离心率的五种求法

1、离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现椭圆的离心率0 : e ： 1，双曲线的离心率 e 1，抛物线的离心率 e = 1.一、直接求出a, c，求解e已知标准方程或a,c易求时，可利用离心率公式e=c来求解。a2例1.过双曲线C: X2 -爲=1（b 0）的左顶点A作斜率为1的直线I，若I与双曲线M的两条渐近线b2分别相交于点 B C,且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）A. J0B. . 5 C.-1D. 32分析：这里的a =1,cb1，故关键是求出b2，即可利用定义求解。解：易知A （-1 , 0），则直线I的方程为y =x 1。直线与两条渐近

2、线 y - -bx和y = bx的交点分别为 B（ 一-,R）、c（丄，丄），又 |AB|=|BC|b +1 b +1 b1 b1而选Ao,可解得b2 =9，则c= 10故有e = = .10，从a、变用公式e = c 1 b2 （双曲线），a a1-b2 （椭圆），整体求出ece =a2例2.已知双曲线x2 -ab24= 1（a0,b0）的一条渐近线方程为y=4x ,3则双曲线的离心率为（A. 53B. 43分析:本题已知ba不能直接求出a、c,可用整体代入套用公式。解：因为双曲线的一条渐近线方程为4厂4x，所以a总，从3而选Ao21.设双曲线冷aA. ,3B.2C.解：由题双曲线2y2 =

3、 1 a 0, b 0的一条渐近线方程为ax2 - bx a = 0，因渐近线与抛物线相切，所以bxy，代入抛物线方程整理得a2b4a 0 ,即卩_42 耳a2相切，则该双曲线的离心率等于笃=1 （a0,b 0）的渐近线与抛物线y=x 23.过椭圆笃每=1（ a b 0）的左焦点a bb2y:石.的交点分别为B,C 若AB =丄Be，则双曲线的离心率是（）2A.2 BC .、5 D .102x y2.过双曲线 2 =1（a 0,b 0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线a 答案：C【解析】对于A a,0，则直线方程为x 、一 a二0 ,直线与两渐近线的交点为B, C,a2

4、ab2,C(七a -bab ) a -bB?=(毎，一號屁=(a -b a -b. a b a bab ab= .14=5e 二1 a：uur urn因此 2AB 二 BC,. 4a2 二 L，即三 ，a2F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F?为右焦点，若EPF? =60”，则椭圆的离心率为（）【解析】因为3b2P( -c,=)，再由 F1PF2 =60 有=2a,即b2从而可得aa2 33b2e 二1,I：，故选B3三、构造a、c的齐次式,解出e的一元方程，从而解得离心率e。2 2X V例3已知椭圆 2 -1（a b 0）的左焦点为F，右顶点为 A，点B在椭圆上，且BF _ x轴，a buuru

5、ur直线AB交y轴于点P 若AP =2PB，则椭圆的离心率是（）A【解析】对于椭圆，因为uuruur1AP =2PB，贝V 0A=20F, a =2c, e=22 2X y1.设F!和F2为双曲线 2 =1（ a .0,b 0）的两个焦点，若F1? F2 , P（0,2b）是正三角形的三a b3A .-2B.2C个顶点，则双曲线的离心率为（）【解析】由tan 6 2b-3 有 3c3222c=4b 4(c - a ),则 e 2,故选 B.a2.双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F|F2 , F1MF1200，则双曲线的离心率MF=MF2 = Jc?，又 RF2 =2c,为（）A -.3B-

6、C，0233解：如图所示，不妨设M 0,b , F1 -c,0 , F2 c,0，则在F1MF2中，由余弦定理，得COS F1MF2MF+|MF2 - F1F222MF1 MF 2I1即-丄2c2 b2亠c2 b2 -4c22 c2b22 2.b -c， 2b +c b2二 c2 _a2，2_a几222c -a1222，:3a =2c，故选B3.设厶ABC是等腰三角形,-ABC =120，则以A, B为焦点且过点C的双曲线的离心率为B.i. 3C.124.设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. 2 B. 、3 C.

