第1章作业题解

1、第1章作业题解第一章一、习题详解：1.1写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时,连续5次都命中，观察其投篮次数；解：连续5次都命中，至少要投5次以上，故!5,6,7,；(2) 掷一颗匀称的骰子两次，观察前后两次出现的点数之和；解：22,3,4,11,12 ；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数；解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以30,12(4) 从编号为1, 2, 3, 4, 5的5件产品中任意取出两件，观察取出哪两件产品 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：4 i,j|1 i j 5 ;(5) 检查两件产品是否合格；解：用0表示

2、合格,1表示不合格，则50,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 ；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于 T1,最高气温不高于T2);解：用x表示最低气温，y表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：6 x,y T1 x y T2 ；(7) 在单位圆内任取两点，观察这两点的距离；解：7 x0 x 2 ；(8) 在长为丨的线段上任取一点，该点将线段分成两段，观察两线段的长度解：8 x, y x 0, y 0,x y l ；1.2设A，B，C为三事件，用A;B;C的运算关系表示下列各事件：(1) A与B都发生，但C不发生；ABC ；A发生，且B与C至少有一个发生；

3、A(B C)；(3)A,B,C中至少有一个发生A,B,C中恰有一个发生；A；ABCB C ；ABCABC ； A,B,C中至少有两个发生;ABACBC ；(6) A,B,C中至多有一个发生；AbACBC ；(7) A;B;C 中至多有两个发生；ABC ；(8) A,B,C中恰有两个发生.ABC ABC ABC ;注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3 设样本空间x0 x 2 ,事件 A= x0.5 x 1 , B x0.8 x 1.6具体写出下列各事件：(1) AB; (2) A B ; (3) A B; (4) A B(1) AB x0.8 x 1 ；(2) A B= x0.

4、5 x 0.8 ；(3) A B = x0 x 0.5 0.8 x 2 ;(4) A B = x0 x 0.5 1.6 x 21.4用作图法说明下列各命题成立：略1.5用作图法说明下列各命题成立：略1.6按从小到大次序排列 P(A), P(A B),P(AB),P(A) P(B),并说明理由.解：由于AB A,A (A B),故P(AB) P(A) P(A B)，而由加法公式，有：P(A B) P(A) P(B)1.7若W 表示昆虫出现残翅，E表示有退化性眼睛，且P(W) = 0.125; P(E)=0.075,P(WE) = 0.025,求下列事件的概率：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛；

5、昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛；昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛.解：(1)昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：P(W E) P(W) P(E) P(WE) 0.175(2) 由于事件W可以分解为互斥事件 WE,WE，昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛对应事件 概率为：P(WE) P(W) P(WE) 0.1 昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛的概率为：P(W E) 1 P(W E) 0.825 .1.8设A与B是两个事件,P(A) = 0.6; P(B) = 0.8。试问：(1)在什么条件下P(AB)取到最大值？最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)取到最小值？最小值是多少？解：(1)由于 A

6、B A, AB B，故 P(AB) P(A), P(AB) P(B),显然当 A B 时P(AB) 取到最大值。最大值是06(2)由于 P(AB) P(A) P(B) P(A B)。显然当 P(A B) 1 时 P(AB) 取到最小值，最小值是041.9 设 P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(C) = 0.5, P(AB) = 0, P(AC) = 0.1, P(BC) = 0.2, 求事件A,B,C中至少有一个发生的概率.解：因为P(AB) = 0,故P(ABC) = 0. A,B,C至少有一个发生的概率为：P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(B

7、C) P(AC) P(ABC) 01.10计算下列各题：(1)设 P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(A B) = 0.6,求 P(AB); 设 P(A) = 0.8, P(A B) = 0.4,求 P(AB);(1)通过作图，可以知道，P(AB)P(AB) P(B) 0.3(2) P(AB) 1 P(AB) 1(P(A)P(AB)0.6(3)由于 P(AB) P(AB)1 P(AB)1 (P(A) P(B) P(AB)o 设 P(AB) = P(A B); P(A) = 0.3,求 P(B) 解：1 P(A) P(B) P(AB)P(B) 1 P(A) 0.71.11把3个球

