+b)(a ab+b )3 (ab)(a+b) 2ab(a b )4 (a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c) 7.己知 a+b=1, 求证：a +b 3ab=18.己知 a=a+1，求代数式 a 5a+2 的值9. 求证：2 1 能被 9 整除10. 求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数 的平方11如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们的直径分别是 a,b,c1 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长2 求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。a b c练习4. 十位上