函数的周期性与对称性

1、函数的周期性和对称性一、知识梳理方法总结1. 周期性的定义如果存在一个非零常数 T，使得对于函数定义域内的任意x ，都有 f x Tfx，则称 f x 为周期函数；若f x 的周期中，存在一个最小的正数，则称它为fx的最小正周期；注：定义中“存在常数 T 0 ”, 其意是可存在正数T ，也可存在负数 T ，还可二者都存在，不是正负同时存在才行。定义中“ x 取定义域内每一个值”时，都有f x Tf x ，即恒成立的意思。周期函数的定 义 域 有 不 同 的 三种形式： 定义域为左侧无限区间； 定义域为右侧无限区间；定义域双侧无限区间；周期 T 有不 同 的 三种形式：有正周期不一定有负周期；有

2、负周期不一定有正周期；有正周期不一定有最小正周期 若周期函数f x , x R的周期为T，则f ( x（)是周期函数，且周期为T0）|2. 函数对称性的一些结论(1)faxfaxf xf2a xx a为对称轴(2)faxfax2ca,c为对称中心一般地，(1)f (ax)f (bx)xa b 为对称轴2(2)f ( ax)f (bx)c( a b , c )为对称中心223. 函数周期性的一些结论(1)若 yf ( x) 满 足 f (x a)f ( x) 或 f ( x a)1的周期为, 则 y f ( x)fx2 | a | ；(2)如果函数 yf (x) 对于一切 xR, 都有 f (

3、x a)f ( x b) ，那么 yf (x) 周期为 Tab4. 对称性和周期性的关系(1)若 yf ( x) 关于点 ( a,0) , (b,0) 对称 , 则 f ( x) 的周期为 2 | a b | ；(2)若 yf ( x) 的图象关于直线 xa , x b( ab) 对称 , 则函数 yf (x) 的周期为2 | ab | ；(3)若 yf (x) 的 图象关 于直 线 xa 和 点 (b,0)对 称 ， 则函 数 yf ( x) 的 周 期 为4 | ab |二、典型例题分类解析经典题型一函数的对称性【例一】 对于定义在R 上的函数f ( x) ，有下述命题： 若 f ( x)

4、 是奇函数，则f ( x1)的图像关于点 A(1 , 0) 对称； 若对 xR ，恒有 f ( x1)f(x 1) ，则 f ( x) 的图像关于直线 x1对称； 若函数 f( x 1) 的图像关于直线x 1对称，则 f ( x) 为偶函数； 函数 f (1x) 与函数 f (1x) 的图像关于直线 x 1对称其中正确命题的序号为_1【例二】 已知函数f (x) 的图像与函数yx2 的图像关于点A( 0 ,1) 对称x（ 1）求 f ( x) 的解析式；（ 2）若 g( x) f (x)aa 的取值范围且 g( x) 在区间 (0 , 2 上为减函数，求正数x经典题型二求函数的解析式【例三】

5、设函数 yf ( x) 是最小正周期为2的偶函数，它在区间0 , 1 上的图像为如图所示的线段AB ，求在区间 1, 2 上时 f ( x) 的表达式【例四】 设 f ( x) 是定义在 (,) 上，以 2 为周期的周期函数，且f ( x) 为偶函数，在区间2，3上，f ( x)2( x3)24 ,x0,2时， f ( x)则求的表达式。【例五】 f x是定义在 R上的以2为 周 期 的 函 数 ， 对 k Z ， 用 I k 表 示 区 间2k1,2 k 1 ，已知当 x I 0时， f xx2 ，求 f x 在 I k 上的解析式。经典题型三抽象函数的周期性和对称性【例六】 （ 1）若 y

6、f2x 的图像关于直线xa 和 x b (b a) 对称，则 f x 的一个22周期为（ 2）定义在 R 上的函数 f (x) 关于直线 x1 对称，若 f (x) 是偶函数，且 f (0.5)2 ，则 f (7.5) _.（3）函数 f (x) 是定义域为 R 的偶函数，又是以2 为周期的周期函数. 若 f (x) 在1,0 上是减函数，那么f ( x) 在 2,3 上是()A.增函数 B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数经典题型四周期性和对称性的综合【例七】若函数fx在 R上是奇函数，且在区间1,0上是增函数，且fx2fx,则:（ 1） f x 关于直线 _对称；（ 2） f x 的

7、周期为 _；（ 3） fx 在 (1,2) 是 _函数 ( 单调性 ) ；（ 4） 若 x0,1 时， f xx 1，则 f3_.2【例八】 已 知函数（f x） 的定 义 域为R，且对一切 xR，都有f x2f2 x, fx 7f 7 x .（1）若（f5）9，求的值；（f 5）2（2）已知 x 2，7时， （f x）（ x2） ，求当 x 16，20时，函数（g x） 2 x（f x）的表达式，并求出（g x）的最大值和最小值.【例九】 已知函数f (x) 的定义域为R ，且满足f ( x1)1f ( x) 1f ( x)（ 1）试证明函数2 是 f ( x) 的一个周期；（ 2）当 x0

