选修11直线与椭圆的位置关系教案

1、第13页适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版区域课时时长（分钟）2课时直线与椭圆的位置关系。常见的几类问题（交点个数问题、弦长问题、知识点中点弦问题）教学目标掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法.2 掌握有关椭圆弦长问题的求解方法.教学重点直线与圆锥曲线的位置关系的判断和弦长的求解III:I: I I I1 I I I I I教学难点数形结合思想的应用IIIII【教学建议】本节课采用创设问题情景 一一学生自主探究 一一师生共同辨析研讨 一一归纳总结组成的四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案，通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇

2、气.【知识导图】教学过程直线与圆有哪些位置关系？怎么判断的？想一想：直线与椭圆有哪些位置关系，能用直线与圆的位置关系的判断方法来判断吗？如果不能，你有哪些方法？二、知识讲解【问题导思】直线与椭圆的位置关系如何判断？【提示】判断直线I与椭圆C的位置关系时，通常将直线 I的方程Ax+ By+ C= 0（A, B不 同时为0）代入椭圆C的方程F（x, y）= 0,消去y（也可以消去x）得到一个关于变量 x（或变量Ax + By + C = 0,y)的一元方程，即消去y,得ax2 + bx+ c= 0.LF(x, y) = 0,设一元二次方程 ax2 + bx+ c = 0的判别式为 ，则 少0= 直

3、线与椭圆C相交；= 0二 直线 与椭圆C相切；&0=直线与椭圆C相离.考点2 弦长公式 【问题导思】直线与椭交时，弦长怎么求?7【提示】设斜率为 k(kz的直线I与圆锥曲线C相交于A, B两点，A(xi, yi), B(X2,油，则AB(Xix?) +(yi2)J(Xix?)+(kXikx；2)= Jkzx +X2j 4xX2或AB 二 Xi 一乞亠 y y?二2存-A 卢*)=yi y2 二 1 1, yi y -4yiy2 然后联立直线与椭圆的方程，建立关于变量x(或变量y)的一元二次方程，运用韦达定理求弦长.类型一直线与椭圆的位置关系2XQ已知椭圆+y = i.(1) 当m为何值时，直线

4、y= x+ m与椭圆有两个不同的交点？当m= 2时，求直线被椭圆截得的线段长.【思路探究】联立，消 y得一元二次方程 t 判别式t m的范围t根与系数的关系 t由弦长 公式求弦长.P4 + y2= i【自主解答】 联立4消去y得，5x2 + 8mx+ 4(m2 i)= 0.ly= x+ m因为= 64 m2 80(m2 i)0，所以，5m.5，所以当 5m0.类型二求中点弦所在的直线方程2 2已知(4, 2)是直线I被椭圆36 + = 1所截得的线段的中点，贝y I的方程是 .2 2【自主解答】方法一：设直线 I与椭圆相交于A(X1, y1), B(X2, y2),则器+ = 1,且2 236

5、 + y2= 1,两式相减，得y1 y2X1 X2X1+ X24(y1 + y2)y1 y21又 X1 + X2= 8, y1+ y2= 4, 所以=2,X1 X221故直线I的方程为y 2 = 2(x 4)，即x+ 2y 8 = 0.方法二：设直线I与椭圆相交于 A(X1, y1), B(X2, y2),设直线方程为y-2二k x-4，即y =kx2 -4k .y =kx 2 _4k ，口 22联立方程2，得x24kx2_4k 一36=0,X+4y236=0-即（4k2 +1 ）x2 +8k（2 4k ）x+4（2 4k $ 36=0 .又 X1 + X2= 8,所以 8 =X! X2 =_

6、8k _4k ，解得 k = _丄.4k2 +121故直线I的方程为y 2 =-2（x 4），即x+ 2y 8 = 0.【总结与反思】 处理中点弦问题常用的求解方法1点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有X1 +y1 y2X2, y1 + y2,三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求X1 X2得斜率.2.根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一兀二次方程后由根与系数的关系求解.注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足.类型三

7、直线与椭圆位置关系的应用2 2设A1, A2与B分别是椭圆E：予+ * = 1(ab0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆C:2 2x + y = 1相切.1 1(1) 求证：孑+1 ；T T(2) 直线I与椭圆E交于M , N两点，且OM QN = 0,试判断直线I与圆C的位置关系，并 说明理由.2 2【解】(1)已知椭圆E：+ 2= 1(ab0), A1, A2与B分别是椭圆E的左、右顶点与上顶点，x y所以 Ai( a, 0), A2 (a, 0), B(0, b),直线 A2B 的方程是+f= 1.a b因为直线A2B与圆C: X2+ y= 1相切，所以1 1 111 = 1，即孑+

