专题复习(六)——函数与导数

1、专题复习（六）函数与导数（一）知识梳理1导数的概念(1) 函数 y f(x)在 x x0 处的导数一般地，函数y f(x)在 x x0处的瞬时变化率是limyf x0 x f x0，我们称它为函数 y limxx0xx 0 f(x)在 x x处的导数，记作f ( x，即 f (xyf x0 x f x0 lim.00)或 y |x x00) limxx0x x0(2) 导数的几何意义函数 f(x)在 x x0 处的导数就是曲线y f(x)在点 (x0， f(x0)处的切线的斜率(3) 函数 f(x)的导函数称函数 f (x) limf x x f x 为 f(x)的导函数x 0x2基本初等函数

2、的导数公式原函数f(x) c( c 为常数 )f(x) xn(n Q* )f(x) sin xf (x) cos x f(x) axxf(x) ef(x) logaxf( x) ln x3导数的运算法则(1)f(x) g(x) f (x) g (x)；(2)f(x) g(x) f (x)g(x) f(x)g (x)；f x f x g x f x g x(3) g xg x 2(g(x) 0)4函数的单调性与导数的关系已知函数f( x)在某个区间内可导，则(1) 如果 f (x) 0，那么函数 y f(x)在这个区间内单调递增；(2) 如果 f (x) 0，那么函数 y f(x)在这个区间内单

3、调递减；(3) 若 f (x) 0 恒成立，则 f(x)在这个区间内是常数函数5理清导数与函数单调性的关系导函数f (x) 0f (x) nxn 1(n Q* )f (x) cos xf (x) sin xf (x) axln af ( x)1f (x) xln a1f (x)x1(1) f (x)0( 或 0(或 0)恒成立，“”不能少6函数极值的概念函数 y f(x)在点 x a 的函数值f(a)比它在点x a 附近其他点的函数值都小，f (a) 0；而且在点x a 附近的左侧f (x) 0，右侧 f (x) 0，则点 a 叫做函数y f(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值

4、函数 y f(x)在点 x b 的函数值f(b)比它在点x b 附近其他点的函数值都大，f (b) 0；而且在点x b 附近的左侧f (x) 0，右侧 f (x) 0，则点 b 叫做函数y f(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值7函数的最值（ 1）在闭区间 a， b上连续的函数 f(x)在 a， b上必有最大值与最小值（ 2）若函数 f( x)在 a， b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数 f( x)在a， b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值8 定积分的概

5、念在bf(x)dx 中， a， b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a， b叫做积分区间， f(x)叫做被积函数，ax 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式9定积分的运算性质(1)bkf(x) dx k bf(x) dx (k 为常数 )；aa(2)bf1(x) f2(x) dxbf1(x) dx bf2(x) dx；aaa(3)bf(x)dxcf(x)dxbf(x)dx (a c b)aac10微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间 a，b上的连续函数，并且F (x) f(x)，那么bf(x) dx F(b) F(a)这个a结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式可以把F(b) F

6、 (a)记为 F ( x) ab ，即 bf(x)dx F (x) ba F(b) F(a)a（二）考点剖析考点一：导数的运算例 1：求下列函数的导数：x ；ln x； (3)y sin22x ；(1) ye ln x(2)yx32sin 2x(4) y ln(2x 5)； (5)y cos x .解 :xxx 1xln x1；(1)y (eln x) e ln x e exx1(2) x 1 x ln x1 ln xy x2x2；22x1 12sin322cos4x .(3) y3设 y 11， 2，则 y14x2；23y xux2sin u2sin32cosuu4xu2sin u 4 y，

7、因此 y12；(4) 设 y ln u， u 2x 5，则 yxuux2x 5(2x 5)2x 5sin 2x 2sin xcos x 2sin x， y (2sin x) 2cos x.(5) y cos xcos x考点释疑： (1)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后再进行求导，可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错(2) 复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导考点二：导数的几何意义例 2：(1) 曲线在某点处的切线方程设曲线 y ax ln(x 1)在点 (0

8、,0)处的切线方程为 y 2x，则 a_(2) 过某点的曲线的切线方程过点 (0， 1)且与曲线 yx2 相切的切线方程为 _(3) 两条曲线的公切线 已知曲线 y x ln x 在点 (1,1)处的切线与曲线y ax2 (a 2)x 1 相切，则 a _.解： (1)令 f(x) ax ln(x 1)，则 f (x) a 1x 1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f (0) a 1.又切线方程为 y 2x，则有 a 1 2， a 3.(2) 设切点为 (x0， x02)，由 y x2 得 y 2x.x02 1 2x0x0当 x0 1 时，切点为 (1,1)，斜率 k y|x

