《理论力学》PPT课件

1、工程运动学基础,理论力学,第2篇 工程运动学基础,工程运动学涉及工程运动分析的基本的概念、基本理论和基本方法。这些内容不仅是工程运动学的基础，而且也是工程动力学(dynamics)的基础。,运动学的研究对象是点和刚体。,工程运动学的分析方法主要是矢量方法。,主要内容 包括建立机械运动的描述方法,即选择合适的参量对物体的机械运动进行数学描述。研究表征运动几何性质的基本物理量，如速度、加速度、角速度和角加速度等。研究运动分解与合成的规律。,第2篇 工程运动学基础,第4章 运动分析基础,运动学（kinematics）研究物体在空间的位置随时间的变化，即物体的运动，但是不涉及引起运动的原因。（属于几何

2、性质的科学）,物体的运动都是相对的，因此研究物体的运动必须指明参考体和参考系。,物体运动的位移、速度和加速度都是矢量，因此研究运动学采用矢量方法。而且，一般情形下，这些矢量的大小和方向会随着时间的变化而变化，因而称为变矢量。变矢量运算与常矢量有相同之处，也有不同之处。这是学习运动学的难点。,第4章 运动分析基础, 点的运动学, 刚体的简单运动, 结论与讨论,第4章 运动分析基础, 点的运动学,返回,第4章 运动分析基础, 点的运动学, 参考系, 位矢、速度和加速度, 点的运动学, 参考系, 点的运动学, 参考系,根据运动的相对性，研究物体的运动，必须选取另一个物体作为参考，这一物体称为参考体(

3、reference body)，与参考体固连的坐标系称为参考系(reference system)。,参考体总是一个大小有限的物体，而参考系则应理解为与参考体固连的整个坐标空间。例如，若以地球作为参考体，研究行星的运动，对于所研究的行星而言，地球是遥远而不可及的，但是与地球固连的参考系却可以延伸到所研究的行星处。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,点(point)的运动主要有直线运动（rectilinear motion）和曲线运动（curvilinear motion）两种形式。后者又有平面曲线和空间曲线之分。, 曲线运动 最一般的情形为三维变速曲线运动

4、, 点的运动学, 位矢、速度和加速度, 点的运动学, 位矢、速度和加速度, 曲线运动 最一般的情形为三维变速曲线运动,考察定参考系中，沿空间曲线运动的点P 。自坐标原点O向点P作矢量r，称为点P对于原点O的位置矢量（position vector），简称位矢。当点P运动时，位矢r也随该点一起运动，且为时间t的单值函数：,r = r (t),描述点的运动的矢量法,因此，位矢为变矢量。,r = r (t) 则是用变矢量表示的点的运动方程。点P在运动过程中，其位置矢量的端点描绘出一条连续曲线，称为位矢端图(hodograph of position vector)。显然，位矢端图就是点P的运动轨迹（

5、trajectory）。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,t 瞬时: 矢径 r(t), r(t) r (tt)r(t),点在 t 瞬时的速度, t 时间间隔内矢径的改变量,称为点的位移,t t 瞬时: 矢径 r (t t ) 或r(t) r(t),描述点的运动的矢量法,在时间间隔t内，点由位置P运动到,其方向沿轨迹切线方向，指向点的运动方向。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,t 瞬时: 速度 v(t), v(t) v (t t ) v(t),点在 t 瞬时的加速度：, t 时间间隔内速度的改变量,t t 瞬时:速度 v(t t ) 或v(t) v(t),描述点的运动的矢量法,显然，速度

6、v和加速度a也都是变矢量。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,不受约束的点在空间有 3个自由度，在直角坐标 系中，点在空间的位置由 3个方程确定：,x = f1(t),y = f2(t),z = f3(t),描述点的运动的直角坐标法, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,直角坐标表示的点的运动方程,将矢径表示成,考虑到在Oxyz定参考系中，i、j、k均为常矢量,描述点的运动的直角坐标法,点的速度为：, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,描述点的运动的直角坐标法, 点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的一阶导数。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,速度大小,描述点的运动的直角