8、随机地放入4个杯子中，求有球最多的杯子中球数是1，2，3概率各为多少？解：用A表示事件“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有4 4 4 64种，每种放法等可能。3对事件A :必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4X 3X 2种，故P(A1)-8(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。对事件A3 :必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子,1916 16。P(A2)113放入此3个球，选法有4种)，故P(A) 。P(A2) 1 -1681.12掷一颗匀称的骰子两次，求前后两次出现的点数之和为 3; 4; 5的概率各是 多少？解：此题为典型的古

9、典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。出现点数和为“ 3”对应两个基本事件(1，2)，(2，1)0故前后两次出现的点数之和为3的概率为丄。18同理可以求得前后两次出现的点数之和为4, 5的概率各是1,1。12 91.13在整数0,1,2,9中任取三个数,求下列事件的概率:(1)三个数中最小的一个是5; (2)三个数中最大的一个是5.解：从10个数中任取三个数，共有 G3。120种取法，亦即基本事件总数为120。(1) 若要三个数中最小的一个是 5,先要保证取得5,再从大于5的四个数里取两 个，取法有C： 6种，故所求概率为 。20(2) 若要三个数中最大的一个是 5,先要保证取得5,

10、再从小于5的五个数里取 两个，取法有C； 10种， 1.14 12只乒乓球中有4机地取出两只，求下列事件的概率：故所求概率为。12只是白色球，8只是黄色球。现从这12只乒乓球中随取到两只白球；(3)取到一只白球，一只黄球.(1)取到两只黄球；(2) 解：分别用A1, A2,A3表示事件:(1)取到两只黄球；(2)取到两只白球；(3)取到一只白球，一只黄球.则C) P(A)P(A2A)三一 一20 44 19 38(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下，第三次取到次品”的概率为： p(a3AA2)5(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：HAA2A3) P(A)P(A|A)P(A3 AA

11、2)10(3)事件“第三次取到次品”的概率为：1453519 18228丄4此题要注意区分事件(1)、(2)的区别，一个是求条件概率，一个是 再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用 A表示事件般的概率。“第i次取到的是正品” (i 1,2)，则事件“在第一次取到正品的条件下，第二次取到次品”的概率为:P(A2 Al)1而事件“第二次才取到次品”的概率为：p(a1A2) p(a)p(A2a)1。区别是显然的。1.18有两批相同的产品，第一批产品共14件，其中有两件为次品，装在第一个 箱中；第二批有10件，其中有一件是次品，装在第二个箱中。今在第一箱中任 意取出两件混入到第二箱中，然后再

12、从第二箱中任取一件，求从第二箱中取到 的是次品的概率。解：用A(i0,1,2)表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i”。用B表示事件 “C2P(A0)芽C1496p(a)中取至V的是次品”。C2 C2和C4Cl191,1P(B|Ao) P(BA)2 P(B A 312，12,12，根据全概率公式，有：P(B) P(A0)P(BAd) P(A)P(BA) P(A)P(BA)3281.19 一等小麦种子中混有5%的二等种子和3%的三等种子。已知一、 种子将来长出的穗有50颗以上麦粒的概率分别为50%, 15%和10%。假设一、 二、三等种子的发芽率相同，求用上述的小麦种子播种后，这批种子所结的

13、穗有50颗以上麦粒的概率.解：设A(i 1,2,3)表示事件“所用小麦种子为i等种子B表示事件“种子所结的穗有50颗以上麦粒”则 P(AJ 0.92, P(A2)0.05, P(A3)0.03, P(B A)0.5，P(B A)0.15,P(B A)0.1，根据全概率公式，有:P(B) P(A)P(BA) P(A2)P(BA2)P(A)P(BA) 0.47051.20设男女两性人口之比为51 : 49,男性中的5%是色盲患者，女性中的2.5% 是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人，恰好是色盲患者，求此人为男性的概 率。解：用B表示色盲，A表示男性，则A表示女性，由已知条件，显然有:P(A) 0

