直角三角形知识讲解

1、直角二角形(提咼)【学习目标】1理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法一一“斜边，直角边”(即“ HL”).2 能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角 形全等3. 能应用直角三角形的性质解题 .【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角 边对应相等，这两个直角三角形就全等了。这里用到的是“AAS, “ASA或“ SAS判定定理要点二、判定直角三角形全等的特殊方法一一斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边

2、”或“ HL”).这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：(1) “ HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.(2) 判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS ASA AAS SSS HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.(3) 应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt” .要点三、直角三角形的性质定理1:直角三角形的两个锐角互余 .定理2:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推论1:在

3、直角三角形中，如果一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.推论2:在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角 等于30 .要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边(斜边)的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定一一“ HL”1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“X”，全等的注明理由：(1 )一个锐角和这个角的对边对应相等；()(2) 个锐角和斜边对应相等；()(3) 两直角边对应相等；( )(4 )一条直角边和斜边对应相等.( )【答案】(1)全等

4、，“ AAS; (2)全等，“ AAS; ( 3)全等，“SAS; (4)全等，“ HL”【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS ASA AAS SSS HL.举一反三:【变式】下列说法中，正确的画;错误的画“X” ，并举出反例画出图形(1) 一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.()(2) 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.()(3) 有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等.()【答案】(1 )V；AE= DF(2 )；在厶DBC中，AB= DB AE和DF是其中一边上的高,(3 )X .

5、在厶ABC和 ABD中, AB= AB AD= AC, AH为第三边上的高,已知：如图,DEI AC, BF丄 AC, AD= BC, DE= BF.求证：AB/ DC.【答案与解析】证明： DEI AC BF丄 AC在 Rt ADE与 Rt CBF中AD=BC ,DE = BF. Rt ADE Rt CBF ( HL) AE= CF, DE= BF AE+ EF= CF+ EF,即 AF= CE 在 Rt CDE与 Rt ABF 中，DE =BFDEC BFAEC =FA Rt CDE Rt ABF ( SAS/ DCEZ BAF AB/ DC.【总结升华】 从已知条件只能先证出Rt AD妾

6、Rt CBF,从结论又需证 Rt CDE Rt ABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目3、如图 AB = AC, BD丄 AC于 D, CEL AB于 E, BD CE相交于 F.求证：AF 平分/ BAC【答案与解析】证明：在 Rt ABD与Rt ACE中rZBAP = ZCAE （公共角）ZADB = ZAEC = 90（垂直的定义） Rt AB医 Rt ACE（AAS） AD= AE（全等三角形对应边相等 ）在 Rt ADF与 Rt AEF 中=（公共边）AI）= AE己证） Rt ADF Rt AEF（HL）/ DAF=Z EAF（全等三角形对应角相等 ） AF平分/ BAC

7、（角平分线的定义）【总结升华】 若能证得 AD= AE,由于/ ADB / AEC都是直角，可证得 Rt ADF Rt AEF, 而要证AD= AE,就应先考虑 Rt ABD与 Rt AEC由题意已知 AB= AC, / BAC是公共 角，可证得Rt AB医Rt ACE条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全 等得出待求的结论.举一反三：【变式】已知，如图， AC BD相交于 O, AC= BD, / C=Z D= 90 .【答案】/ C=Z D= 90 ABD ACB为直角三角形在 Rt ABD和 Rt BAC中AB 二 BABD = AC Rt ABD Rt BAC(HL) AD= B

8、C在厶AODn BOC中D CIAOD =/BOCAD = BC AODA BOC(AAS) OD= OC类型二、直角三角形性质的应用4、如图所示，在等边厶 ABC中，AE= CD AD BE相交于点P, BQL AD于 Q,求证：BP= 2PQ【答案与解析】 证明： ABC为等边三角形，AC = BC= AB / C=Z BAC= 60 在厶 ACD BAE中,AC =ABIf/BAE,CD =AE ACDA BAE(SAS)./ CAD=Z ABE/ CADZ BAP=Z BAC= 60,/ABE+Z BAP= 60,Z BPQ= 60./ BQ 丄 AD,Z BQP= 90,Z PBQ= 90 60 = 30, BP =2PQ【总结升华】 从结论入手，从要证 BP= 2PQ联想到要求Z PBQ= 30. (2)不能盲目地用