九年级数学上册专题六+二次函数的应用同步测试+新人教版

1、图 1 中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m水面下降 1 m 时，水面宽度增加多少？图 1教材母题答图解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系(如图 )，可设这条抛物线表示的二次函数为由抛物线经过点(2， 2)，可得y ax2.2 a22， a 12.这条抛物线表示的二次函数为y 12x2.当水面下降1 m 时，水面的纵坐标为由 y 3 解得 x16， x26，y 3.所以此时水面宽度为26 m，所以水面宽度增加(26 4)m.【思想方法】建模：把问题中各个量用两个变量x，y 来表示，并建立两种量的二次函数关系，再求二次函数的最大(小 )值，从而解

2、决实际问题应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润，最节省方案等问题注意：建立平面直角坐标系时，遵从就简避繁的原则，这样求解析式就比较方便某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图2 所示(1) 以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数解析式；(2) 某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，集装箱宽3 m，车与集装箱共高4.5 m，此车能否通过隧道？并说明理由图 2解： (1) 设抛物线对应的函数解析式为y ax2抛 物线的顶点为原点，隧道宽6 m，高 5 m，矩形的高为2 m，所以抛物线过点 A(3， 3)，代入得 3 9a，解得

3、 a 132x所以函数关系式为y.(2) 如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，将 x 1.5 代入抛物线方程，得y 0.75，此时集装箱上部的角离隧道的底为5 0.75 4.25 米，不及车与集装箱总高4.5 米，即 4.254.5.所以此车不能通过此隧道如图 3，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从点O 正上方 2 m 的 A 处发出，2网与点 O 的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距点O 的水平距离为18 m.(1) 当 h2.6 时，求 y 与 x 的关系式 (不要求写出自变量x 的取值范围 )(2) 当 h2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3

4、) 若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围图 3解： (1) h 2.6，球从点 O 正上方 2 m 的 A 处发出， y a(x 6)2 h 过点 (0 ，2)， 2 a(0 6)2 2.6，解得： a 1 ，60故 y 与 x 的关系式为 y 601(x 6)2 2.6，(2) 当 x9 时， y 1 (x 6)2 2.6 2.45 2.43， 60所以球能越过球网；当 y 0 时， 1 (x 6)2 2.60， 60解得： x1 6 2 39 18， x2 6239(舍去 )故会出界；(3) 当球正好过点 (18， 0)时， y a(x 6)2 h 还过点 (0， 2)，2 3

5、6a h，代入解析式得：0 144a h，1a，解得：8h 3，此时二次函数解析式为：y1(x 6)2 8，5438此时球若不出边界则h ，3当球刚能过网，此时函数图象过(9， 2.43) ， y a( x6)2 h 还过点 (0，2) ，代入解析式得：2.43 a（ 9 6）2 h，2 a（ 0 6） 2 h，43a 2700，解得：h 19375，193此时球要过网则h，75 8 193， h 8，3753故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是8h .3二二次函数的综合应用(教材 P47 习题 22.2 第 4 题 )抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴的公共点是 ( 1，

6、 0)， (3， 0)，求这条抛物线的对称轴解：解法一：点 ( 1，0)， (3， 0)的纵坐标相等，这两点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，这条抛物线的对称轴是（ 1） 3x 1.2解法二：函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴的交点的横坐标就是方程ax2 bx c 0 的两根 x1 ，x2，x1x2 b ( 1) 32，a这条抛物线的对称轴是x b 1.2a【思想方法 】 (1) 二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用 抛物线的轴对称性是研究二次函数的性质的关键；(2) 已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程 (组 )求解； (3) 已知二次函数图象上的一

7、个点(除顶点外 )和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一个点的坐标2012 南通改编 如图4，经过点 A(0， 4)的抛物线12y x bx c 与 x 轴相交于2B( 2， 0)， C 两点， O 为坐标原点图 4(1) 求抛物线的解析式；12 bxc 向上平移7个单位长度，再向左平移 m(m 0)个单位长度得到新抛(2) 将抛物线 y x22物线若新抛物线的顶点P 在 ABC 的内部，求 m 的取值范围解：(1)点 A(0 ， 4)，B(2，0)在抛物线1 2c 4，b 1，y x bxc 上，2 2b c 0，解得2c 4，抛物线的解析式为12y x x 4.2(2) 将抛物线 y

8、 1x2 x4 1(x 1)2 9向上平移 7个单位长度， 再向左平移 m( m0) 个单位长2222度后，得到的新抛物线的顶点P 的坐标为 (1 m， 1)b 4，k 2，设直线 AB 的 解析式为 y kxb，则解得 2k b 0，b 4，y 2x4，当 y 1 时， x 32；同理求得直线BC 的解析式为y x 4，当 y 1 时， x 3.新抛物线的顶点 P 在 ABC 的内部， 321 m0，解得 0m52.如图 5，已知抛物线y ax2bx c(a0)的图象经过原点O，交 x 轴于点 A，其顶点 B的坐标为 (3，3)(1) 求该抛物线的函数关系式及点A 的坐标；(2) 在抛物线上求点 P，使 SPOA 2S AOB；图 5解： (1) 抛物线的顶点为B(3，3)，2抛物线经过原点 (0， 0)， 0 a(0 3)23，a 3， y 3(x 3)2 3，99即抛物线的函数关系式为3 223yx 3x.9令 y 0，得 3x2 2 3x 0，93解得 x1 0， x2 6，点 A 坐标为 (6，0) (2) 如图， AOB 与 POA 同底不同高，且 S POA 2