7、坐标法, 点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,点的运动方程和轨迹方程有何区别？ 一般情况下，能否根据点的运动方程求得轨迹方程？反之，能否由点的 轨迹方程求得运动方程？,点的运动方程是点的轨迹关于时间t的参数方程。,可确定点的轨迹、速度、加速度等。,而点的轨迹方程只能确定点的轨迹。,一般情况下，由点的运动方程可求得点的轨迹， 但只由点的轨迹方程不能求得运动方程。,如果已知点的轨迹，则可在轨迹上任取一点为原点，运动的点P至原点的弧长sOP，并且规定：原点O的某一侧弧长为正；另一侧为负。这种具有确定正负号的弧长s称为P点的弧坐标(

8、arc coordinate of a directed curve)。弧坐标s完全确定了动点P在轨迹上的位置。,点运动时，其弧坐标随时间而变化：,这就是动点P的弧坐标形式的运动方程。,描述点的运动的弧坐标法, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,弧坐标具有以下要素：,1. 有坐标原点(一般在轨迹上 任选一参考点作为坐标原点)；,2. 有正、负方向(一般以点的 运动方向作为正向)；,3. 有相应的坐标系。,描述点的运动的弧坐标法, 点的运动学, 位矢、速度和加速度, 弧坐标中的速度表示,点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,几点讨论, 若,反之

9、点沿着s的方向运动；, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式, 弧坐标中的加速度表示, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,等号右边第一项为速度矢大小的变化率； 第二项为其方向的变化率。, 弧坐标中的加速度表示, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,将,分离变量,现在问题转化为求：,当0时， 的极限方向垂直于 ，亦即n方向。, 弧坐标中的加速度表示, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,由矢量导数和极限的关系，其大小为：,当0时， 的极限方向垂直于 ，亦即n方向。, 弧坐标中的加速度表示, 点的运动学, 位矢、速度和加速度, 弧坐标中的加速度表示, 点的运动学,

10、 位矢、速度和加速度, 弧坐标中的加速度表示,切向加速度,法向加速度, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,几点讨论, 切向加速度,表示速度矢量大小的变化率；, 法向加速度,表示速度矢量方向的变化率；, 点的运动学, 位矢、速度和加速度, 自然轴系,当运动轨迹为空间曲线时，弧坐标系中所得到的结论同样成立，只需将弧坐标系扩展为自然轴系。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度, 自然轴系密切面, 点的运动学, 位矢、速度和加速度, 自然轴系密切面, 点的运动学, 位矢、速度和加速度, 自然轴系,过P点与运动轨迹相切的平面称为密切面(osculating plane)。, 点的运动学, 位矢、速度和加速

11、度,s -,s +,P空间曲线上的动点；,T 过动点P的密切面内的切线，其正向指向弧坐标正向；,N 密切面内垂直于切线的直线，其正向指向曲率中心；,B 过动点P垂直于切线和主法线的直线，其正向由BTN确定。, 自然轴系PTNB, 点的运动学, 位矢、速度和加速度, 自然轴系PTNB,上述三相互正交的轴线构成了随时间变化的直角坐标系，称为自然轴系（trihedral axes of a space curve）。于是上述关于速度和加速度的公式和结论均成立。而且，加速度在副法线方向的投影恒为零。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度, 自然轴系PTNB, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,自然轴系的

12、特点,跟随动点在轨 迹上作空间曲线 运动。,自然轴系的基矢量, 自然轴系PTNB, 点的运动学, 位矢、速度和加速度, 空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是惟一的。, 空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。, 曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率，用1/表示。, 曲线在垂直于密切面的平面内的曲率，称为第二曲率。, 自然轴系PTNB-由密切面得到的几点结论, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 1,椭圆规机构,描述点的运动的直角坐标法, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,求：P点的运动方程、速度、加速度。,描述点的运动的直角坐标法,1. 建立固定

