函数的概念与基本初等函数

1、函数的概念与基本初等函数第一节函数及其表示一、基础知识1 函数与映射的概念2 函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数 y f(x)，xA 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|x A 叫做函数的值域求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发(2)如果函数 y f(x)是用表格给出，则表格中x 的集合即为定义域(3)如果函数 y f(x)是用图象给出，则图象在x 轴上的投影所覆盖的x 的集合即为定义域(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3) 相等函数：如果两个函

2、数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据 .两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法3 分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数关于分段函数的3 个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集(3)各段函数的定义域不可以相交考点一函数的定义域典例 (1)(2019 长春质检 )函数 y ln 1 x 1的定义域是 ()x 1xA 1,0) (0,1)B 1,0)

3、 (0,1C( 1,0) (0,1D ( 1,0) (0,1)(2)已知函数 f(x)的定义域为 ( 1,0)，则函数 f(2x 1)的定义域为 ()A ( 1,1)B. 1， 12C( 1,0)1，1D. 21 x0，解析 (1)由题意得x 10 ，解得 1x0 或 0 x1.x 0，所以原函数的定义域为( 1,0) (0,1) (2) 令 u2x 1，由 f(x)的定义域为 ( 1,0)，可知 1u0 ，即 12x 10，1得 1x0，解析： 选 B由ln x 1 0，得 10，所以 t1，故 f(x)的解析式是 f(x)xt 1t 12lg x 1(x1) 2答案 ： lg(x1)13.

4、 口诀第 4句 已知 f(x)满足 2f(x) f x 3x，则 f(x) _.1解析： 2f(x) f x 3x，把中的 x 换成 1，得 2f 1 f(x)3.xxx2f x联立可得12f x1 f x 3x， f x 3， x1解此方程组可得f(x) 2x x( x0) 答案 ：2x 1x(x 0)考点三分段函数考法 (一)求函数值典例 (2019log3x， x0，石家庄模拟 )已知 f(x) x(0 a1) ，且 f( 2) 5，f( 1) 3，a b， x 0则 f(f( 3) ()A 2B 2C3D 3解析 由题意得， f( 2) a 2 b 5，f(1) a 1b 3，1联立，

5、结合0a0，所以 f(x)1x2 1， x 0，则 f( 3)13 1 9， f(f( 3) f(9) log3 9 2.2答案B解题技法 求分段函数的函数值的策略(1) 求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值；(3) 当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点考法 (二 )求参数或自变量的值(或范围 )x，x 0，典例 (2018 国卷全2)设函数 f(x)则满足 f(x 1)0，围是()A (， 1B (0， )C( 1,0)D (， 0)解析 法一：

6、分类讨论法x 1 0，当即 x 1 时，2x 0， (x 1)2x，f(x1) f(2x)，即为 22即 (x 1) 2x，解得 x0x 10 ，当即 1x 0 时，2x 0， 2xf(x1) f(2x)，即为 12，解得 x0 ，当即 x0 时， f(x1) 1， f(2x) 1，不合题意2x0 ，综上，不等式f(x 1)0，函数 f(x)的图象如图所示结合图象知，要使f(x1) f(2x)，x 10 ，x 1 0，则需 2x0，或2xx 12x0， x1 ，解析： 由题意，得f(3) f(2) f(1) 21 2， f(f(3) f(2) 2.答案 ：2x 1， x 0，则满足f(x) f

7、13 (2017 全国卷 )设函数 f(x)2x， x0，x 21 的 x 的取值范围是 _解析： 由题意知，可对不等式分x 0,01讨论22当 x0 时，原不等式为x 1 x11，解得 x1，241故 x 0.41时，原不等式为 2x1当 01，显然成立22当 x1时，原不等式为2x 2x11，显然成立22综上可知，所求x 的取值范围是 14， .答案： 1，41 x 7，x0，4设函数 f( x) 2若 f(a)1，则实数 a 的取值范围是 _x， x 0，解析： 若 a0，则 f(a)1 ?1 a71?1a 3，故 3a0；22若 a0，则 f(a)1 ? a1 ，解得 a1，故 0 a

8、1.综上可得 3 a0，)5 (2018 福建期末 )已知函数 f(x)x 2若 f(a) 3，则 f(a 2) (4 1， x0.15A 16B 363或 3D 15或 3C 6416解析：选 A 当 a0 时，若 f(a) 3，则 log2a a 3，解得 a 2(满足 a0)；当 a0 时，a 2 1 3，解得 a 3，不满足 a 0，所以舍去于是，可得a 2.故 f(a若 f(a) 3，则 42) f(0) 42 1 15.166已知函数 y f(2x 1)的定义域是 0,1 ，则函数 f 2x1的定义域是 ()log 2 x 1A 1,2B ( 1,1C. 1，0D ( 1,0)2解

9、析：选D由 f(2x 1)的定义域是 0,1 ，得 0x 1，故 1 2x 1 1， f(x)的定义域是 1,1，f 2x 1要使函数有意义， 1 2x1 1，需满足 x 10 ，解得 1x0.x1 1，7下列函数中，不满足f(2 018x) 2 018f( x)的是 ()A f(x) |x|B f(x) x |x|Cf(x) x 2D f( x) 2x解析：选 C 若 f(x) |x|，则 f(2 018x) |2 018x| 2018|x|2 018f( x)；若 f(x) x |x|，则f(2 018x) 2 018x |2 018x| 2 018(x |x|) 2 018f(x)；若

10、f( x) x2，则 f(2 018x) 2 018x 2，而 2 018f(x) 2 018 x2 018 2，故 f(x)x 2 不满足 f(2 018 x) 2 018f(x)；若 f(x) 2x，则 f(2 018x) 2 2 018x 2 018 (2x) 2 018f(x)故选 C.18已知具有性质： f x f( x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：x， 0x1.x其中满足“倒负”变换的函数是()A BCD11111解析：选B对于， f( x) xx，fx x x f(x)，满足题意；对于，f x x x11x，0x1，11 1，即 f1x故 f10，x 1，f

11、(x)，不满足题意； 对于， f x 0， xx x1 x，0 x1 ，x f(x)，满足题意综上可知，满足“倒负”变换的函数是.9 (2019 青岛模拟 )函数 y ln 1 1 1 x2的定义域为 _x1x0， ? 00，?1 x2 0 1 x 1所以该函数的定义域为(0,1 答案 ： (0,1lg 1 x ， x0，10 (2019 益阳、湘潭调研)若函数 f(x)则 f(f( 9) _. 2 x， x 0，lg 1 x ， x0，解析： 函数 f(x) 2x， x 0，答案：211 (2018 张掖一诊 )已知函数f(x) f( 9) lg 10 1， f(f( 9) f(1) 2.2x， x 0，若 f(a) f(1) 0，则实数a 的值等x 1， x 0，于_解析： f(1) 2，且 f(1) f(a) 0， f(a) 2 0，故 a0.依题知 a 1 2，解得 a 3.答案： 3112已知 f(x)2x 1， x 0，使 f(x) 1 成立的 x 的取值范围是 _ x1 2，x 0，x 0，x 0，解析： 由题意知1或2 1， x 12x 1 1解得 4 x 0 或 0 x 2，故所求 x 的取值范围是 4,2答案： 4