矩阵的定义及其运算规则

1、矩阵的定义及其运算规则1、矩阵的定义m行n列（横的称行，纵的称列）的一一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成 个数表，并称它为 mx n阵。矩阵通常是用大写字母来表示例如一个 m行n列的矩阵可以简记为:?。即:11? （ 2-3）我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素,a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j （j = 1， 2，n）表示矩阵的列数。当m= n时，则称I为n阶方阵，并用 一讥表示。当矩阵 （aj的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即：1，则称该两矩阵相等，记为 A = B。

2、2、三角形矩阵由i = j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵:牝% 0 0、j +1 +2、22 如S1血00+1 +3r+2O11 。a33J，?A1鸟2鸟00+3,d3 +1丿3、单位矩阵与零矩阵在方阵中，如果只有-的元素不等于零，而其他元素全为零，如:则称为对角矩阵，可记为虫益血g（如严為）如果在对角矩阵中所有的丿彼此都相等且均为5 030 1 - 00 0 11口 ：U，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即:?“ 0”表示。

3、当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号4、矩阵的加法C =( q ) m xn表示矩阵A矩阵A =( aij) mxn和B =( bij) mxn相加时，必须要有相同的行数和列数。如以 及B的和，则有：式中：:.1。即矩阵C的元素等于矩阵 A和B的对应元素之和。由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质(设(1 )交换律：A + B = B + A(2)结合律：(A + B)+ C = A+( B+C)5、数与矩阵的乘法A、B、C都是mxn矩阵)：我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵 A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如：由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设(1

4、) k (A + B )= kA + kB(2) ( k + h) A = kA + hA(3) k ( hA )= khA6、矩阵的乘法虫 B若矩阵 乘矩阵：，则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。法定义为第一个矩阵第i行的元素与第二个矩阵第 j列元素对应乘积的和则矩阵的兀素由定义知其计算公式为：A、B都是mxn矩阵,矩阵若:k、h为任意常数，则:C r的元素八；的计算方偽=知九+如-如+ %切=另(%如)(2-4)【例2-1】【解】由于其中：设有两矩阵为：A矩阵的列数等于B =a2i a22JAiB矩阵的行数，故可乘，其结果设为例 2-2 】r 03仃1 010-i3 2 1J b

5、=r22已知：A =，求A、血J ,试求该两矩阵的积。B两个矩阵的积。【解】计算结果如下:-1(1)(2)(3)(4)例I-2通常矩阵的乘积是不可交换的矩阵的乘法是可结合的。设A是mix n矩阵，B、C是两个nxt矩阵，11 2)则有:设A是mXn矩阵，B是nX矩阵。则对任意常数 2-3】用矩阵表示的某一组方程为：(2-5)矩阵的乘法具有下列性质:A (B+C) k有：AB + AC。k (AB ) = ( kA ) B = A ( kB )。i.AA =X =L =7kl扣1S乞LJ J式中:VAXiLlul X hd At】(2-6)试将矩阵公式展开，列岀方程组。【解】现将（X2-6）式代入（2-5）式得:妨 八ft/(2-7)Q內+&心+ -+（為+片1 勺忑+切乃+ -+S旺+心皿+也+也+J将上式右边计算整理得:(2-8)可得方程组：可见，上述方程组可以写成（2-5）式的矩阵形式V称为改正数阵,式即为误差方程组的矩阵表达式。式中阵，二1称为误差方程组的常数项阵。例 2-4 】设由n个观测值列岀(2-5)上述方程组就是测量平差中的误差方程组，故知彳x二称为误差方程组的系数阵，门称为未知数r个条件式如下，试用矩阵表示虫二& a 知 b2 - 22虬r =曆二Hxlrxl舟