14、.51,P(A) 0.49,P(B A) 0.05,P(B|A) 0.025,因此:根据贝叶斯公式，所求概率为:P(AB)P(AB)P(B)P(AB)P(AB) P(AB)P(A)P(B|A)102P(A)P(BA) P(A)P(B A) 1511.21根据以往的临床记录,知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95非癌症患者因对这试验呈阳性反应的概率为0.01,被试验者患有癌症的概率为0.005。若某人对试验呈阳性反应，求此人患有癌症的概率解：用B表示对试验呈阳性反应,A表示癌症患者，则A表示非癌症患者，显然有：P(A) 0.005, P(A) 0.995,P(BA) 0.95,P(BA

15、)0.01,因此根据贝叶斯公式，所求概率为：P(AB) P(AB) P(AB)_P(A)P(BA)_95P(B) P(AB) P(AB) P(A)P(B|A) P(A)P( BA) 2941.22仓库中有10箱同一规格的产品，其中2箱由甲厂生产，3箱由乙厂生产， 箱由丙厂生产，三厂产品的合格率分别为95%; 90% 和96%.(1)求该批产品的合格率； 从该10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，若此件产品为合格品，问此 件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少？解：设，B1产品为甲厂生产, B产品为乙厂生产, B3产品为丙厂生产,A 产品为合格品，贝U(1)根据全概率公式，P(A) HBOPQ

16、BO P(B2)P(AB2)P(B3)P(AB3)0.94，该批产品的合格率为0.94.(2)根据贝叶斯公式，P(B A)P(Bi)P(AB)19P(B)P(ABi) P(B2)P(AB2)P(B3)P(AB3)94同理可以求得P(B2 A)2794，P(BsA)4，因此，从该10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，若此件产品为合格品，此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分 别为：翌,空,兰。94 94 471.23甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次，他们击中目标的概率分别为 0.7，0.8 和0.9,求目标被击中的概率。解：记 A=目标被击中，则 P(A) 1 P(A) 1 (1 0.9)

17、(1 0.8)(1 0.7) 0.9941.24在四次独立试验中，事件A至少发生一次的概率为 0.5904,求在三次独立 试验中，事件A发生一次的概率.解：记A4=四次独立试验，事件 A至少发生一次，A4 =四次独立试验，事件A次也不发生 而P(AJ 0.5904因此P(瓦)1 P(A4)p(aaaA)P(A)40.4096 所以P(A) 0.8,P(A)1 0.80.2三次独立试验中,事件 A发生一次的概率为：1 2c3P(A)(1 P(A)23 0.2 0.64 0.384。、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充:(1)排列组合公 式P；m!从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。(m n

18、)!Cm m! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 n !(mn)!(2)加法和 乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由 m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mx n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由 mx n种方法来完成。(3) 一些常 见排列重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个)顺序冋题(4)随机试 验和随机事 件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果 不止一个，但在

19、进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则 称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本事 件、样本空 间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事 件，它具有如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A, B, C,表示事件，它们是 的子集。为必然事件，为不可能事件。不可能事件 的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件； 同理

20、，必然事件Q的概率为 1,而概率为1的事件也不一定是必然 事件。(6)事件的 关系与运算 关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(A发生必有事件 B发生)：A B如果同时有A B，B A，则称事件A与事件B等价，或称A 等于BoA、B中至少有一个发生的事件：A B,或者A+Bo 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为 A B ,也可表示为A AB或者AB ,它表示A发生而B不发生的 事件。A、B同时发生：A B，或者AB o A B，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相谷或者互斥。基本事件疋互不相容的。A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它

21、表 示A不发生的事件。互斥未必对立。 运算：结合律：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配律：(AB) U C=(AU C)n (B U C) (A U B) A C=(AC) U (BC)对偶律：A B A B , A B A B(7)概率的 公理化定义设 为样本空间，A为事件，对每一个事件 A都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0 P(A) 0，则称P(AB)为事件A发生条P(A)件下，事件B发生的条件概率，记为P(B/A) 旦A巳oP(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P( Q /B)=1 P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法 公式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)更一般地，对事件 A1, A，A,若P(AAA-1)0，则有P(A1A2 An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2) P(An | A1A2 An 1)/ o( 性14) 独立两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB) P(A)P(B)，则称事件A、B是相互 独立的。若事件A、B相互独立，且P(A) 0，则有P(AB) P(A)P(B)P(B|A)_L P(B)P(A)P(A)若事件A、B相互独立，则可得到 A与B、A与B