浅谈求数列通项公式的几种方法

1、浅谈求数列通项公式的几种方法数列知识是高考中的重要考察内容,而数列的通项公式又是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究起性质等;而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前n项和等.因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口,关键点.故将求数列通项公式的方法做一总结,希望能对广大考生的复习有所帮助.下面我就谈谈求数列通项公式的几种方法：一、累差法递推式为：an+1=an+f(n)(f(n)可求和)思路：:令n=1,2,n-1可得 a2-a1=f(1)a3-a2=f(2)a4-a3=f(3)an-an-1=f(n-1)将这个式子累加起来可得an-a1=f(1)+f(2)+f(

2、n-1)f(n)可求和an=a1+f(1)+f(2)+ +f(n-1)当然我们还要验证当n=1时,a1是否满足上式例1、已知数列a中,a1=1,an+1=an+2,求an解： 令n=1,2,n-1可得 a2-a1=2a3-a2=22a4-a3=23an-an-1=2n-1将这个式子累加起来可得an-a1=f(1)+f(2)+f(n-1)f(n)可求和an=a1+f(1)+f(2)+f(n-1) 当n=1时,a1适合上式 故an=2n-1二、累商法递推式为：an+1=f(n)an（f(n)要可求积）思路：令n=1,2, ,n-1可得 a2/a1=f(1) a3/a2=f(2) a4/a3=f(3

3、)an/an-1=f(n-1)将这个式子相乘可得an/a1=f(1)f(2) f(n-1) f(n)可求积 an=a1f(1)f(2) f(n-1)当然我们还要验证当n=1时，a1是否适合上式例2、在数列an中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an解： 令n=1,2, ,n-1可得 a2/a1=f(1) a3/a2=f(2) a4/a3=f(3)an/an-1=f(n-1)将这个式子相乘后可得an/a1=2/13/24/3n/(n-1)即an=2n当n=1时，an也适合上式an=2n三,构造法1、递推关系式为an+1=pan+q (p,q为常数)思路：设递推式可化为an+1+x=p(

4、an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)故可将递推式化为an+1+x=p(an+x)构造数列bn,bn=an+q/(p-1)bn+1=pbn即bn+1/bn=p,bn为等比数列.故可求出bn=f(n)再将bn=an+q/(p-1)代入即可得an例3、(06重庆)数列an中,对于n1(nn)有an=2an-1+3,求an解： 设递推式可化为an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3 故可将递推式化为an+3=2(an-1+3) 构造数列bn,bn=an+3 bn=2bn-1即bn/bn-1=2,bn为等比数列且公比为3 bn=bn-13,bn=a

5、n+3 bn=43n-1 an+3=43n-1,an=43n-1-12、递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数)思路：在an+1=pan+qn两边同时除以qn+1得 an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q构造数列bn,bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q故可利用上类型的解法得到bn=f(n)再将代入上式即可得an例4、数列an中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an解： 在an+1=(1/3)an+(1/2)n两边同时除以(1/2)n+1得 2n+1an+1=(2/3)2nan+1构造数列bn,bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1故可利

6、用上类型解法解得bn=3-2(2/3)n2nan=3-2(2/3)nan=3(1/2)n-2(1/3)n3、递推式为：an+2=pan+1+qan（p,q为常数）思路：设an+2=pan+1+qan变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到x+y=p,xy= -q解得x,y，于是bn就是公比为y的等比数列（其中bn=an+1-xan）这样就转化为前面讲过的类型了例5、已知数列an中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)an+1+(1/3)an,求an解：设an+2=(2/3)an+1+(1/3)an可以变形为an+2-xan

7、+1=y(an+1-xan)也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到x+y=2/3,xy= -1/3可取x=1,y= -1/3构造数列bn，bn=an+1-an故数列bn是公比为-1/3的等比数列即bn=b1(-1/3)n-1 b1=a2-a1=2-1=1 bn=(-1/3)n-1 an+1-an=(-1/3)n-1故我们可以利用上一类型的解法求得an=1+3/41-(-1/3)n-1(nn*)四、利用sn和n、an的关系求an1、利用sn和n的关系求an 思路：当n=1 时，an=sn当n2 时, an=sn-sn-1例6、已知数列前项和s=n2+1,求an的通项公式.解：当n=1 时，an=sn2当n2 时, an=sn-sn-1n+1-(n-1)2+1=2n-1而n=1时，a1=2不适合上式当n=1 时，an=2当n2 时, an=2n-12、利用sn和an的关系求an 思路：利用an=sn-sn-1可以