高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末分层突破学案 新人教A版选修2-1(2021年最新整理)

1、2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末分层突破学案 新人教a版选修2-12018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末分层突破学案 新人教a版选修2-1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末分层突破学案 新人教a版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您

2、生活愉快 业绩进步，以下为2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末分层突破学案 新人教a版选修2-1的全部内容。15第三章 空间向量与立体几何自我校对共面向量定理坐标表示加减运算坐标运算 空间向量的概念及运算1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求,解题时可结合已知和所求,根据图形，利用向量运算法则表示所需向量.2.空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式ab|a|bcosa，b及其变式cosa，b是两个重要公式。(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式

3、，如a2a2，a在b上的投影a|cos 等。给出下列命题：若，则必有a与c重合,b与d重合，ab与cd为同一线段；若ab0，a，b为钝角；若a是直线l的方向向量，则a(r)也是l的方向向量;非零向量a，b，c满足a与b，b与c,c与a都是共面向量,则a，b，c必共面。其中错误命题的个数是（)a.1 b。2c。3d。4【精彩点拨】紧扣空间向量的相关概念、运算法则加以判断,注意举反例的思想方法.【规范解答】错误，如在正方体abcda1b1c1d1中，但线段ab与a1b1不重合；错误,ab0,即cosa，b0,得a，b，而钝角的范围是；错误，当0时，a0，不是l的方向向量；错误，如在平行六面体abc

4、da1b1c1d1中，令a，b，c，则它们两两共面，但，不共面.【答案】d再练一题1.已知正方体abcd。a1b1c1d1中，若xy（），则x_，y_。图31【解析】由题知()，从而有x1，y。【答案】1空间向量与线面关系空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题,主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决。在四棱锥p。abcd中，abad,cdad，pa底面abcd，paadcd2ab2，m为pc的中点。（1）求证：bm平面pad；(2)平面pad内是否存在一点n，使mn平面pbd？若存

5、在，确定n的位置；若不存在,说明理由。【精彩点拨】（1)证明向量垂直于平面pad的一个法向量即可；(2)假设存在点n，设出其坐标，利用,列方程求其坐标即可。【规范解答】以a为原点,以ab，ad，ap分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，则b(1，0,0），d（0,2,0）,p（0,0,2），c（2，2，0)，m(1，1,1)，（1）证明：(0,1,1)，平面pad的一个法向量为n(1，0,0)，n0，即n,又bm平面pad，bm平面pad.（2）(1,2,0)，(1，0，2),假设平面pad内存在一点n,使mn平面pbd。设n（0，y,z)，则(1，y1，z1），从而mnbd，mn

6、pb,即n，在平面pad内存在一点n，使mn平面pbd。再练一题2.如图3。2所示，已知pa平面abcd，abcd为矩形，paad，m，n分别为ab，pc的中点。求证：图3。2(1）mn平面pad；（2)平面pmc平面pdc。 【导学号:37792148】【证明】(1)法一：如图所示，以a为坐标原点,ab，ad，ap所在的直线分别为x，y,z轴建立空间直角坐标系axyz.设paada,abb，则有p(0,0，a),a(0，0,0），d(0，a，0），c(b,a,0)，b(b，0,0）,m,n分别为ab，pc的中点，m，n.，（0,0,a），(0，a，0），。又mn平面pad,mn平面pad.法

7、二:易知为平面pad的一个法向量。（b，0，0），又，0，.又mn平面pad，mn平面pad。(2)由(1)可知：p(0,0,a），c（b，a，0),m，d(0，a，0）。所以(b,a，a）,(0，a，a）。设平面pmc的一个法向量为n1（x1，y1，z1)，则得令z1b，则n1(2a，b，b）.设平面pdc的一个法向量为n2（x2,y2，z2），则得令y21，则n2（0，1,1），n1n20。n1n2，即平面pmc平面pdc。空间向量与空间角利用空间向量只要求出直线的方向向量和平面的法向量即可求解。（1)若两条异面直线的方向向量分别为a，b，所成角为，则cos |cosa，b|。（2）直线l

