第十讲-弧、弦、圆心角、圆周角

1、第十讲-弧、弦、圆心角、圆周 角第十讲 弧、弦、圆心角、圆周角知识点一弧、弦、圆心角的关系【定义】、如图所示，/ AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做【探究】如图所示的。O中，分别作相等的圆心角/ A OB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 相等的弦：AOB绕圆心O旋转到/;相等的弧：【探究】在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧如图1,在和。0中，？分别作相等的圆心角/ AOB和/A O B得到如图2，滚动一个圆，使0与O 重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得0A与 O A重合.你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？因此，我们可以得到下面的定理：【归纳】在同圆或等圆中

2、，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦。几何语言：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，？所对的也相等.几何语言：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 相等，？所对的也相等.几何语言：【辨析】定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆 中”去掉？为什么？你能举岀反例吗？【拓展】 如图，在。0中，AB CD是两条弦.(1) 如果AB=CD那么,(2) 如果弧AB=M CD,那么,(3) 如果/ AOB=/ COD 那么,(4) 如果AB=CD, OE丄AB, OF丄CD,OE与OF相等吗?（5）如果oe=of那么Ab与Cd的

3、大小有什么关系？ ab与cd的大小有什么关系？ ？为什么？/ AOB与Z COD呢？【归纳】：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的 其余各组量也 。【应用】例、如图，在。O 中，AB=AC / ACB=60 ，求证/ A0B2 BOCM AOC方法小结：圆中证明圆心角相等，可通过证明例、如图? AB是O 0的直径，Bc=Cd=De，/ COD=35，求/ AOE的度数。D例、已知：如图，A、B C D在O0上,AB=CD求证:/ AOCZ DOB方法小结：同圆中，由弦相等可得 _【自我检测】i如果两个圆心角相等，那么（A.这两个圆心角所对的弦相等C

4、.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等,弧之间可进行加或.这两个圆心角所对的弧相等D .以上说法都不对2 .在同圆中，圆心角/ AOB=N COD则两条弧AB与CD的关系是（）两条弦AB和CD的关系是（） A. AB=2CD B . AB2CD C . AB2CD D .不能确定3、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的04、如图，AB和DE是O 0的直径，弦AC/ DE方法小结：同圆中，弧相等的关系可转化为F，延长BA交圆于G求证：Ef = Eg若弦BE=3则弦CE=.5、如图所示，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD BC于E、思路导航：证弧EF和弧GE相等，可通过

5、证明两条弧所对的可作辅助线6、已知：如图，P是/ AOB勺角平分线 OC上的一点，。P与0A相交于E, F点，与0B相交于G H点,试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论.思路导航：由角平线线可联想 ,因此可添加辅且线由同圆中 相等，可得出弦EF和GH相等。知识点二、圆周角定理【探究】：同学甲站在圆心 O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C,他们的视角(/ AOB和/ ACB )有什么关系。【探究】：如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E,他们的视角/ ADB和/AEB相同吗？/ ACB, / ADB和/ AEB的共同特征是，顶点在 的角叫做圆周角。【辨析】识别图形：判

6、断下列各图中的角是否是圆周角？【探究】如图，AB为。0圆周角，求(2)、(3)中/ BAC的度数.90，并且两边径BOC / BAC分别是BC所对的圆心角、通过计算发现：/ BAC=/ BOC试证明这个结论【探究】如图，B C所对的圆心角有多少个？ B C所对的圆周角 有多少个？在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心 种位置关系？你能证明刚才的结论吗？O有几圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.辨析:在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？【小结】：圆周角定理的前

7、提条件是：【应用】例1、图中分别相等的圆周角有例2、如图,点 A B、C在。O上, AO/ BC / OAC=20 ,AOB的度数是方法小结:求圆中的圆周角可利用方法实现转化。所对方法例5方法小结：的关系联系已知与未知。如图，AB是。O的直径,BD是。O的弦，延长BD到C,使AC=AB BD与CD的大小有什么关系？为什么?小结：直径所对的圆周角是 如图，AB为圆O的直径，小结：圆中出现直径，求圆周角时，可构造直径所对，垂直可结合等腰三角形 CD为圆O的弦，/ ACD=42度，则/ BAD= 解题。的性质。【自我检测1、D2、3、4、如图， ABD的三个顶点在。如图，在。O中，弧 AB=AC / BAC的外角平分线交。O于E, EF丄AB,垂足为F.(1) 求证：EB=ECAB + AC AB - AC(2) 分别求式子和的值BFAF(3)若 EF=AC=3 AB=5 求厶 AEF的面妙题巧解如图，在四边形 ABCD中, Z ABC艺ADC=90，/ DAB=60 , BD=6cm求对角线 AC的长.【自我检测】1、 如图12,四边形ABCD内接于圆，Z DCE=70，则Z B0D=2、如图，A、B、C在。0上，Z OAB=22.5,则Z ACB=3、如图