9、 1 2.所求切线方程为y1 2(x 1)，即 y 2x 1.当 x0 1 时，切点为 ( 1,1)，斜率 k y |x 1 2.所求切线方程为y1 2(x 1)，即 y 2x 1.综上所述，所求切线方程为y 2x 1 或 y 2x 1.(3) 因为 y x ln x，所以1，y |x 1 2y 1 x所以曲线y x ln x 在点 (1,1)处的切线方程为y 1 2(x 1)，即 y 2x 1.3因为y 2x 1 与曲线 y ax2 (a 2)x 1 相切，所以 a0(当 a 0 时曲线变为y2x 1 与已知直线平行 )y 2x 1，由消去 y，得 ax2 ax 2 0.y ax2 a 2

10、x 1，2由a 8a 0，解得 a 8.(1) 求曲线切线方程的步骤：求出函数y f(x)在点 x x0 处的导数，即曲线 y f(x)在点 P(x0， f( x0)处切线的斜率；由点斜式方程求得切线方程为y f(x0) f (x0) (x x0)(2) 求曲线切线方程需注意两点：当曲线y f( x)在点 P(x0， f(x0)处的切线平行于y 轴 (此时导数不存在)时，切线方程为x x0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再利用两点连线的斜率等于切点的导数值求解(3) 求两条曲线的公切线的方法：方法 1：利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解方法 2：利用公切线得

11、出关系式设公切线 l 在 y f(x)上的切点 P1(x1，y1)，在 y g(x)上的切点 P2(x2，y2)，则 f (x1) g (x2)f x1 g x2.x1 x2考点三：利用导数求函数的单调区间例 3：已知函数 f(x) x a ln x 3，其中 a R，且曲线 y f (x)在点 (1， f (1)处的切线垂直于直线4 x21y 2x.(1) 求 a 的值；(2) 求函数 f(x)的单调区间解： (1)对 f(x)求导得 f(x) 1 a21，4xx由 f(x)在点 (1， f(1) 处的切线垂直于直线y1x 知2f (1) 3a 2，解得 a 5.44x 532 4x 5x(

12、2) 由 (1)知 f (x) 44x ln x2，则 f (x)4x2 .令 f (x) 0，解得 x 1 或 x 5.因为 x 1 不在 f(x)的定义域 (0， )内，故舍去 当 x (0,5) 时， f ( x)0 和 f (x)0；根据的结果确定函数f(x)的单调区间考点四：导数在证明函数单调性中的应用例 4：已知函数f(x) ln x ax2 (2 a)x.讨论 f(x)的单调性解： f(x)的定义域为 (0， ) f (x) 1x 2ax (2 a)若 a 0, f (x) 0，所以 f(x)在 (0， )上单调递增 若 a 0，则由 f (x) 0 得 x 1， a当 x 0，

13、 1 时， f (x) 0，当 x 1时， f (x) 0.aa所以 f(x)在 0，1 上单调递增，在1， 上单调递减 aa考点释疑：利用导数证明(或判断 )函数在区间上单调性的步骤：2x 1 ax 1x.正确求出函数的导数，并注意函数的定义域；利用等价转化思想，转化成关于导函数的不等式；解导函数的不等式考点五：利用函数的单调性求参数范围例 5：若函数f( x) kx ln x 在区间 (1， )单调递增，则k 的取值范围是.解： 由于 f (x) k 1，x1f(x) kx ln x 在区间 (1， )单调递增 ? f (x) k x 0 在 (1， )上恒成立 由于 k 1，而 010，

14、即 g(x)在 (0， ) 上递增，此时g( x)在 (0， )上无极值点x当 a1 时，令 g ( x) e a 0，得 x ln a；令 g (x) ex a0，得 x (ln a， )；令 g (x) ex a1.考点释疑：(1) 运用导数求可导函数 y f(x)极值的步骤：先求函数的定义域，再求函数 y f(x)的导数 f ( x)；求方程 f (x) 0 的根；检查 f (x)在方程根的左右的值的符号， 如果左正右负， 那么 f( x) 在这个根处取得极大值， 如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值，如果左右符号相同，则此根处不是极值点(2)可导函数 y f (x)在点 x

15、0处取得极值的充要条件是 f(x左侧与右侧 f (x)的符号不同0) 0，且在 x0(3)利用 x x0是极值点可得 f (x0) 0，求解相关问题考点七：函数在给定区间上的最值问题例7：设函数2，若函数 f (x)在 x 1处与直线y1相切f(x) aln x bx (x0)2(1) 求实数 a， b 的值；(2) 求函数 f(x)在 1， e 上的最大值 e解： (1)f (x) a 2bx， 函数 f(x)在 x 1 处与直线 y 1相切，x2f 1 a 2b 0，a1，1，解得1f 1 b 2b 2.2(2) f(x) ln x1x2， f (x) 1 x 1 x ，2xx当 1 x

