相似三角形的性质及应用--巩固练习(提高--带答案)

1、相似三角形的性质及应用-知识讲解（提高）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽 象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1 相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段3. 相似三角形周长的比等于相似比s，则1AfSf BC由比例性质可得：ABCSa abcSa ABC则的高丈二和上匸，则a甲24. 相

2、似三角形面积的比等于相似比的平方1BC AD21 -BC AD2相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的要点诠释：要点二、相似三角形的应用1. 测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：2. 测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。，根据相似三角形的性质，求出AB的长.AB的长.1 如甲图所示，通常可先测量图中的线段DG BD CE的距离（长度）2 如乙图所示，可先测 AG DC及 DE的长，再根据相似三角形的性质计算 要点诠释：1 比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程

3、度，比例尺=图上距离/实际距离；2太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比 3视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）；4.仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角. 【典型例题】类型一、相似三角形的性质.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点 A与点B重合，折痕为DE,则Sabce Sa bde 等于(C . 16:25D. 4:21B . 14:25在 Rt A BCE中，x2-(8-x) 2=62,x= 斗由A ADEA ACB得亠丄Sabce Sabde= (64-25-25 ):

4、25=14:25，所以选 B.【思路点拨】相似三角形的面积比等于相似比的平方，但是一定要注意两个三角形是否相似【答案】B.【解析】由已知可得 AB=10, AD=BD=5设AE=BE=x,则CE=8-x,【总结升华】关键是要确定哪两个是相似三角形举一反三【变式】在锐角A ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，A ABC和A BDE的面积分别等于 18和2, DE=2, 求AC边上的高.【答案】 过点B做BF丄AC,垂足为点F, t AD,CE分别为BC,AB边上的高, AC=6 Sa ABC 2，又T/B=/ B,.BDABRt A ADB Rt A CEB,.beCBSa bed2d

5、e2 1DE 1,又TAC5 *. de=2Sa bca18 9AC 31ACBF 18,BF=6. ebda CBA,./ ADB2 CEB=90beCB,且/B=/ B，C2.已知：如图，在A ABC与A CAD中，DA/BC, CD与 AB相交于E点，且AE：EB=1 :2, EF/ BC交 AC于 F 点, ADE的面积为1,求厶BCEffiA AEF的面积.总空演民詐站谿驚鞘囂【答案与解析】/ DA/ BCADEA BCE/ SaadeS abce=aE:BE ./ AE： BE=1:2, I SaadESbce=1：4 .T Saade=1 , Sabce=4.T Saabc：S

6、abc=AB：BE=3：2 , Saab（=6 .o262t EF/ BCAEFA ABC/ AE:AB=1:3 ,Saaef：S a ab=AE：AB9 3【总结升华】 注意，同底（或等底）三角形的面积比等于该底上的高的比；同高 （或等高）三角形的面积比等于对应底边的比当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方.举一反三：【变式】如图，已知中，一二=1 , 厂=2 , _= -4.学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律如图，在同一时间，身高为 工的小明 上丄.的影子5长是二二，而小颖 厶上.刚好在路灯灯泡的正下方巧

7、 点，并测得.-5 = 4二（1）请在图中画出形成影子的光线，交确定路灯灯泡所在的位置3 ；（2） 求路灯灯泡的垂直高度；（3） 如果小明沿线段向小颖（点亘）走去，当小明走到 己于中点二处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的至U处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到钉处，按此规律继续走下去，当小34明走剩下路程的 1到二处时，其影子二,十的长为m （直接用T的代数式表示）. + 1【思路点拨】本题考查相似三角形的应用；借助相似三角形确定比例线段是本题的关键._ AB _BC【答案与解析】（1）（2）由题意得: , H (m.(3) A.- - V込坐设恥长为餐一二才,设长为，16，解

8、得：二（m）,1.6同理，-2，解得 H(m), .【总结升华】本题是相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注意从特殊到一般形式的变换规律相似三角形的性质及应用-巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值）A.只有1个 B .可以有2个C.有2个以上，但有限D .有无数个2.若平行四边形 ABCD中, AB= 10 , AD= 6, E是AD的中点，在AB上取一点F,使厶CBF CDE贝U BF的长为（）.A. 1.8B. 5C. 6 或 4D. 8 或 2那么二匚等3.如图，已知 D E分别

9、是 亠工；的AB、AC边上的点,于( )A. 1: 9B. 1 : 3C. 1 : 8D. 1: 24 .如图G是厶ABC的重心，直线过A点与BC平行.若直线CG分别与AB 交于D E两点，直线BG与AC交于F点，则 AED的面积：四边形 ADGF勺面积=（）A.1: 2B.2:1C.2: 3D.3: 25. 如图，将 ABC勺高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S、$、圧、S,则5 ： S2 : Sb : S4 等于（）A.1 : 2 : 3 : 4B.2: 3 : 4 : 5D.3 : 5 : 7 : 9C.2 :A.4 : 10: 25B.4 :D.2: 5