13、参考系Oxy；,2. 将所考察的点置于坐标系中的一般位置；,3. 根据已知的约束条件列写点的运动方程。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 1,描述点的运动的直角坐标法,P点的运动方程：,从中消去t 得到P点的轨迹方程, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 1,描述点的运动的直角坐标法,P点的运动方程：,P点的速度：,P点的加速度：, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 1,几点讨论:,1. 建立运动方程时，一定要将所考察的点置于坐标系中的一般位置： 对于直线坐标，位于坐标轴的正向； 对于直角坐标系，位于坐标系的第一象限。,2.关于P点运动的性质：何时作加速度运动？何时作减

14、速度运动？,这一问题请同学们自己研究。 分析做直线运动的动点是加速运动还是减速运动时，应以在同一坐标系下其速度与加速度正负是否一致为依据，而不能单凭加速度的正负号作判断。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例A 正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动，它与水平线间的夹角为其中 为t = 0时的夹角， 为一常数。已知动杆上A，B两点间距离为b。求点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。,解： A，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。,运动方程,B点的速度和加速度,周期运动,例 题 2-习题课采用,半径为R的圆盘沿直线轨道无滑动地滚动（纯滚动），设圆盘在铅垂面内运动，且轮心A的速度为v

15、0(t),1分析圆盘边缘一点M的运动，并求当M点与地面接触时的速度和加速度以及M点运动到最高处时，轨迹的曲率半径； 2讨论当轮心的速度为常数时，轮边缘上各点的速度和加速度分布。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2,于是M点的运动方程为：,解：1. 建立坐标系Oxy,取点M所在的一个最低位置为原点O，设在任意时刻t圆盘的转过的角度为CAM，为时间t的函数，C是圆盘与轨道的接触点，由于圆盘作纯滚动，所以：, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,点M的速度分量为：,加速度分量为：,于是M点的运动方程为：, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2,解： 2建立 和 与圆盘中心A点的速度

16、v0(t)之间的关系,将其对 t 求一次导数，可得, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2,因为圆盘沿直线轨道作纯滚动，故轮心A点作水平直线运动，所以有,再对 t 求一次导数，可得,这对于沿直线轨迹滚动的物体都是正确的。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2,即轮上M点的速度大小与M点到C点（轮上与地面接触点）的距离成正比。其方向由下式确定：,M点的速度大小为, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2,解： 2建立 和 与圆盘中心A点的速度v0(t)之间的关系,于是，纯滚动时轮上各点的速度如图所示。,v MC,当 = 0和 = 2时，M点与地面接触，此时M点的速度为零。

17、?,从图中的几何关系可以证明：任意点的速度矢量垂直于滚动时轮与地面接触点的连线，即，, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2,加速度可由式,求得,由此可见，当M点与地面接触时，其加速度的大小不等于零，方向垂直于地面向上。该加速度是点M在此瞬时的切向加速度，因为此时速度为零，故其法向加速度为零。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2,这时M点的速度为v =2v0，于是，轨迹在最高处的曲率半径为：,3确定M点的轨迹在最高点处的曲率半径,M点轨迹在最高点处的切线方向与i 同向；曲线向下弯曲，所以主法线方向与j 同向。于是，法向加速度的大小为：,由于当 = 时，M点的速度和加速度分别

18、为：, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2,4.讨论：,若v0为常矢量，则为常量，故，此时由式,M点加速度大小恒为：,M点加速度的方向由下式确定：,根据式, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2,所以，这时轮缘上M点的加速度方向均指向轮心A，如图中所示，此时的加速度既非切向加速度，也非法向加速度，而是这两种加速度的矢量和。不过请注意，若v0不为常矢量，则加速度方向并不指向轮心。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2, 刚体的简单运动,返回,第4章 运动分析基础,根据平移的定义，rAB为常矢量，,刚体运动时，其上任意直线永远平行于其初始位置，这种运动称为刚体的平行移动

