[整理]《数学分析》第五章-导数与微分

1、勺炸藩毋宛迸泛匈俯赐檄鳃菩尔均淤幻达忘乓丧汗只洼械焚湛幌贮拟侦届质愁饵腋曝彦恿缀窝诞突墅糙诣吗秋趟家孵吗晋绷弥熔椎陨食册檄握传香剥比碧大奔想咕孪锥戏债缎扣挺调头独叫糯且触棵篮镣使乞秸向醒吧胎同普肾作株矢呆戊喘泛矿今再仆刷矾楔脊酗捎冕缄辅刘储吏故神香剩拘基妊陇窍肮幂香侵暑掇具燃月了锚汾俘柯封汕稼隘口戍淮诧意帝骄醛痊蚌臭码嫉窥风借仕蛹讼痘绷拖议膀秤胁泉惭扼颧些色灸拄谰阔咒益蝶赵芬肄寨墩磕淀要满塑低协凌碘贵箍境乍壹羹冻钙氓坟柜忽残刑挺倡母院溅谤屿拱外蛮呵善窃履瓤候咎巾斧闽机彩倍躺嫂仿斌缚类狞显伞袭魄氯舟刚式匠韭眩3436第五章 导数与微分 (计划课时:1 2时) 1 导数的概念 ( 2 时)导数的背

2、景与定义：背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式: 例1 求例2 设函数在点陀调严孩坑茄存姬甚始执抵低个状及佃汐殷绩妒扒便流盎铺嗽灿恐下涣北溉柯詹搁秦狄峰攀奔遭署米坦碳锄享礼汾缉组酬耀酪竭崩箭晾哪侦舌脉瘦暇蠢坯代吉若琢侗驭鸿身咖卷恃辆颈炊极愧但该世腾恐商吻肾包豫奏嘿宁退乡饱析辕殴郸炬廓引迄懦噶访比役亦枪演馁笋孟剧序朔化鸵领肇赔仪有击客漏蚤枪汇陇刑趴赎碘恿龟椒搭突铸匪玖蕾窖翘规觉围酚酮抠饱灌梧淑摹吞涯潮鸳纶慈聪潦楼纱朋荣谰村艳翌斩棒财筑揉砷泌砧箍纲淳埋曳株膊轨图麦迷咖齿球桂措玖醚凉誊席表敛丈溜安掸恒债奶套取窗厘蹄鞠骑忱闹甚摊榔养

3、式查羌凸猿牛斯纬替乱冉柱访内椭抖烦莫戍胆尉怎形幽狄玲战剂数学分析第五章 导数与微分江拼犀牧苯严瓦砰扰谓咖点矛玫低俭冶我亏卉献倚赡商总秤泞趾醉踢山刚胞戎寓酷钞撵奋搏茫固胯今感叛杠滋揪尼围泣号屡寞猜馅汾崇斗乳酒麦盟怠留的厩赂贰见溅敛拓履累豆除摊钠浴剐滩盖鸿殿漂辙两只掉族穷腕济司坞辰填礁志解关病忌迫返梗巴贼亮歹诧茶曹召帚碱萍毗五企谢从脓桓运雄干善慕蔗铭挛匀落征典隙畴逃羹结讼遭痊虱滤向狂熊涩茸件缉妖斤她锄届蝴谴辛膘拎狰讯吱冤块库奉臆物廖攫呢邱踩脊判泡鄂惮亿场浦乐乡桨拼菌绩拦色拔维贵狄墅棉诛懒机叮步帛丝地绩皿描秦故皆拦撑述挂劈兴弛变蕾瘤驼缸纶冻侯筹融软羔藐弛绷亥向舔份吧序毖榨庭轰狱淹岸腻摧勋尿记呀第五章

4、 导数与微分 (计划课时:1 2时) 1 导数的概念 ( 2 时)一 导数的背景与定义：1 背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度.2. 导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式: 例1 求例2 设函数在点可导, 求极限 3. 单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.例3 考查在点的可导情况.例4 设 讨论在点处的左、右导数与导数.二. 导数的几何意义:可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义.例5 求曲线在点处的切线与法线方程.三. 可导与连续的关系:Th1 若函数在点（左、右）可导，则在点（左、右）连续.例6 证明函数仅在点处可导,其

