知识讲解_空间点线面的位置关系(基础)

1、空间点线面的位置关系【考纲要求】（1）理解空间直线、平面位置关系的定义；（2）了解可以作为推理依据的公理和定理；（3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。【知识网络】空间点线面位置关系【考点梳理】考点一、平面的基本性质1、平面的基本性质的应用（1）公理1 :可用来证明点在平面内或直线在平面内；（2）公理2:可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面;（3）公理3:可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。3、公理2的推论：（1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；（2）经过两条相交直线，有且只

2、有一个平面；（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。4、点共线、线共点、点线共面（1）点共线问题证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。（2）线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。要点诠释：证明点线共面的常用方法 纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内； 辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元素确定平面最后证明平面a、B重合。考点二、直线与直线的位置关系（1）位置关系的分类共面直线相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面

3、内，没有公共点（2）异面直线所成的角定义：设a,b是两条异面直线， 经过空间中任一点 0作直线a / a,b / b,把a与b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.范围：0,2要点诠释：证明两直线为异面直线的方法：1、定义法（不易操作）2、 反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发, 经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。 此法在异面直线的判定中经 常用到。3、客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：考点三、直线和平面、两个平面的位置关系1直线和平面的位置关系位置关

4、系直线a在平面a内直线a与平面a相交直线a与平面a平行公共占八、有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示aalAall11图形表示JJ弋 a厶_/考点四、平行公理、等角定理平行于同一条直线的两条直线互相平行。（但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行，可能相交，也可能异面）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 要点诠释：（1）以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力；（2）通过判断位置关系，考查空间想象能力；（3）应用公理、定理证明点共线、线共面等问题；（4）多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。【典型例题】类型一、异面直线的判定AiB、BCi的中点

5、。问:（1） AM和 CN是否是异面直线？说明理由；（2）DB和CC是否是异面直线？说明理由。【解析】（1）不是异面直线。理由：连接MN AC、ACoV M N 分别是 AB、Bi Ci 的中 点， MN/AiCi，又 V AiA= CCi,. AiACC为平行四边形。二 AQ/AC，得到 MN/AC,： AM N、C在同一平面内，故 AM和CN不是异面直线。（2）是异面直线。证明如下：vABCD-ABCiD是正方体， B、C Ci、Di不共面。假设 DB与CC不是异面直线，则存 在平面a,使 DB 平面a, CC 平面a,. D、B、C、C a,.与 ABCD-ABi Ci D是正方 体矛盾

6、。假设不成立，即 DB与CC是异面直线。【点评】（I）易证MN/AC,： AM与 CN不异面。（2）由图易判断 DB和CC是异面直线， 证明时常用反证法。举一反三:【变式】已知 E, F分别是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱AA,和棱CC1上的点，且AE CiF，求证：四边形 EBFDi是平行四边形【证明】由AE C1F可以证得 ABE也 C1D1F所以BE D1F又可以由正方体的性质证明 BE / D1F所以四边形 EBFD1是平行四边形类型二、平面的基本性质及平行公理的应用11例2如图，四边形 ABEF和ABC都是直角梯形，/ BAD* FAB=90, BC/ AD, BE/ FA,

7、22(1) 证明：四边形 BCHG是平行四边形；(2) C D F、E四点是否共面？为什么？【解析】(1)11由已知 FG GA, FH HD ,可得 GH/AD又BC/ AD, GH/BC,22四边形BCHG为平行四边形。(2 )方法一：1BE/ AF , G为FA中点知，BE/FG,四边形BEFG为平行四边形，=2 =EF / BG.由(1知BG/CH , EF/CH, EF与CH 共面.又D FH , C、D F、E四点共面1方法二：如图，延长 FE, DC分别与AB交于点 M M ,T BE/-AF,a B为MA中点。 =21 BC/AD B 为 M A 中点， M与 M 重合，即 F

8、E与 DC交于点 M( M ),二 C D F、 =2E四点共面。11【点评】（1） G H为中点GH/ AD,又BC AD GH BC; （2）方法一：证明 D22点在EF、GJ确定的平面内。方法二：延长 FE、DC分别与AB交于M, M,可证M与 M重 合，从而FE与DC相交。类型三、异面直线所成的角E、F分别是BC AD的中例3空间四边形 ABCD中, AB=CD且AB与CD所成的角为30，EG FG 贝U EG/AB, GF/CD,且由 AB=CD知 EG=FG-为AE与CD所成的/ GEF（或它的补角）为 EF与AB所成的角，/EGF （或它的补角） 角。VAB与 CD所成的角为30

9、, /-ZEGF =30或150。由EG=FGDA EFG为等腰三角形， 当 ZEGF =30 时，/ GEF=75 ;当 ZEGF =150 时，/ GEF=15。故 EF 与 AB 所成的角为 15 或 75。【解析】要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过 E或F作AB的平行线。取 AC的中点，平移 AB CD使已知角和所求的角在 一个三角形中求解。【点评】（1）求异面直线所成的角， 关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一 条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交。平移直线的方法有：直接平移中位线平移补形平移；（2）求异面直线所成角的步骤： 作：通过作平行线，得到相交直线；AB 证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角； 求：通过解三角形，求出该角。类型四、点共线、线共点、线共面问题例4.正方体ABCD-ABQD中，对角线 AQ与平面BDG交于O, AC BD交于点M. 求证：点C、O M共线.【证明】AA/ CC 确定平面AiC*AC 面 ACj0面 AiC0AQ面 BCDn直线 AC= 00面 BCDO在面 AC与平面BCD的交线 CM上 Ci、O M共线举一反三：延长线交于N , RP、DC的延长线交于K。求证: