【考点整合与训练】第七章不等式 第3节 基本不等式及其应用

1、22 2224a b2b.第 3 节基本不等式及其应用最新考纲值问题.1.了解基本不等式的证明过程； 2. 会用基本不等式解决简单的最大 (小)1.基本不等式： abab2知 识 梳 理(1) 基本不等式成立的条件：a0，b0.(2) 等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号.ab(3)其中 称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正数 a，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式(1)a b 2ab(a，br)，当且仅当 ab 时取等号.(2)abab(a，br)，当且仅当 ab 时取等号. 2 3.利用基本不等式求最值已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy

2、 时，xy 有最小值是 2 p(简记：积定 和最小).s(2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是 (简记：和定积 最大).微点提醒b a1. 2(a，b 同号)，当且仅当 ab 时取等号.2.abab a 2 2 222 21 1222 22xsin xy x2 22xsin xy x2x2 ab a b3. ab (a0，b0).a b基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)ab(1)两个不等式 a b 2ab 与 ab成立的条件是相同的.( )1(2)函数 yx 的最小值是 2.( )4(3)函数 f(x)sin x 的最小值为 4.( )

3、x y(4)x0 且 y0 是 2 的充要条件.( )解析(1)不等式 a b 2ab 成立的条件是 a，br ；ab不等式 ab成立的条件是 a0，b0.1(2)函数 yx 的值域是(，22，)，没有最小值.4(3)函数 f(x)sin x 没有最小值.x y(4)x0 且 y0 是 2 的充分不必要条件.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修 5p99 例 1(2)改编 )若 x0，y0，且 xy18，则 xy的最大值为( ) a.9 b.18 c.36 d.81解析答案xy因为 xy18，所以 xy 9，当且仅当 xy9 时，等号成立. a13.(必修 5p100 练习 t1 改编)若

4、x0，则 x ( ) a.有最小值，且最小值为 2b.有最大值，且最大值为 2x21 2222x1x x x2222222a8ba b a8ba8baa4 884bbc.有最小值，且最小值为2 d.有最大值，且最大值为2解析1因为 x0，x 2 12，当且仅当 x1 时，等号成x1立，所以 x 2.答案d4.(2019 玉溪一中月考)已知 f(x)x 2x1x，则 f(x)在，3上的最小值为( ) 1a.b.43c.1 d.0解析f(x)x1 1x 2220，当且仅当 x ，即 x1 时取等号.1 1 又 1，3，所以 f(x)在，3上的最小值为 0. 答案d5.(2018 济宁一中月考)一段

5、长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m 时菜园面积最大.解析设矩形的长为 x m，宽为 y m.则 x2y30，1 1x2y 225所以 sxy x(2y) ，当且仅当 x2y， 2 15即 x15，y 时取等号.答案 1515216.(2018 天津卷)已知 a ，br ，且 a3b60，则 2 的最小值为_.解析1由题设知 a3b6，又 2 0，8 0，所以 2 211 2 2a 3b21 1 1 1 ，当且仅当 2 ，即 a3，b1 时取等号.故 2 的最小值为 .答m n1 xm n m nm nm n

6、m n2考点一角度 1利用基本不等式求最值通过配凑法求最值多维探究3【例 1 1】 (2019 乐山一中月考 ) 设 0x0，a1)的图象恒过定点 a，若点 a1 1在直线 mxny10 上，且 m，n 为正数，则 的最小值为_.解析曲线 ya 恒过定点 a，x1 时， y1，a(1，1).将 a 点代入直线方程 mxny10(m0，n0)，可得 mn1，1 1 1 1 n m n m (mn)2 22 4， n m 1当且仅当 且 mn1(m0，n0)，即 mn 时，取得等号.答案4规律方法在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对

7、条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解 .常用的方法有：折 项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.ab44ab 2 ab2454x4x554x2 x 360x(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.1【训练 1】 (1)(2019 济南联考 )若 a0，b0 且 2ab4，则 的最小值为( )a.2b.12c.41d.5 1(2)已知 x0，b0，故 2ab2 2ab(当且仅当 2ab 时取等号).又因为 2ab4，2 2ab4 0ab2，1 1 1 1 ，故 的最小值为 (当且仅当 a1，b2 时等号成立).5(2)因为 x0，1 1 则 f(x)4x2 3 2（

8、54x）154x3231.1当且仅当 54x ，即 x1 时，等号成立.54x故 f(x)4x214x5的最大值为 1.答案(1)b (2)1考点二基本不等式在实际问题中的应用【例 2】 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50x100( 单位：千米 / 时 ). 假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油 2 升，司机的工资是每小时 14 元. (1) 求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；(2) 当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.解130(1)设所用时间为 t (h)，2130 x 130360xxx360x 18x36

9、0x 3602x223x16（3x）3x4y 22 14 ，x50，100. 所以，这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y13018 2130 x，x50，1002 340 13(或 y x，x50，100).13018 2130(2)y x26 10，13018 2130当且仅当 x，即 x18 10时等号成立.故当 x18 10千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 10元.规律方法1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2. 根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3. 在求函数的最值时，一定要在定义域 (使实际问题有意义的自

10、变量的取值范围 ) 内求解.【训练 2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业 的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从 2019 年 1 月起开展网络 销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量 x 万件与投入实体店体验安装的费用 t 万元之间满足函数关系式 x32t1.已知网店每月固定的各种费用支出为 3 万元，产品每 1 万件进货价格为 32 万元，若每件产 品的售价定为“进货价的 150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一 半”之和， 则该公司最大月利润是_ 万元.解析由题意知 t 23 x 1(1x0 得 3 (k1

