吉林省长春市普通高中2018届高三质量监测理科数学试题详细解析

1、长春市普通高中2018 届高三质量监测( 一)数学试题卷 ( 理科 )第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设 i 为虚数单位，则(- 1+ 2i)(2 - i) = ( )A 5iB - 5iC5D-5【答案】 A【解析】( 12i)(2i) 5i .2. 集合 a,b,c 的子集的个数为 ( )A.4B.7C.8D.16【答案】C【解析】集合有3 个元素，所以子集个数共有238 个 .3. 下图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x的函数图象

2、，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，下列结论：一班的成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；二班成绩不够稳定，波动程度较大；三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升.其中正确结论的个数为()根据图象， 给出A0B1C.2D 3【答案】 D【解析】通过函数图象，可以看出均正确.4. 等差数列 an 中，已知a6 = a11 ，且公差 d 0 ，则其前 n 项和取最小值时的n 的值为()A6B7C.8D9【答案】 C【解析】由题意知a60, a110, a115 d ，有 Sn d ( n 8)2 64 ，22所以当 n8 时前 n 项和取最小值 .5. 已知某班级

3、部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为()A 92， 94B 92，86C.99， 86D 95， 91【答案】 B【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86.6. 若角 a 的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y = -3x 上，则角 a 的取值集合是 ()A禳p镲2,k ? Z睚a a = kp -3镲铪禳2p镲C. 睚a a = kp -,k ? Z镲3铪禳2p镲B 睚a a = 2kp +, k ? Z镲3铪禳p镲, k ? ZD 睚a a = kp -3镲铪【答案】 D【解析】终边落在直线y3x 上的角的取值集合为 |k,kZ或者 |k2 , k

4、Z .337. 已知 x 0， y 0 ，且 4x + y = xy ，则 x + y 的最小值为 ( )A.8B.9C.12D.16【答案】 B【解析】 411, x y ( xy)( 41 ) 54xy9 ，当且仅当 x 3, y6 时取等yxyxyx号.8. 九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈， 问积几何 . 刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体( 网格纸中粗线部分为其三视图，网格纸上每个小正方形的边长为1 丈 ) ，那么该刍甍的体积为()设A 4 立方丈B 5 立方丈C.6立方丈D12 立方丈【答案】 B【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和

5、一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为 2，则刍甍的体积为5.9. 已知矩形 ABCD 的顶点都在球心为O ，半径为 R的球面上， AB =6，BC =23 ，且四棱锥 O -ABCD 的体积为 83，则 R等于( )A 4B 2 3C.47 13D9【答案】 A【解析】由题意可知球心到平面ABCD 的距离2，矩形 ABCD 所在圆的半径为2 3，从而球的半径 R4 .10. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是()A求首项为 1，公差为2 的等差数列前2017 项和B求首项为 1，公差为2 的等差数列前2018 项和C.求首项为1，公差为4 的等差数列前1009 项和D.求首

6、项为1，公差为4 的等差数列前1010 项和【答案】 C【解析】由题意可知 S1594033 ，为求首项为1，公差为 4 的等差数列的前 1009 项和 .11. 已知 O 为坐标原点，设F1 ， F2 分别是双曲线 x2 - y2= 1的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点 F1 作 F1PF2 的平分线的垂线，垂足为H，则 OH =( )A1B 2C.4D 12【答案】 A【解析】不妨在双曲线右支上取点P ，延长 PF2 , F1H ，交于点 Q ，由角分线性质可知| PF | | PQ |, 根据双曲线的定义， | PF |PF | 2，从而 |QF | 2 ，在FQF2中，OH

7、11221为其中位线，故 | OH |1.轾 p12. 已知定义在R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x + p ) = f (- x) ，当 x ? 犏0, 时， f ( x) = x ，则犏 2臌轾 3p函数 g (x) = ( x - p ) f (x) - 1在区间 犏-,3p上所有零点之和为()犏 2臌A pB 2pC.3pD 4p【答案】 D【解析】由题意知f (x) 为奇函数，周期为2，其图象关于( ,0) 对称， g ( x) 的零点可视为 yf ( x), y1图象交点的横坐标，由 y1关于 (,0) 对称，从而在xx3,3 上有 4个零点关于 (,0) 对称，进而所有零