16、e 时，令 f (x)0，得1 x1；ee6令 f (x)0 ，得 1x e，1 f(x)在 e， 1 上单调递增，在1， e上单调递减 ，1 f(x)max f(1) 2.考点释疑：求函数f(x)在 a， b上的最大值和最小值的步骤：求函数在 (a， b)内的极值；求函数在区间端点处的函数值f(a)， f(b)；将函数f( x)的各极值与f(a)， f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值考点八：定积分的计算2例 8： (1) 直接计算 设 f(x)x， x 0， 1，则2f(x)dx 等于.2 x， x 1， 2，0(2) 利用几何意义计算 1 (1 x2 x)dx 的值为

17、.-1解： (1)2f(x)dx1 221 312x1 221150x dx1(2 x)dx 3x02x134 2226 .0(2)1 (1 x2 x) dx11 x2 dx1 x dx，根据定积分的几何意义可知11 x2 dx 等于半-1-1-1-1径为 1 的半圆的面积，即121 211 x dx，1 x dx x1 0，-12-122 1 ( 1 x x) dx.-12考点释疑： (1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解(2) 对函数图象和与圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解考点九：定积分求平面图形面积及几何概型例 9

18、： (1) 平面图形面积 曲线 y x2 与直线 y x 所围成的封闭图形的面积为_(2) 几何概型 如图，点A 的坐标为 (1,0)，点 C 的坐标为 (2,4)，函数 f( x) x2，若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_解： (1) 如图，阴影部分的面积即为所求y x2，由得 A(1,1)y x，71x2 )dx( 1 x21 x3 ) 101 .故所求面积为 S( x0236(2) 由题意知，阴影部分的面积S2(4x2 )dx (4 x1 x3 ) 12135所以所求概率 PS35S矩形 ABCD 1 412.53考点释疑： (1)对于求平面图形的面积问题，

19、应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，确定积分区间(2) 对于求几何概型的问题，应首先利用定积分求出相应图形的面积，再用相应概率公式进行计算考点十：定积分在物理学中的应用例 10： (1)求变速运动的路程一物体做变速直线运动，其v t曲线如图所示，则该物体在1s6 s 间的运动路程为 _m.2(2) 求变力做功 设变力 F (x)作用在质点M 上，使 M 沿 x 轴正向从 x1 运动到 x 10，已知 F (x) x2 1 的方向和x 轴正向相同， 则变力 F(x)对质点 M 所做的功为_J(x 的单位： m，力的单位：N) 2t，0 t 1，2，1 t

20、 3，解： (1)由题图可知，v(t)13t 1，3 t 6.因此该物体在1s 6 s 间运动的路程为 :261361t212t31t26s 1 v(t )dt1 2tdt2dt( t 1)dt11(t ) 32213326F (x)对质点 M 所做的功为 W101)dx( 1 x3x) 110(2) 由题意知变力( x21349(m) .4342(J ) .考点释疑：定积分在物理学中的两个应用：变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v v(t)，那么从时刻 t a 到 t b 所经过的路程 sbv t dt.a变力做功：一物体在变力F (x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从 x

21、a 移动到 x b 时，力 F(x)所做的功是 W bF(x)dx.a（三）历年高考真题训练81、（ 2011 年高考全国卷） 已知函数 f (x)a ln xb ，曲线 yf ( x) 在点 (1, f (1)处的切线方程x1x为 x 2 y 3 0 。（）求 a 、 b 的值；（）如果当 x 0 ，且 x1时， f (x)ln xk ，求 k 的取值范围 .x 1x2、 （ 2012 年高考全国卷）已知函数f ( x) 满足 f ( x) f (1)ex 1f (0) x1x2.2（）求 f (x) 的解析式及单调区间；（）若 f (x)1 x2ax b ，求 (a1)b 的最大值 .29

22、3、（ 2013 年高考全国卷）设函数f(x) x2 ax b，g( x)ex (cx d)若曲线 y f(x)和曲线 y g(x)都过点 P(0,2)，且在点P 处有相同的切线y4x 2.（）求a， b， c， d 的值；（）若x 2 时， f(x) kg(x)，求 k 的取值范围4、（ 2014 年高考全国卷）设函数f (x) aex ln xbex 1，曲线 yf ( x) 在点（ 1， f (1)）处的x切线为 ye( x 1) 2 .（）求a, b ；（）证明：f ( x)1 .105、（2015年高考全国卷）已知函数f（ ）=x3 ax1 , g( x)ln x.x4（）当 a 为

