全国高中数学联赛模拟试题(五)

1、全国高中数学联赛模拟试题( 五)第一试一、选择题：（每小题6 分，共 36 分）1、 空间中 n（ n 3）个平面，其中任意三个平面无公垂面那么，下面四个结论（ 1） 没有任何两个平面互相平行；（ 2） 没有任何三个平面相交于一条直线；（ 3） 平面间的任意两条交线都不平行；（ 4）平面间的每一条交线均与n 2 个平面相交其中，正确的个数为（A）1（B）2（C）3（D）42、 若函数 y=f ( x) 在 a, b 上的一段图像可以近似地看作直线段，则当的近似值可表示为c ( a, b) 时，f ( c)（ A） f a2f b（B） f a b2（ C） b c f ac a f b（D）

2、f ac a f b f abab a3、 设a ，+=1，且 2+ 2+c2=1，则b ca b cab（ A） a+b 1（B） a+b=1（C） a+b1（D）不能确定，与 a、 b 的具体取值有关4、 设椭圆 x2y 21的离心率 e3 ，已知点 P0, 3 到椭圆上的点的最远距离是a 2b2227 ，则短半轴之长b=4（A） 1（B） 1（C） 1（D） 1168425、 =1,2,2003， 是S的三元子集， 满足：A中的所有元素可以组成等差数列那SA么，这样的三元子集A 的个数是（ A） C20033（B） C10012C10022（ C） A 10012A 10022（D） A

3、 320036、 长方体 ABCDA B CD，AC为体对角线现以A 为球心， AB、 AD、AA、 AC 为半径作1111111四个同心球，其体积依次为1、2、 3、4，则有VVVV（ A） V4V1+V2+V3（B） V4=V1+V2+V3（ C） V4V1+V2+V3（D）不能确定，与长方体的棱长有关二、填空题：（每小题 9 分，共 54 分）1、已知 sin 3cos3k ，则 k 的取值范围为sincos2、等差数列 n 的首项1=8，且存在惟一的k使得点 (,ak) 在圆x2+2=102 上，则这样aaky的等差数列共有个3 、在四面体P ABC中，= =，= = =，且ab，则

4、a 的取值范围PA PB aPC AB BC CA bb为4、动点 A 对应的复数为z=4(cos +isin) ，定点 B对应的复数为2，点 C为线段 AB的中点，过点 C作 AB的垂线交 OA与 D，则 D所在的轨迹方程为20035、3k 被 8 所除得的余数为k 16、圆周上有 100 个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为三、（20 分）已知抛物线 y2=2px( p 0) 的一条长为 l 的弦 AB求 AB中点 M到 y 轴的最短距离，并求出此时点 M的坐标四、（20 分）单位正方体ABCDA1B1C1D1 中，正方形心为点 N，连 AN、 B1M（1）求证： AN、 B1

5、M为异面直线；ABCD的中心为点M，正方形A1B1C1D1 的中（2）求出 AN与 B1M的夹角五、（20 分）对正实数 a、 b、c求证：a 28bcb28acc 28ab 9abc一、二、第二试（ 50 分）设 ABCD是面积为 2 的长方形， P 为边 CD上的一点， Q为 PAB的内切圆与边AB的切点乘积 PAPB的值随着长方形 ABCD及点 P的变化而变化，当 PAPB取最小值时，（ 1）证明： AB 2BC；（ 2）求 AQ BQ的值（ 50 分）给定由正整数组成的数列a11, a22an 2an 1（n 1）an（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点( a1 , a2) ， (

6、a3, a4) ， ， ( a2k-1 , a2k ) ， 均在曲线 x2+xy y2+1=0 上（2）若设 f ( x)= xn+xn-1 anx an-1 ， g( x)= x2 x 1，证明： g( x) 整除 f ( x) 三、（50 分）我们称 A1, A2, An 为集合 A 的一个 n 分划，如果（1） A1A2An A ；（2）Aj1Ai， i j n求最小正整数m，使得对 A 1,2, m 的任意一个13 分划 A1, A2, , A13，一定存在某个集合A(1 13) ，在A中有两个元素、满足9bia bb aii8参考答案第一试一、选择题：题号123456答案DCACBC二、填空题：1、112、 17；1,1 ；223、2 3,1；x1 2y24、41 ；35、 4；6、 117600l 22 p, Ml 2,0 l,08p8 p三、l p , l2p, M lp ,plp2222四、（ 1