19、（translation）,简称平移或平动。在平移刚体内任选两点A、B，令点A、B的矢径分别为rA和rB ，则两条矢端曲线就是这两点的轨迹。,即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。,平移时，同一瞬时，刚体上各点的速度相同，各点的加速度也相同，各点的运动轨迹形状相同。因此刚体平移时，可以用刚体上任一点（例如质心）的运动表示刚体的运动。于是，研究平移刚体的运动可归结为研究点的运动。 即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。,根据平移的定义，为常矢量，,平移的实例,平移的实例,平移的特点, 刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹；, 刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度和加速度；, 刚体平移时的运

20、动分析可以简化为其上任意一点(一般取为质心)的运动分析.,例 题 3,已知：O1A O2B l； O1A杆的角速度 和角 加速度 a 。,求：C点的运动轨迹、 速度和加速度,例 题 3,解：板运动过程中，其上任意直线始终平行于它的初始位置。因此，板作平移。,1.运动轨迹,C点的运动轨迹与A、B两点的运动轨迹形状相同，即以O点为圆心l为半径的圆弧线。而不是以O1点为圆心、或以O3点为圆心的圆弧。,例 题 3,解：板运动过程中，其上任意直线始终平行于它的初始位置。因此，板作平移。,2. 速 度,vC= vA= vB= l,例 题 3,解：板运动过程中，其上任意直线始终平行于它的初始位置。因此，板作

21、平移。,3.加速度,例 题 3,需要注意的是：虽然平板上各点的运动轨迹均为圆，但是，平板并不作转动，而是作平面曲线平移。由此，在分析中，需要注意刚体运动与刚体上点的运动的区别。,例 题 3, 定轴转动, 刚体的简单运动,刚体运动时，若其上（或其扩展部分）有一条直线始终保持不动，则称这种运动为定轴转动（fixedaxis rotation）。这条固定的直线称为转轴。轴线上各点的速度和加速度均恒为零，其它各点均围绕轴线作圆周运动。电机转子、机床主轴、传动轴等的运动都是定轴转动的例子。,如果研究位于定系中的平面刚体绕垂直于纸面的轴O（图上未示出的轴z）转动，则取与刚体固结并通过轴O的任意直线OP，以

22、OP与定坐标轴Ox之间的夹角为坐标。于是，转角随时间t的变化描述了刚体的运动，由此得到刚体定轴转动的运动方程为：,刚体定轴转动时，其上各点的速度和加速度与点到转轴的距离成正比。,用矢量表示角速度与角加速度,考察三维定轴转动刚体, 角速度矢量、角加速度矢量,用矢量表示角速度与角加速度,若刚体加速转动，则与同向。,用矢量表示角速度与角加速度,若减速转动，则与反向。,考察三维定轴转动刚体,用矢积表示刚体上点的速度与加速度,用矢积表示刚体上点的速度与加速度,定轴转动刚体上某一点的加速度由两部分组成，即切向加速度与法向加速度。,泊松公式,动系O1 x y z 绕 z轴转动，角速度为 ，基矢量为(i ，j

23、 ， k ),考察三维定轴转动刚体,考察三维定轴转动刚体,动系O1 x y z 绕 z轴转动,O,x,y,z,单位向量：i , j , k ,角速度：,泊松公式, 结论与讨论,返回,第4章 运动分析基础, 结论与讨论, 描述点运动的三种方法比较, 点的运动学应用的两类问题, 速度、加速度的标量表示与 矢量表示的重要区别, 刚体简单运动分析中要注意 的问题, 结论与讨论, 描述点运动的三种方法比较, 变矢量法结果简明，具有概括性，且与坐标选择 无关。对于实际问题需将变矢量及其导 数表示成标量及其导数的形式。, 直角坐标法实际问题中，一种广泛应用的方法。, 弧坐标法应用于运动轨迹已知的情形，其最大特 点是将速度矢量大小的变化率和方向变 化率区分开来，使得数学表达式的含义 更加清晰。, 结论与讨论, 描述点运动的三种方法比较, 结论与讨论, 点的运动学的两类应用问题, 第一类问题：,已知运动轨迹，确定速度与加速度；,给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。, 第二类问题：,已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和运动轨迹第一类问题的反运算。, 结论与讨论, 点的运动学应用的两类问题, 结论与讨论, 速度