10、: 256.如图，在 ABCD中, E 为 CD上一点, Sa def： Sa ebf： Sa abf等于()DE CE=2 3，连结 AE、BE BD,且 AE、BD交于点 F,则二、填空题 7.如图，梯形Sa decABCD中, AB/ CD,AC BD相交于点 E, Sa ceb1Sa dec2Sa aeb8.如图， ABC中，点 D在边 AB上，满足/ ADCM ACB若 AC=2 AD=1,贝U DB=.9如图，在厶PAB中, M N是AB上两点，且厶PMN是等边三角形， BPMhA PAN则/ APB的度数是11.如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时，发现身后

11、他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底10. 如图， ABC中，DE/ BC,BE,CD交于点 F,且 $ efc=3Sefd，则ade； Sbc=部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m,两个路灯的高度都是 9m则两路灯之间的距离是 12.如图，锐角 ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高， ABMHA BDE的面积分别等于 18和2，DE=2 则AC边上的高为.三、解答题13.为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作： 图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米.

12、1414. (1)阅读下列材料，补全证明过程： 交OC于点F,作FGL BC于 G.求证：点.1已知：如图，矩形 ABCD中,G是线段BC的一个三等分点.1 证明：在矩形 ABCD中, OEL BC DCL BC / OE/ DC v _ =1 , DC 2ACBD相交于点 O O吐BC于E,连结DE貯=OE = 1.貯=1= =二.二=(2)请你仿照(1)的画法，在原图上画出 BC的一个四等分点(要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程).15.已知如图，在矩形 ABCD中, AB=12cm BC=6cm点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点 F从D点以每秒2cm的速度向C点前进

13、，若移动的时间为 t，且Owt 6.(1) 当t为多少时，DE=2DF(2) 四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.(3)以点D E、F为顶点的三角形能否与厶 BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由.【答案与解析】6选择题1.【答案】B.【解析】x可能是斜边,也可能是直角边2.【答案】A.3.【答案】B.4.【答案】D.5.【答案】C.【解析】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。由所以二 丁,又由-：；，：-，可得二 _,下略.DE DF 26.A. 口 ABCD中，AB DC, DE心 ABF,二 一=一24-1. (

14、 DEF与厶EBF等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选A.1二、填空题7.【答案】1 .【解析】Sa decSa ecbDEMA CEB是同高不同底的两个三角形，即DE -.因为EB 2SadecDEAB/ CD,所以 DECA BEA所以=竺Saaeb EBAC ADac 27 4,8.【答案】3.【解析】I/ ADC=/ ACB / DAC=Z BAC/.ABC,/,AB=AB ACAD/ BD=AB-AD=4-1=3.9.【答案】120.【解析】T BPMhA PAN / BPMkZ A,v PMN是等边三角形，/ A+/ APN= 60即/ APN/ BPM= 60,/ / AP

15、B=Z BPM/ MPN/ APN= 60 +60 =120.10.【答案】1:9【解析】T Saefc=3Saefd，/ FC:DF=3:1，又t DE/ BC,/ BF3A EFD,即 BC DE=FC:FD=3:1,由厶 ADEA ABC 即 Saade : Saabc =1:9.11.【答案】30m.12.【答案】6.【解析】t AD,CE分别为BC,AB边上的高，AB bd/ ADB=/ BEC=90 , / ABD玄 EBC Rt ABMRt CBE- / AB3A DBEBC BE 2AC18ACt相似三角形面积比为相似比的平方，/AC= 9, / AC =3 ,DE2DE/ A

16、C=3DE=3 2=6/ h=2SAABC/AC=Z 18/6=6 即 AC边上的高是 6 .、解答题13.【解析】(CD- abe 堆CAB，又竹竿cd的长为0.8米其影ce长1米树影ae长2.4米，/ AB=1.92米.即图1的树高为1.92米.(2)设墙上的影高落在地面上时的长度为x,树高为h, t竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，1 x14 3/ 一 = 解得 x=1.5 ( m), /树的影长为：1.5+2.8=4.3 (m), / 一 =一 解得 h=3.44 ( m).0.8 1.20.8 hFC? EF 114.【解析】(1)补全证明过程：T FGL BC DU BC / FG/ DC / 皿=理门=.FG 1Cg FO- 1t AB= DC / -=：:.又 FG/ AB /=3 . / 点 G是 BC的一个三等分点.(2)如图，连结 DG交AC于点H ,作HI丄BC于I ,贝U点I是线段BC的一个四等分点.15.【解析】(1)由题意得：DE=AD-t=6-t , DF=2t，/ 6-t=2 X 2t ,解得 t= 6 ,5故当 t= 6时，DE=2DF (2)t矩形 ABCD的面积为：12X 6=