23、何值时， x 轴为曲线 yf ( x)的切线；（）用 minm,n 表示 m,n 中的最小值，设函数 h( x)min f ( x), g(x) (x0) ，讨论 h（x）零点的个数 .6、（ 2016 年高考全国卷）已知函数f ( x)(x2)exa( x1)2 有两个零点 .（）求a 的取值范围；（）设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个零点，证明：x1x22 .117、（2017年高考全国卷）已知函数（f x)2xx x.ae+(a2) e（）讨论f ( x) 的单调性；（）若f ( x) 有两个零点，求a 的取值范围 .历年高考真题训练参考答案( x1ln x)b1、解：（）由已

24、知得，f( x)x( x1)2x2由于直线 x2 y30 的斜率为1，且过点 (1,1)2f (1)1b1故1 即ab1解得 a1， b 1 .f (1)222（）由（）知f (x)ln x1 ，所以 f ( x) ( ln xk )12ln x(k1)(x2 1)x1xx 1x1 x2x令 h( x)2ln x(k1)(x21) ( x0) ，则 h (x)( k1)( x21) 2x .xx2 当 k 0 时，由 h ( x)k( x21)(x1)21 时， h ( x)0 . 而 h(1)0 ，故x2知，当 x12当 x(0,1)时， h( x)012 h( x)0 ；，可得x1当 x(

25、1,) 时， h( x)0 ，可得1h( x)0.x21从而当 x0且 x 1时， f (x) ( lnxk )0 ，即 f ( x) ( ln xk ) .x1xx 1x 当 0k1时，由于当 x(1,1) 时， (k 1)(x21)2x0 ，故 h ( x) 0 ，1k而 h(1)0 ，故当 x(1,1 ) 时， h(x)0 ，可得12 h(x)0 , 与题设矛盾 .1k1x1 当 k1 时，此时 h (x) 0 ，而 h(1)0 ，故当 x(1,) 时， h( x)0 ，可得2 h( x)0 ，1x与题设矛盾 .综上所述， k 的取值范围为(,0.2、解：（） f ( x)f (1)ex

26、 1f (0) x1 x2f(x)f(1)ex 1f (0)x . 令 x1 得： f (0)12f (x)f(1)ex 1x1 x2f (0)f(1)e 11f(1) e1 x22f (x) exxg( x)f (x) ex1 x2g ( x)ex10yg( x) 在 xR 上单调递增 .f (x)0f(0)x0； f ( x)0f(0)x0f (x)exx1 x2 ，且单调递增区间为(0,) ，单调递减区间为(,0) .2（） f (x)1 x2axbh(x)ex(a1)xb0 得 h ( x)ex( a 1)2当 a10时， h (x)0yh(x) 在 xR 上单调递增当 x时， h(

27、x)与 h( x)0矛盾；当 a10时， h (x)0xln( a1) ； h (x)0x ln( a1)当 xln( a1) 时， h( x)min(a1)(a1)ln( a1)b0(a 1)b(a1)2(a1)2 ln(a1)(其中 a10)令 F (x)x2x2 ln x( x0) ，则 F ( x)x(12ln x)F (x)00xe ； F ( x)0xe当 xee 时， F (x)max2当 ae1,be 时， (a 1)b 的最大值为 e .22133、解：（）由已知得f(0) 2， g(0) 2， f(0) 4， g(0) 4.而 f(x) 2x a， g(x) ex( cx

28、d c)，故 b 2， d2， a 4， d c 4.从而 a 4， b 2， c 2， d 2.2x（）由（）知，f( x)x 4x 2， g(x) 2e (x 1)x2设函数 F (x) kg(x) f(x) 2ke (x 1) x 4x 2，则 F (x) 2kex (x 2)2x 4 2(x 2)(kex 1)由题设可得 F(0) 0，即 k1.令 F (x) 0 得 x1 ln k， x2 2.若 1k e2，则 2 x10.当 x ( 2， x1) 时， F (x) 0；当 x (x1， )时， F (x) 0. F (x)在 ( 2， x1)单调递减，在 (x1， )单调递增F (x)在 2， )的最小值为F( x1)而 F (x1) 2x1 2 x12 4x1 2 x1(x1 2) 0.故当 x 2 时， F(x) 0，即 f(x) kg(x)恒成立22x 2若 k e ，则 F (x) 2e (x 2)(e e)当 x 2 时， F (x) 0，即 F (x)在 ( 2， )单调递增而 F ( 2) 0，故当 x 2 时， F (x) 0，即 f( x) kg(x)恒成立若 k e2，则 F( 2) 2ke2 2 2e 2(k e2) 0.当 x2 时， f(x) kg(x)不可能