定积分计算公式和性质word文档良心出品

1、第二节定积分计算公式和性质、变上限函数设函数/(x)在区间上连续，并且设x为b上的任一点，于是，yh)在区间 b上上的定积分为J位这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为如果上限x在区bz间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在b上上定义了一个以x为自变量的函数 W 我们把称为函数zW在区间b上变上限函数记为叮九恥兰皿)图5-10从几何上看，也很显然。因为X是b上上一个动点，从而以线段 b上形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点5-10)定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法

2、计算。因此,分的简便方法。我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间路程s严帥图 5-11为底的曲边梯的函数(见图必须寻求计算定积b上1上所经过的4b 皿）另一方面，如果物体经过的路程 s是时间t的函数s（n，那么物体从t=a到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11）=0)-血)由导数的物理意义可知：必）二讹）即S（是诞）一个原函数，因此，为了求出定积分卜“加，应先求出被积函数卩（M的原函数我），再求s在区间a,b上的增量血）-购 即可。如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法:设函数ZW在闭区间b，引上连续， F開是/W 的一个原函数，即W=/W，打规0） 一阳 这个公式

3、叫做牛顿-莱布尼兹公式。为了使用方便，将公式写成L牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、 下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。例1计算-X因为32 求曲线y 血1 X和直线x=0、x=开 及y=0所围成图形面积A（5-12）解这个图形的面积为j4= sin X必=Jo-cosxj5-12二-cosjt+cosO 二 1+1 二 2二、定积分的性质设/仞、gW在相应区间上连续，禾U用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质:性质1被积函数的常数因子可以提

4、到定积分符号前面，即（A为常数）性质2函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即.：bW土期协=打（X呂土佩涵这个性质对有限个函数代数和也成立。性质3积分的上、下限对换则定积分变号，即：/（诙= -f/（x 比以上性质用定积分的定义及牛顿 -莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。 性质4如果将区间b分成两个子区间及这个于区间分成有限个的情形也成立。下面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。当acb时，从图5-13a可知，由y=f （兀）与和x=a x=b及x轴围成的曲边梯形面积 / :虫二 4+4图 5-13a图 5-13b因为打（林;4 =打（讷；4 =/（讷神”电/“/+r/（x）dx

5、即性质4成立。当abc时，即点c在b上外，由图5-13b可知，打鼬二占+&二打陽+打&比所以“W叮抽肚-p（诙 二加）+p陽显然，性质4也成立。总之，不论c点在内还是b上外，性质4总是成立的。例3求 (3兀，+ 丄”乂 =弘，必 + : -Lzx ? +ln|x|J= 8-l + ln2-lnl = 7 +Jn 2弓2迎记必例4求*2血迎争_F(j咖JJJf=F必一 Jcos xdx = x - sin=(X- arctan =】一彳所以二-72-1r2例6求J-1解几）于是，J-1-XrOr2-皿+L 皿+-1= - + 2=-2 2/W=1 L址也L 1也解因为区肛-1,2上分段连续所以加1如打（诙1-X+2 -1X2例8火车以v=72km/h的速度在平直的轨道上行驶，到某处需要减速停车。设火车以 加速度a=-5m/s2刹车。问从开始刹车到停车，火车走了多少距离?解首先要算出从开始刹车到停车经过时间。当时火车速度二7滋处警炉20沁刹车后火车减速行驶。其速度为吨）二忙加二20-咒当火车停住时，速度呦二0，故从吨）=20-生二Q解得5/s于是在这段时间内，火车走过的距离为S =讹址二（20 - 5岀=20；- 翩=40?n（5x4 巧20x440m才能停住。丄 2丿即在刹车后，火车需走过习题5-21求下列定积分:（射sin X)