8、的方向向量为u,平面的法向量为n,直线与平面所成角为，则sin |cos，根据情况确定。如图33，在等腰直角三角形abc中，a90，bc6，d,e分别是ac，ab上的点，cdbe，o为bc的中点。将ade沿de折起，得到如图(2)所示的四棱锥a.bcde，其中ao。(1）(2)图3。3(1)证明：ao平面bcde；（2）求二面角acd。b的平面角的余弦值。【精彩点拨】（1）利用勾股定理可证aood，aooe，从而证得ao平面bcde；（2）用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角.【规范解答】（1)证明：由题意，得oc3,ac3，ad2.如图，连接od，oe,在o

9、cd中，由余弦定理，得od。由翻折不变性，知ad2,所以ao2od2ad2，所以aood。同理可证aooe.又因为odoeo，所以ao平面bcde.（2)如图,过点o作ohcd交cd的延长线于点h，连接ah。因为ao平面bcde，ohcd，所以ahcd。所以aho为二面角a。cd.b的平面角。结合图(1)可知，h为ac的中点，故oh,从而ah。所以cosaho.所以二面角acd。b的平面角的余弦值为.再练一题3.如图3。4,在长方体abcd。a1b1c1d1中，abbc2，aa1,点e，f分别是平面a1b1c1d1、平面bcc1b1的中心。以d为坐标原点，da，dc,dd1所在直线分别为x轴、

10、y轴、z轴建立空间直角坐标系。试用向量方法解决下列问题:图34（1）求异面直线af和be所成的角；（2)求直线af和平面bec所成角的正弦值。【解】(1）由题意得a(2,0，0），f，b（2,2,0)，e（1,1, ），c（0,2，0)。，(1，1， )，1210。直线af和be所成的角为90。(2）设平面bec的法向量为n（x，y,z）,又(2,0，0），（1，1， ），则n2x0，nxyz0,x0,取z1,则y，平面bec的一个法向量为n(0, ，1).cos.设直线af和平面bec所成的角为，则sin ，即直线af和平面bec所成角的正弦值为。空间向量与立体几何中的数形结合思想空间向量是

11、既有大小、又有方向的量，本身它就具有数形兼备的特点,因此将几何中的“形”与代数中的“数”有机地结合在一起，用向量法解立体几何问题，下列等价关系是从“数”与“形两方面建立的,它们在向量方法中有重要的作用。设直线l,m的方向向量分别为a，b，平面,的法向量分别为u，v，则:lmab；lauau0； uv；lmabab0；lau； uv uv0。如图3。5，在三棱柱abc。a1b1c1中，aa1c1c是边长为4的正方形。平面abc平面aa1c1c，ab3,bc5。图3。5(1)求证：aa1平面abc；（2)求二面角a1。bc1。b1的余弦值；(3)证明：在线段bc1上存在点d，使得ada1b，并求的

12、值.【精彩点拨】根据面面垂直的性质证明线面垂直，建立空间直角坐标系求二面角的平面角,根据向量的坐标建立方程求线段的比值。【规范解答】(1）证明：因为aa1c1c为正方形，所以aa1ac。因为平面abc平面aa1c1c，且aa1垂直于这两个平面的交线ac，所以aa1平面abc。（2）由（1）知aa1ac，aa1ab。由题知ab3，bc5，ac4，所以abac.如图，以a为原点建立空间直角坐标系axyz，则b（0,3,0），a1（0，0,4）,b1（0,3，4)，c1(4,0,4）.设平面a1bc1的法向量为n（x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以n(0，4，3).同理可得，平面b1bc1