11、)3 20，解得 k13 .2 2又 3 2 2(当且仅当 3 ，即 xlog3所以 k12 2，即 k0)的单调 性.易错防范2 22 22lg x2x2x21.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. 2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.基础巩固题组(建议用时：35 分钟)一、选择题1.(2019 孝感调研)“ab0”是“abb0，可知 a2b2a b2ab，充分性成立，由 ab0 且 x1，lg x 2 1a. 0 时， x 2x1d.当 0x2 时，x 无最大值解析对于 a，当 0x1 时，lg x0 时， x1x2x1x2，当且仅当 x1

12、 时等号成立；1对于 d，当 01，y1，且 lg x，2，lg y 成等差数列，则 xy 有( ) a.最小值 20 b.最小值 200c.最大值 20 d.最大值 200解析由题意得 22lg xlg ylg ( xy)，所以 xy10 000，则 xy2 xy200，当且仅当 xy100 时，等号成立，所以 xy 有最小值 200.答案b4.设 a0，若关于 x 的不等式 xax15 在(1，)上恒成立，则 a 的最小值为( )a.16 b.9c.4d.2解析在(1，)上， xax1(x1)ax112（x1）a （x1）12 a1(当且仅当 x1 a时取等号).由题意知 2 a15.所以

13、 a4.答案c5.(2019 太原模拟)若 p 为圆 x y 1 上的一个动点，且 a(1，0)，b(1，0)，则 |pa|pb|的最大值为( )a.2 b.2 2 c.4 d.4 2解析由题意知apb90，|pa| |pb | 4，|pa|pb| |pa| |pb| 2(当且仅当 |pa| |pb|时取等号)， 2 |pa| |pb|2 2，|pa|pb|的最大值为 2 2.答案b6.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为 800 元，若每批生产 xx件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件x8x 8x 8x 8x 8a ba baba ba b

14、442a ba ba ba ba b22产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )a.60 件c.100 件b.80 件d.120 件解析800 x设每批生产产品 x 件，则每件产品的生产准备费用是 元，仓储费用是800 x 800 x 800 x元，总的费用是 元，由基本不等式得 2 20，当且仅 800 x当 ，即 x80 时取等号.答案b1 27.若实数 a，b 满足 ab，则 ab 的最小值为( ) a. 2 b.2 c.2 2d.4解析1 2依题意知 a0，b0，则 22 2 2 ，ab1 2当且仅当 ，即 b2a 时，“”成立. 1 2 2 2因为 ab，所以 ab

15、 ，ab1 5即 ab2 2(当且仅当 a2 ，b2 时等号成立)， 所以 ab 的最小值为 2 2.答案c1 98.(2019 衡水中学质检)正数 a，b 满足 1，若不等式 abx 4x18 m 对任意实数 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是( )a.3，) c.(，6b.(，3 d.6，)1 9解析 因为 a0，b0， 1，1 9 b 9a所以 ab(ab) 10 16， b 9a当且仅当 ，即 a4，b12 时取等号.依题意，16x4x18m，即 x4x2m 对任意实数 x 恒成立 .2222xxx又 x 4x2(x2) 6，所以 x 4x2 的最小值为6，所以6m，即 m6.答案d

16、二、填空题9.正数 a，b 满足 abab3，则 ab 的取值范围是_.解析a ，b 是正数， aba b32 ab3(当且仅当 ab 3 时等号成立)，解得 ab3，即 ab9.答案9，)10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的 总利润 y( 单位：万元 ) 与机器运转时间 x( 单位：年 ) 的关系为 y x 18x 25(xn*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是_ 万元.解析y 25 y每台机器运转 x 年的年平均利润为 18 x ，而 x0，故 18 2 258，当且仅当 x5 时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润 最大，最大值

17、为 8 万元.答案811.(2019 合肥调研 ) 设 x ，yyx1，满足约束条件 y2x1， 若目标函数x0，y0，z abx y(a0，b0)的最大值为 35，则 ab 的最小值为_.解析可行域如图所示，当直线 abxyz(a0，b0)过点 b(2，3)时，z 取最大值 2ab3.于是有 2ab335，ab16.所以 ab2 ab8，当且仅当 ab4 时等号成立，m n2 2m n2 2m n2m 2n2m 2n2m 2nm n2b2b2b所以(ab) 8. min答案812.已知直线 mxny20 经过函数 g(x)log x1(a0 且 a1)的定点，其中a1 1mn0，则 的最小值

18、为_.解析因为函数 g(x)log x1(a0 且 a1)的定点(1，1)在直线 mxny20a上，m n所以 mn20，即 1.1 1 1 1m n n m 所以 1 n m12 2，n m当且仅当 ，即 mn1 时取等号， 1 1所以 的最小值为 2.答案2能力提升题组(建议用时：15 分钟)13.(2018 江西师范大学附属中学月考 ) 若向量 m (a 1 ， 2) ， n (4 ， b) ，且m n，a0，b0，则 log1a.最大值 log3131alog 有( )3b.最小值 log 23c.最大值 log1312d.最小值 0解析由 mn，得 m n0，即 4(a1)2b0，12ab2，22 2ab，ab (当且仅当 2ab 时，等号成立).1 1又 log1 alog log1 alog1 blog1 ablog1 log 2，3 33 3 3 3 31故 log1 alog 有最小值