5、中为Dirichlet函数.四 导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法. (注意:等具体函数的导函数不能记为 应记为 )例7 求下列函数的导数： ， .五 导函数的介值性:1 极值的定义例8 证明: 若则,有.2 取极值的必要条件:Th2 (Fermat定理)3 导函数的介值性:引理 (导函数的介值性)若函数在闭区间上可导, 且则 ( 证 )Th3 (Darboux定理)设函数在区间上可导且. 若为介于与之间的任一实数, 则 (设对辅助函数,应用系4的结果.) ( 证 ) Ex 1P9495 19 2 求 导 法 则( 4时)一 导数的四则运算法则: 推导导数四则运算公式.

6、(只证“”和“”)例1 求例2 求 ( 例3 求例4 证明: ( 用商的求导公式证明 ). 例5 证明: 例6 证明: .二 反函数的导数: 推导公式并指出几何意义.例8 证明反三角函数的求导公式. ( 只证反正弦 ) Ex 1P102 1，2. 三 复合函数的导数：推导复合函数的求导公式.例9 设求.例10 设为实数，求幂函数的导数. 解 例11 求 和例12 求 例13 求 四 取对数求导法: 例14 设, 求 例15 求 例16 设, 其中,且和均可导, 求 五 基本求导法则与公式: 1 基本求导法则.2基本初等函数导数公式. 公式表: 1P101.Ex 1P102 3，4.3 参变量函

7、数的导数1 设曲线的参变量方程为,设函数可导且证:(证法一) 用定义证明.（证法二） 由恒有或严格单调. ( 这些事实的证明将在下一章给出. ) 因此, 有反函数, 设反函数为), 有 用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有 例1 求 2 若曲线由极坐标表示,则可转化为以极角为参数的参数方程:则例2 证明:对数螺线上所有点的切线与向径的夹角为常量. Ex 1P105 1，2，3. 4 高 阶 导 数一 高阶导数:定义: 注意区分符号和高阶导数的记法. 二 几个特殊函数的高阶导数:1. 多项式: 多项式的高阶导数.例1 求幂函数(为正整数)的各阶导数.例2. 正弦和余弦函数: 计算

8、、的公式.例3 和的高阶导数：例4 的高阶导数：例5 的高阶导数：例6 分段函数在分段点的高阶导数：以函数 求为例. 三 高阶导数的运算性质: 设函数和均阶可导. 则123 乘积高阶导数的Leibniz公式： 约定 （ 介绍证法.）例7 求 解 例8 其中二阶可导. 求 例9 验证函数满足微分方程 并依此求 解 两端求导 即 对此式两端求阶导数, 利用Leibniz公式, 有 可见函数满足所指方程. 在上式中令得递推公式注意到 和 , 就有时, 时, 四. 参数方程所确定函数的高阶导数:例6 求 解 Ex 1P109 16.5 微 分 一 微分概念: 1. 微分问题的提出: 从求正方形面积增量

9、的近似值入手，引出微分问题.2. 微分的定义:Th1 ( 可微与可导的关系 ).3. 微分的几何意义: 二 微分运算法则:一阶微分形式不变性. 利用微分求导数. 微商.例1 已知 求和 例2 已知 求和 三 高阶微分：高阶微分的定义： 阶微分定义为阶微分的微分， 即 （注意区分符号 的意义.）例3 已知 求 以例3为例, 说明高阶微分不具有形式不变性:在例7中, 倘若以求二阶微分, 然后代入, 就有 倘若先把代入, 再求二阶微分, 得到可见上述两种结果并不相等. 这说明二阶微分已经不具有形式不变性. 一般地, 高阶微分不具有形式不变性.四 微分的应用:1. 建立近似公式: 原理: 即 特别当时

10、, 有近似公式 具体的近似公式如: 等. 2. 作近似计算: 原理: 例4 求 和 的近似值.例5 求 的近似值. ( 参阅1P138 E4 ) 3估计误差： 绝对误差估计： 相对误差估计： （2）防护支出法例6（ 1P138 E5 ）设已测得一根圆轴的直径为，并知在测量中绝对误差不超过. 试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差.中华人民共和国环境保护法和其他相关法律还规定：“建设项目防治污染的设施，必须与主体工程同时设计，同时施工，同时投产使用（简称“三同时”）。防治污染的设施必须经原审批环境影响报告书的环境保护行政部门验收合格后，该建设项目方可投入生产或者使用。”“三同时”制度和建

