因式分解专题3 用分组分解法含答案1

1、4、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法 的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见” 源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例1.把多项式2a(a2 a 1) a4 a2 1分解因式，所得的结果为()2222A.(a2a -1)2B.(a

2、-a1)22222C.(a2 a 1)2D.(a2 - a -1)2分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。解：原式=2a(a2 a 1) a4 a2 1=a4 2a33 a2 2a 1= (a4 2a3 a2)(2a22a)1= (a2 a)22(a2 a) 1= (a2 a 1)2故选择C例 2.分解因式 x5 -x4 x3 -x2 x -1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把xx4 x3和- x2，x-1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x5 x4，x3 -x2和x -1分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提

3、取公因式后再进行分解。解法1：原式=(x5 -x4 x3) -(x2 - x 1)= (x3 -1)(x2 -x 1)=(x -1)(x2 x 1)(x2 - x 1)解法2：原式=(X5 _x4) (x3 _x2) (X -1)=x4(x -1) x2(x -1) (X -1)42=(x -1)(x x 1)二(x -1)(x4 2x21) -x2=(x -1)(x2 x 1)(x2 -x 1)2. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c,且满足a b, a2c2 : b22ac证明：以a、b、c为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两

4、边之差小于 第三边”证明：；a2 - c2 : b2 - 2ac2 2 2.a c - b - 2ac : 0.a2 2ac c2b2 : 0，即(ac)2b2 : 0.(a -c b)(a -c - b) ：0又 - a - c b、a-c-b.a -cb - 0， a c b ： 0.a b c，a -b ： c即 a b : c : a b.以a、b、c为三边能构成三角形3. 在方程中的应用例：求方程xy二xy的整数解直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，分析：这是一道求不定方程的整数解问题, 故可考虑借助因式分解求解解：；x _y =xy.xy _x 亠y =0xy -x y _ 1

5、 = _1即x(y -1) (y -1) - -1.(y -1)(x1) = -1 x, y是整数x 1 或y -14、中考点拨例 1.分解因式： 1 _m? _n2 +2mn=。2 2解: 1 m n 2mn=1 _(m2 2m n n2)=1 -(m - n)2=(1 mn)(1 _m 亠 n)说明：观察此题是四项式， 应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例2.分解因式： x2 y2 x - y二解: x2 -y2 _x y 二(x2 _y2) _(x _y)=(x y)(x - y) - (x - y

6、)=(x -y)(x y -1)说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。例 3.分解因式：x3 +3x2 4x12=解: x3 3x2 -4x -12 =x3 -4x 3x2 -122 2=x(x -4)3(x -4)=(x 3)(x 2)(x -2)说明：分组的目的是能够继续分解。5、题型展示：例 1.分解因式： m2 (n2 -1) 4mn -n212 2 2解：m (n -1) 4mn - n 1=m2n2 - m2 4mn _ n2 1= (m2n2 2mn 1) _(m2 -2mn _n2)22=(mn 1)-(m _n)=(mn _ m n 1)(mn m _

7、 n 1)说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn, 配成完全平方和平方差公式。2 2 22例 2.已知：a b =1, c d =1,且 ac，bd=O，求 ab+cd 的值。解：ab+cd= ab 1 cd 1=ab(c2 d2) cd(a2b2)= abc2 abd2cda2 cdb2=(abc2 cdb2) (abd2 cda2)=bc(ac bd) ad(bd - ac)= (ac bd)( bc ad)ac ： bd =0.原式=0说明：首先要充分利用已知条件 a2 b2 =1, c2 d2 =1中的1 (任何数乘以 1,其值 不变)，其次

8、利用分解因式将式子变形成含有 ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结 果。例3.分解因式：x3 2x -3分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0,这就意味着x 一1是x3 2x -3的一个因式，因此变形的目的是凑 x_1这个因式。解一(拆项)：333x 2x3=3x 3 2x2x2 2=3(x _1)(xx 1) -2x(x 1)=(x 1)(x2 x 3)解二(添项)：x3 2x _3=X3 _x2 x2 2x -3 = x2(x -1) (x -1)(x3)=(x -1)(x2 x 3)说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆

9、一次项和常数项，看看是否可解？-7 -【实战模拟】1. 填空题：(1) 分解因式 a： -3a -b2 3b =(2) 分解因式 x2-2x-4xy4y24 4y =(3) 分解因式 1:_mn(1 mn) m3n3 口2. 已知：a b c = 0,求 a3 - a2c - abc - b2c - b3 的值。53.分解因式：a a 14. 已知：x2 -y2 -z2 =0, A是一个关于x,y,z的一次多项式，且x3 -y3 -z3 =(x -y)(x -z)A，试求A的表达式。2 2 25. 证明：(a b -2ab)(a b -2)(1 -ab) =(a -1) (b -1)【试题答案

10、】1. (1)解：原式=(a2 b2) 3(a b)=(a b)(a - b) - 3(a - b)=(a -b)(a b - 3)(2) 解:原式=(x2 4xy 4y2) _2(x 2y)2=(X _2y)2 -2(x -2y)=(x2y)(x2y2)(3) 解： 原式 =1 mn m2 n2 m3 n32 2=(1mn)亠 m n (1mn)2 2=(1 - mn)(1 m n )2. 解：原式=(a b)(a2 -ab b2) c(a2 -ab b2)=(a2 -ab b2)(a b c)a b c = 0.原式=0说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。3解：a

11、5 a 1=a5 -a2 a2 a 1=a2 (a3 T) (a2 a 1)=a2 (a1)(a2 a 1)(a2 a 1)= (a2 a 1)(a3 - a2 1)4.解：一 222cxyz022 2 2 22y=x z ， z 二X-y333.x-yz=(X3 _y3) _z z2=(X-y)(x2 xy y2)-/ 2 2 z(x -y )=(x -y)x2 xyy2 -z(x y)=(x y)x(x -z) y(x z) (x2 z2)=(xy)(x z)(x y x z)=(x y)(x z)(2x y z).A = 2x y - z5.证明：(a b 2ab)(a b -2)(1 -ab)22 2 2 2 2 2=aab 2a ab b 2b 2a b 2ab 4ab 1 2ab