8、孑=1.孑+孑(2)设 M(xi, yi), N(x2, y2).若直线l的斜率存在，设直线I: y= kx+ m.将y= kx+ m代入x2+ $= 1,得右色評=1,八/口 “22, 2X 2小 2,222,2八， 八、化简，得(b + a k )x + 2a kmx+ a m a b = 0(A0).2 2 2 2 2、2a kma m a b所以 X1 + x2 = 22 2, X1X2 =b2+ a2k2b2 + a2k22 2 2 2 2 222 a k m a b k_故 y1y2= (kx1+ m)(kx2 + m)= k X1X2 + km(x1 + X2)+ m =2T2+

9、 km , 2b + a k22 a km 2-.2 , 2 2 i+ m = I b + a k ;b2+ a2k2因为 OM ON = 0,所以 X1X2+ y1y2 = 0.11把 X1x, y1y2 代入上式，得(a + b )m a b (1 + k )= 0.结合孑 + y = 1，得 m = 1 + k .圆心到直线I的距离为d= J= 1，所以直线I与圆C相切. 屮1+ k2若直线I的斜率不存在,2 2设直线I: x= n.把直线I代入/+器=1,得y = 所以|n| =2, 2 , 2 2 a b bn，所以a2n2= b2(a2 n2),解得n = 1，所以直线I与圆C相切

10、.综上所述，直线I与圆C相切.【总结与反思】 研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个 数.对于填空题，充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解.2 2在平面直角坐标系 xOy中，过点A( 2, 1)的椭圆C ： =1 a b 0的左焦点为F , a buuu uLiir短轴端点为 Bi、B2, FB, FB2 =2b2 .(1)求a、b的值;(2)过点A的直线I与椭圆C的另一交点 为Q,与y轴的交点为R,过原点0且平行于I的直 线与椭圆的一个交点为 P 若AQAR = 3OP2,求直线I的方程.uuuuuur【解】(1)因为 F(-c,0) ,3(0 ,

11、 - b)且(0 ,b)，所以 FBi 二 c,- b , FB c ,b .uuu uuurc222因为 FB, FB2 =2b2，所以 c2 b2= 2b2 .41因为椭圆C过A( 2, 1)，代入得孑+孑=1. 由解得a = 8, b = 2.所以a= 2寸2, b = ,2.由题意，设直线I的方程为y+ 1 = k(x+ 2). y+1 = k (x+ 2),由 3 x2 y2得(x+ 2)(4 k2+ 1)(x+ 2) (8k + 4) = 0.+ = 1十 2,8k+ 48k+ 4因为 x+ 2 所以 x+ 2= 2，即 xq+ 2 = -24k + 14k + 1由题意，直线OP

12、的方程为y= kx.由y= kx,b0)，且 a2 b2= (5 . 2)2= 50. +古=1(a b 0), F( .2, 0)为其右焦点，过 F且垂直于x轴的直线与椭 圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为答案与解析1. 【解析】由于直线 y= kx k+ 1 = k(x 1) + 1过定点(1, 1)，而(1, 1)在椭圆内，故直线 与椭圆必相交.【答案】相交2.【解析】由题意，得a = 2,解得b = 2,2 2所以椭圆c的方程为x+y2 = 1 2 2【答案】x+V2 = 1【巩固】1 椭圆+ y2= 1的弦被点2, 1 平分，则这条弦所在的直线方程是 2. 焦点分别为(0, 5

13、2)和(0, 5 2)的椭圆截直线y= 3x 2所得椭圆的弦的中点的横坐标1为2求此椭圆方程.答案与解析1.【解析】设弦的两个端点为A(X1, y”, B(x2, y2),贝U X1+ X2= 1, y1+ y2= 1.2 2x1 Ox29因为A, B在椭圆上，所以3+ y2= 1, -+ y2= 1.(X1 + x2)(X1 X2)y1 y2x1 + x211y= 3x 2因为Xi+ x21刁所以6b2 *a2 + 9b21，所以a2= 3b2,2 2 2 2 2 2 2，得(a + 9b )x 12b x+ 4b a b = 0,2 222x y此时少0,由，得a = 75, b = 25

14、，所以躬+务=1.【提高】2 21. 设椭圆C:字+ b= 1(ab0)的右焦点为F，过点F的直线I与椭圆C相交于A, B两点,直线I的倾斜角为60 AF = 2FB .(1)求椭圆C的离心率；15如果AB =，求椭圆C的方程.答案与解析1.【解】设 A(X1, y1), B(x2, y2)(y10),(1)直线I的方程为y= . 3(x c)，其中c= a 2 = 2 2 2 b2.联立y h：；?3 x _ cX2v2消去x,xyh孑b21得(3a2+ b2)y2 + 2 , 3b2cy 3b4= 0，解得 y1 =.3b2(c+ 2a) 2 ,2 ，3a + by2=3b2 (c 2a)