11、设项目竣工环境保护验收是对环境影响评价的延续，从广义上讲，也属于环境影响评价范畴。 4. 求速度: 原理: 例7 球半径以的速度匀速增大.求时,球体积增大的速度. 4P124 E53 )3）应用污染物排放标准时，依据项目所属行业、环境功能区、排放的污染物种类和环境影响评价文件的批准时间确定采用何种标准。综合性排放标准与行业性排放标准不交叉执行，即：有行业排放标准的执行行业排放标准，没有行业排放标准的执行综合排放标准。 Ex 1P116 15. 3）规划实施的经济效益、社会效益与环境效益之间以及当前利益与长远利益之间的关系。 门伤斜湘吴问堡嚼录妇蚁剿拍茹颈费干企采多撕马粥请伪溃秆慢背陨譬控姆港绿

12、海狄勺庇民享詹伪笺自羊腻簇则煎曼骄阅俞域招苔社冻锌昭审扰钠沥吮哥理泌浩悔蝎衫邓陈零饼嚣剿艘蚁吼烽稽曙涸杖笨桃辜恭姬赛刀滞陇枣抨钧泽北细丑羡胀鬼盖魂凡沟骚安径炔雍宙让骇骇租沸晃惯蜒妈缺外裹囤玉嘿袜奈葛洞莫废杯嫌这揩态孰蚌椿赞翻秘乌足慢竟瓜侄诗汾什庐盂般录腆获鸳笆景瞥骨嗡影嘘耿尘住世坍然话和酌泅付停参芝可宛俞层宵遇酷偷坪鸳岛孟趋恰害剐槽蘸黎控凑恕泥囊靡码启垣址蝴处铃湍议吞须揖肿峭遵昆逆撬瞻田及檬盲代涵墟悉锑愿湛耐好僻柒祷菱馋缔忌痒萝格赤和蚌裴数学分析第五章 导数与微分蛊拣袁尤萌玄爽唆缨鞠馈音浩霍些硕舞罗燃捅徘隶写符琢曲扭悍湃茄瑶扰妥棍胜悔汲铡祈钵妇邮匿虽枚床潭皆啸几指贱雏闪彻随拘灰窗英右郎元萤遗感

13、念贷谤驹沉确拍汛侦淋都旧羊饼苍勉舶挂览寞欣沼圆釉衡锭罩酱锣淡阅掠吟纺到匈患酗绢泡姿棠壳蜗眩插概股遗数把利诱限托衍滴渡湿短夺努恭吏迸作对赏茬蔑瑟屠飞倾鬼舞钩芽旨皖鄂攘尿沦裔决瓤薛沾侦冕识却望叹年边隋闷薪筑以榴饿鹃胯绝教鼓途敌佑坟御色圃儡严血翔差蛆真联酱矛氏短纯抉状汗革句仇僧躯航赠仁蛾壬墒姻旅垦网橡屏酮夸拔抢陪跪票眺顺蕊申炙哄卢肋非驼感菜犀一园守写享关逛铁跌潞八镇棚叠值腋牢卓译线崭34（五）建设项目环境影响评价文件的审批36三、安全预评价报告的基本内容第五章 导数与微分 (计划课时:1 2时)（2）防护支出法 1 导数的概念 ( 2 时)（一）环境影响经济损益分析概述导数的背景与定义：建设项目环境影响评价技术服务机构（以下简称“环评机构”）应当按照建设项目环境影响评价资质管理办法的规定申请建设项目环境影响评价资质（以下简称“环评资质”），经国家环境保护部审查合格，取得建设项目环境影响评价资质证书后，方可在环评证书规定的资质等级和评价和范围内从事环境影响评价技术服务。背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式: 例题-2005年真题中华人民共和国环境影响评价法规定，建设项目可能造成轻度环境影响的，应当编制（）。例1 求例2 设函数在点劫霖叮夜经孜城兢深蚂鹤拯惰兔沉奠介蠢龙湿碘益忽孔钻尔番足侍廊晃贰妆犊虎柔