7、3 1 D.51解析：选D.不妨设双曲线的焦点在 x轴上,设其方程为:a：=1(a0,b0)，则一个焦点为F(c,O), B(O,b)一条渐近线斜率为： 一，直线FB的斜率为：-a2ac22cc aac = 0，解得 e =a 25设椭圆的两个焦点分别为Fi、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若：FiPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(、2 -1B. 2D. v2 -1解:由EH八5化为齐次式 e2，2e-1 =0= e、2-126.双曲线务a右支于M点,2-y2 =1 (a 0,b0)的左、右焦点分别是b若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为(Fi， F2，过R作倾斜角为30

8、的直线交双曲线A.、6B. ,3c. ,22 2x V7.设F1, F2分别是双曲线 2的左、a b右焦点,若双曲线上存在点A ,F1AF2 =90 且AF1 =3 AF2，则双曲线的离心率为(D.5210 ?AF1 - AF2 = 2AF2 = 2a 解?(AF1)2+ (AF2)2= (2c)2? aI2 28如图，F1和F2分别是双曲线 与-笃=1 （ a 0,b 0 ）的两个焦点，A和B是以O为 a b圆心，以OFi为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且.F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A .3B .5D .316解析：连接 AFi，/ARFi=30 |AFi|=c，|AF

9、2|=V3c,. 2a = （屁 1）c,双曲线的离心率为13，选Do2 29.设F1、F2分别是椭圆 笃与=1 （ a b 0）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标 a b为V3c（ c为半焦距）的点，且F1F2=F2P，则椭圆的离心率是（）D2A. 2B. .3C. 2A 4B 12 22210设双曲线 笃-爲=1 （ 0 a : b）的半焦距为C,直线L过a,0 , 0,b两点.已知原点 a b到直线的距离为仝c,则双曲线的离心率为（）4解：由已知，直线L的方程为bx a a0，由点到直线的距离公式，得又 c 2 11.知 F1、F2 是双曲线 2葺=1（ a 0, b 0） =a2 b2

10、, 4ab 3c2,两边平方，得 16a2 c2 -a2 = 3ca b，整理得 3e4 -16e2 T6 =0 ,得 e2 =4 或 e2 = 4，又 0 ： a ”： b , /. e2 =三3a2 ,2 .2a bb2,c2122 ,二 e= 4 , . e = 2 ,aa故选A的两焦点，以线段 F1F2为边作正三角形 MF1F2，A. 4 2.3 B. . 3 -1C.宁 D. 31解：如图，设MR的中点为P ,c ：遅即p（_E邑2八22，222把p点坐标代人 双曲线方程，有 _2=1，22I，4a 4bQ/OFf = 60, PF| = c, xP, yP 化简得e4 -8e24

11、=0解得e = i .3或e =i-、.3（舍），故选D四、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率 e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。2 2例4:设椭圆笃-爲（a 0,b 0）的右焦点为Fi,右准线a b若过斤且垂直于x轴的弦的长等于点Fi到li的距离，则椭圆的离心率解：如图所示，AB是过Fi且垂直于x轴的弦, AD为Fi到准线li的距离，根据椭圆的第二定义,AFii-AB 彳_ 2_ iad|AD2e 二1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为i，则该椭圆的离心率为（）A . 2 B C -2 2解：

12、e =AF241 2 v2AD i 22. 在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为a242MN 2 F1F2，则一 ，选c23. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足 MR MF? =0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心 率的取值范围是(C)A. (O,1)B . (0,丄C . (0, D . l)2 2 2-I -J解析：满足MF1 MF? =0的点M总在椭圆内部，所以cb.，焦点到相应准线的距离为-，则该双曲线的离心率为()B2C -2D2 2五、构建关于e的不等式，求e的取值范围2 x 221.已知双曲线 刍-爲-1 (a 0,b 0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直 a b线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(A 1,212xa2椭圆B 1,2