15、2 23a + b，解得离心率e=：=因为 AF = 2FB，所以一 y1 = 2y2,3b2(c+ 2a) 3b2(c 2a)515b = -a 所以 4a =，得 a/12 4V3ab215 c(2)因为AB =1+3|y2y1,所以3 307= 7.由a=3, b = .5.2 2所以椭圆c的方程为x+y5=1.五、课堂小结直线与椭圆位置关系的判断、有关椭圆弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.课后作业1若椭圆3_冷=,的弦

16、被点(4, 2)平分，则此弦所在直线的斜率为2X22. 过点M( 2, 0)的直线m与椭圆+ y2= 1交于 已、P2两点，线段P1P2的中点为P,设 直线m的斜率为ki(kiz 0)直线OP的斜率为k2,则kik2的值为X 23. 斜率为1的直线1与椭圆匸+y “相交于A B两点，则AB的最大值为4.椭圆的两个焦点坐标分别为F1( .3, 0)和F2(,3, 0)，且椭圆过点(1)求椭圆的方程;(2)过点一5，0作不与y轴垂直的直线l交椭圆于M, N两点，A为椭圆的左顶点，试判断/MAN的大小是否为定值，并说明理由.答案与解析11.24. (1)由题意,12.22Xn即可得到+ y= 1.4

17、.10(2)设直线MN的方程为x= ky I,联立直线X= ky 5,MN和曲线C的方程可得耸+y2=1,得(k2 + 4)y2 ky14= 0,设 M(X1,64y1)，N(X2,y2)，A(2, 0)，y1y2=25(k2T4；12ky1 + y2=2,5 (k + 4)0,即可得/ MAN = n则Am An =(X1+ 2, y1)(X2+ 2, y2)= (k2 + 1)y1y2 + |k(y1+ y2)+【巩固】2 21 .已知椭圆4x + y = 1及直线y= x+ m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围;(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.2已知椭圆的中心在

18、原点，焦点在x轴上，离心率为-2，且椭圆经过点M(4，1)，直线l : y x m交椭圆于不同的两点 A, B (1)求该椭圆的方程;(2)求实数m的取值范围.3.椭圆ax2 + by2= 1与直线x+ y- 1 = 0相交于A, B两点，C是AB的中点，若 AB= 2.2, OC的斜率为子，求椭圆的方程.答案与解析4x2 + y2= 1,1.【解】由y= x+ m,得 5x2 + 2mx+ m2- 1 = 0.因为直线与椭圆有公共点，所以2 2= 4m2 20(m2- 1)故m的取值范围为5也 12， 2 (2)设直线与椭圆交于 A(X1, y”、B(x2, y2),由知，5x2 + 2mx

19、+ m2 1 = 0,所以 X1 + X2= 習，*x2 = g(m2 1).Nm24235 5(m 1)设弦长为 d,且 y1 y2= (* + m)(X2+ m) = X1 x2,所以 d= (X1 X2)2 + (y1 y2)2=2(X1 X2)2= 2(X1 + X2)2 4X1X2=5,10 8m2.所以当m= 0时，d最大，此时直线方程为 y= x.222. (1)由题意可设椭圆的方程为务气=1 a b 0 .a b3因为e ，所以a2 =4b2 .216 1又因为椭圆过点M(4, 1)，所以=1 ,a b由解得b2 =5 ,a2 =20，故椭圆的方程为乞乂=12052 2x y(

20、2)将y m代入1，整理，得2052 25x 8mx 4m - 20 = 0 ,2 o由题意知 D =(8m ) 20(4m2 20)a0，解得-5 cm c5 ,所以实数m的取值范围为 -5,5 3. 【解】解法一：设 A(xi, yi)、B(x2, y2),代入椭圆方程并作差，得a(xi + x2)(xi X2)+ b(yi+ y2)(yi y2)= 0.yi y2而=-1,XL xyi + y2=koc =xi+ X2代入上式可得b = 2a.ax + by = i,2由方程组得(a + b)x - 2bx+ b- i = 0,x+ y-i= 0所以Xi+ X2 =2ba+ bb- iXiX2 =a+ b再由 AB=- i + k2 |X2-xi|= 2X2-xi|= 2 2 得2b I - 4 电+ b丿=4,将b= ,2a代入得a = 3，所以b=所以所求椭圆的方程是 Xj +亠= i ax2+ by2= i,2解法二：由得(a+ b)x2 2bx + b-1 = 0.|x+ y= i设 A(xi, yi)、B(X2, y2),则 AB = (k2+ i)(xi-X2)2= 2:4b2 4