8、,1)时， f ( x)x, 求fx 在10， 上的表达式（ 3）对（ 2）中的函数 f ( x) ax有100个根，求 a的取值范围。三、回顾反思1. 主要方法 : 由函数周期性及奇偶性 ( 对称性 ) ，求函数解析式 . 由奇偶性结合周期性，将所求区间上问题转化为已知解析式的区间上；数形结合、以形助数是解决本节问题常用的思想方法； 由奇偶性与对称性，求出函数周期；2. 易错、易漏点 : 函数自身的对称性与两个函数之间的对称性不同； 注意区分对称性与周期性所满足的函数关系的区别:f (x) 为周期函数满足f (ax)f (bx) ；f (x) 为轴对称函数满足f (ax)f (bx) ；四、

9、牛刀小试1.若存在常数 p0，使得函数 f ( x) 满足 f ( px)f ( pxp) xR ， f ( x) 的一个正2周期为2.设函数 fx （ xR ）是以 3 为周期的奇函数，且f1 1, f2 a ，则（）A. a2B.a2 C. a 1D. a13. 设x1，记(x)ffff() ，则f 2007 ( x)f ( x)1f nxxn个f五、双基训练1. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 是 周 期 为4 的 奇 函 数 ， 且 f (1)2008 ， 则 f (3)_.2. 设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (x 2)f ( x) ，且当 0x

10、 1 时， f (x)x ，则f (7.5) _.3. 已知是R上的偶函数，且是R上的奇函数，且对于x R ，都有（f x）（f2） 0, g（x）（gx）（fx1），求 （f2002）的值 .4.若函数 yx 2(a2) x3 ， xa , b 的图像关于直线x1对称，求 b 的值5. 下列函数中，既是区间上的增函数，又是以为周期的偶函数是 ( )0,2A. y x2B.y sin xC.y cos2 xD. yesin2 x6. 设f x x 1, 求f x1关于直线 x2 对称的曲线的解析式。7. 设函数 yf x 的图象关于直线x 1 对称，在 x1时， f x2x 1 1 , 求f

11、x 的解析式。8.已知函数f ( x) 是周期为 2 的函数，当1x1 时， f ( x)x21 ，当 19x21 时，f ( x) 的解析式是9.若函数 ylog 2 | ax1 |的图像的对称轴是直线x2 ，求非零实数a 的值。10.函数f ( x)ax的反函数图像的对称中心为（1，3），求a 的值xa111. 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 且 yf ( x) 的 图 像 关 于 直 线 x1对称，求2f (1)f (2)f (3)f (4)f (5).12.已知f ( x)是定义在实数集R 上的函数，满足f (x2)f ( x) ，且x0, 2 时，f (

12、 x)2xx2 .1求 x2,0时，f ( x)的表达式；2证明f (x)是 R 上的奇函数13. 已知函数 f ( x) 的图象关于点3,0对称，且满足f ( x)f ( x3) ，又 f ( 1) 1，42f (0)2 ，求 f (1) f (2)f (3)f (2006)f (2007)f (2008) f (2009)f (2010) 的值14. 若函数 f ( x) 在 R 上是奇函数，且 f (x 2)f ( x) 则写出一个对称中心和对称轴； f (x) 的周期为； 若x （0，1）时，f ( x) = 2x ，则 f (log 181 )。215.已知定义在自然数集合N 上的函

13、数fn 满足： fn2fn1fn（ 1）试证： f n 是一个周期为 6 的函数（ 2）若 f 1 1， f 2 3，求 f 2008 的值16. 已知： f ( x) 是定义在4,4上的奇函数， g( x)f ( x2)1，当 x 2,0) (0,23时， g( x)1， g(0)0，则方程 g( x)log 1( x1) 的解得个数为2 x1217.定义在 R 上的函数f x ，对任意xR ，有f xyf xy2 f x f y ，且f 00，（ 1）求证： f 0 1；（ 2）判断 f x 的奇偶性；（ 3）若存在非零常数c0 ，c , 使 f2证明对任意 xR 都有 f xcf x 成

14、立；函数 fx 是不是周期函数，为什么？六、拓展提高1(x为有理数）18. 函数 f ( x)是否是周期函数？如果是周期函数，说明其最小正周期0 ( x为无理数）的情况，如果不是周期函数说明理由。19. 已知函数yf (x) 满足：对于任意的 xR 有 f ( x 1)f (x) 成立，且当 x0,2) 时，f ( x)2x1 ，则 f (1) f (2) f (3)f (2006) .20. 已知函数 yf ( x) 是定义在 R 上的周期函数， 周期 T5 ，函数 y f (x)(1x1)是奇函数 又知 yf ( x) 在 0,1 上是一次函数，在 1,4上是二次函数，且在x2时函数取得最小值 5。(1)证明： f (1)f (4) 0 ；(2)求 yf ( x), x1,4 的解析式；(3)求 yf ( x) 在 4,9 上的解析式。21. 已知函数f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且满足 f (x 2)f ( x) . 证明:f ( x) 是周期函数； 证明:f (