13、的法向量为m(3,4，0）。所以cosn,m.由题知二面角a1bc1.b1为锐角,所以二面角a1。bc1。b1的余弦值为。(3）证明：设d（x1,y1,z1）是线段bc1上一点，且.所以(x1，y13,z1）(4，3，4)。解得x14,y133，z14.所以（4，33，4)。由0，即9250,解得.因为0，1,所以在线段bc1上存在点d，使得ada1b。此时，.再练一题4.如图3。6，已知多面体eabcdf的底面abcd是边长为2的正方形，ea底面abcd，fdea,且fdea1. 【导学号:37792149】图3。6（1)求多面体eabcdf的体积；（2)求直线eb与平面ecf所成角的正弦值

14、; (3)记线段bc的中点为k，在平面abcd内过点k作一条直线与平面ecf平行，要求保留作图痕迹,但不要求证明。【解】（1)如图，连接ed，ea底面abcd且fdea，fd底面abcd，fdad，dcad，fdcdd,ad平面fdc，ve。fcdadsfdc212，veabcdeasabcd222,多面体eabcdf的体积v多面体ve.fcdve.abcd。(2)以点a为原点，ab所在的直线为x轴，ad所在的直线为y轴，ae所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系,如图。由已知可得a（0,0，0）,e(0,0，2），b（2,0，0），c(2，2，0)，f(0，2,1)，(2，2，2）,（2，0，

15、2)，e(0，2，1),设平面ecf的法向量为n(x，y，z)，则得取y1，则z2，x1，平面ecf的一个法向量为n（1，1,2)，设直线eb与平面ecf所成的角为,则sin cosn,|.（3)如图，取线段cd的中点q，连接kq，直线kq即为所求的直线.1。如图3。7，在以a，b，c,d，e，f为顶点的五面体中，面abef为正方形，af2fd,afd90,且二面角d。af。e与二面角c.be。f都是60。图3。7(1）证明：平面abef平面efdc；（2）求二面角ebc.a的余弦值。【解】(1）证明:由已知可得afdf，affe，所以af平面efdc。又af平面abef，故平面abef平面e

16、fdc。（2)过d作dgef,垂足为g.由（1）知dg平面abef.以g为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系g。xyz.由（1）知dfe为二面角daf。e的平面角，故dfe60,则|df2，dg，可得a（1，4，0），b（3,4,0），e（3，0,0),d(0,0，).由已知得abef，所以ab平面efdc。又平面abcd平面efdccd，故abcd，cdef。由beaf,可得be平面efdc，所以cef为二面角cbe.f的平面角,cef60.从而可得c(2,0，).所以（1，0，)，(0,4，0),(3，4，）,(4,0，0）.设n（x,y，z)是平面bc

17、e的法向量，则即所以可取n(3，0，）。设m是平面abcd的法向量，则同理可取m（0,4）.则cosn,m.故二面角e。bc。a的余弦值为。2.如图3.8，菱形abcd的对角线ac与bd交于点o，ab5,ac6,点e，f分别在ad,cd上，aecf，ef交bd于点h。将def沿ef折到def的位置，od.图3.8(1）证明：dh平面abcd；（2）求二面角bda。c的正弦值.【解】(1）证明:由已知得acbd，adcd。又由aecf得，故acef。因为efhd，从而efdh.由ab5，ac6得dobo4.由efac得.所以oh1，dhdh3。于是dh2oh2321210do2，故dhoh.又d

18、hef，而ohefh，所以dh平面abcd.（2)如图，以h为坐标原点,的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系h.xyz，则h（0，0，0），a(3，1，0）,b（0,5，0）,c(3，1,0），d(0，0，3),（3，4,0)，（6,0，0),(3,1,3）。设m（x1，y1，z1）是平面abd的法向量，则即所以可取m（4,3，5).设n（x2，y2,z2）是平面acd的法向量，则即所以可取n（0，3，1）。于是cosm,n.sinm,n。因此二面角b。dac的正弦值是。3。如图3。9，四棱锥p。abcd中，pa底面abcd，adbc，abadac3，pabc4，m为线段ad上一点，am2md，n为pc的中点.图39(1）证明mn平面pab；(2）求直线an与平面pmn所成角的正弦值。【解】（1）证明:由已知