人教版九年级上册数学《垂直于弦的直径》教学案

1、24 1.2垂直于弦的直径1进一步认识圆是轴对称图形2能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题3认识垂径定理及推论在实际中的应用， 会用添加辅助线的方法解决问题一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥， 距今已有 1400 多年了，是隋代开皇大业年间 (605 618) 由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形，全长 50.82 米，桥宽约 10 米，跨度 37.4 米，拱高 7.2 米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥你知道

2、主桥拱的圆弧所在圆的半径吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】垂径定理的理解如图所示， O的直径 AB垂直弦 CD于点 P，且 P 是半径 OB的中点，CD6cm，则直径 AB的长是 ()A2 3cmB32cmC 42cmD43cmABDC CDDPODP是OBOP解析： 直径 ， 6，3. 连接，的中点，设为 x，则 OD为 2x，在 Rt DOP中，根据勾股定理列方程32x2 (2 x) 2，解得 x 3. OD2 3， AB 4 3. 故选 D.方法总结： 我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题【类型二】垂径定理的实际应用如图，一条公

3、路的转弯处是一段圆弧( 图中的 AB) ，点 O是这段弧的圆心， C 是 AB上一点， OC AB，垂足为 D， AB300m，CD50m，则这段弯路的半径是 _m.解析：本题考查垂径定理， OCAB，AB300m， AD150m.设半径为 R，根据勾股定理可列方程 R2( R50) 2 1502 ，解得 R250. 故答案为 250.方法总结： 将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答探究点二：垂径定理的推论【类型一】利用垂径定理的推论求角如图所示，O的弦AB、 AC的夹角为， M、N 分别是 AB、AC的中50点，则 MON的度数是 ()A100 B 11

4、0 C 120 D 130解析：已知 M、N分别是 AB、AC的中点，由 “平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 ” 得 OMAB、 ONAC，所以 AEO AFO90，而 BAC 50，由四边形内角和定理得 MON 360 AEO AFO BAC360 90 9050 130.故选 D.【类型二】利用垂径定理的推论求边如图，点 A、 B 是 O上两点， AB10cm，点 P 是 O上的动点 ( 与 A、B 不重合 ) ，连接 AP、BP，过点 O分别作 OEAP于 E，OF PB于 F，求 EF的长解析：运用垂径定理先证出 EF 是ABP的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的 EF与 AB建立

5、关系，从而解决问题解：在 O 中， OEAP，OFPB， AEPE， BFPF， EF 是 ABP的1 1中位线， EF 2AB210 5cm.方法总结： 垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题， 我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手【类型三】动点问题如图， O的直径为 10cm，弦 AB8cm，P 是弦 AB上的一个动点，求OP的长度范围解析：当点 P 处于弦 AB的端点时，OP最长，此时 OP为半径的长；当 OPAB时， OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长1解：作直径 MN弦 AB，交 AB于点 D，由垂径定理，得 AD DB AB 4cm.2又 O的直径为 10cm，连接 OA， OA5cm.在 RtAOD中，由勾股定理，得22ODOAAD3cm.垂线段最短，半径最长， OP的长度范围是 3 OP5( 单位： cm)方法总结： 解题的关键是明确 OP最长、最短时的