8、点之和为4 .2第卷（共 90 分）二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知角 a , b 满足 - p a - b p ， 0 a + b p ，则 3a - b 的取值范围是22【答案】 (- p ,2p)【解析】由不等式， 0+，则 3()2()，因22此 3取值范围是 (,2 ).14. 已知平面内三个不共线的向量a ，b ，c 两两夹角相等， 且 a = b =1，c = 3，则 a +b + c = 【答案】2【解析】由题意可知，a,b,c 的夹角为120，由ab1 可得ab 与 c 反向， 且| ab |1 ，从而abc2.骣115. 在 ABC

9、中，三个内角A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 琪琪 b - sin C cos A = sin A cosC ，桫2且 a = 23 ，则 ABC 面积的最大值为【答案】 3 3【解析】由题意可知1 b cos A sin B ， cos Asin B sin A ，得 tan A3, A，22ba3由余弦定理 12 b2c2bc ，由基本不等式bc12 ，从而ABC 面积的最大值为3 3 ，当且仅当 bc 时取到最大值 .16. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3 的扇形，则圆锥体积的最大值为【答案】23p【解析】设圆锥的底面圆半径为r (0r3) ，有圆锥的高为9 r2锥的体

10、，从而圆积为 V1r 2 9 r 219r 4r 6，令 tr 2 (0 t 9) ，有V19t 2t 3，令333y 9t 2 t3y,t3 218t3(tt6)，当 0t6 时函数为增函数，当6t 9 时函数为减函数，从而当t6时体积取最大值 23.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列an 的前 n 项 Sn = 2 n+1 + n - 2 .(1) 求等差数列 an 的通项公式；(2) 设 bn= log 2 (an - 1) ，求证：1+ 1+1+ +1 1 .b1b2b2b3b3b4bnbn+1【解析】n+1

11、+ n - 2(1) 由?Sn = 2，则 a= 2n+1 n ? 2 .?Sn- 1 =2n+ (n12(n?2n()?- ) -)当 n = 1 时， a = S = 3 ，综上 a= 2n +1 .11n(2) 由 bn= log 2 (an - 1) = log 2 2n = n .11111111+b3b4+ +=创 +?4+ +n (n 1)b1b2b2b3bn bn +112233骣1骣1骣1骣11= 琪 -1-+1+1-=- 0)?22，整理得琪32-y -9 =0 ，有 + y=1琪 2 + 4 yk()(? x桫k? 43设 A(x1, y1) ， B( x2 , y2 )

12、 ，有 y1 = - l y2 ， y1 y2 =- l2 (y121 -l2=4+ y2 )， (l)2，(1 - l )3 + 4kl + 1 - 2 =4，l3 + 4k 2由于 2 ? l3，所以 1? l1- 2 4，1 ?44 ，解得 0 0 恒成立，求整数a 的最大值 .23轾ne(3)证明： ln 2 +ln3 - ln 2)+ ln 4 - ln3)(n +1 - ln n 0 成立 .当 a 3 3 时， e0 ln (x + 2) ，令 x = - n +1 ， n- n+1骣- n+1n骣n- n + 1- n +1即 e琪+ 2 ，即 e ln琪+ 2， ln 琪琪桫

13、 n桫 n由此可知，当 n = 1 时， e0 ln 2 ，当 n = 2 时， e- 12 (ln3 - ln2 )，时， e- 22当 n = 3 (ln4 - ln3 )，,- n+1轾(n当n +1 - ln n .n = n时， e ln臌)综上：0-1-2- n +123e + e + e + e ln 2 + (ln 3 - ln 2) + (ln 4 - ln 3)1 e0 + e- 1 + e- 2 + + e- n+1 .1 - 1en 轾+ ln (n +1) - ln n臌23轾n ln 2 + ln 3 - ln 2)+ ln 4 - ln 3 + + ln n +1

14、 - ln n()臌()23轾n即 ln 2 +(ln3 - ln 2+ ln 4 - ln3)(n +1 - ln n+ + ln)(臌).ee - 122. 以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为骣，若直线 l 过点，且倾斜角为p ，圆 C 以为圆心，1,2，点M的极坐标为琪 pPM3,( )琪26桫3为半径 .(1) 求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程；(2) 设直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点，求 PA PB .【解析】3? x =1 +t(1) 直线 l 的参数方程为?2 ( t 为参数 ) ，? 1? y = 2 +t? 2圆的极坐标方程为r = 6sin q .3 t? x = 1+?22+(2= 9 ，得 t2+(3 - 1 t - 7 = 0 ，(2) 把 1代入 xy - 3?)? y = 2 +t? 2 t1t 2 = - 7 ，设点 A, B 对应的参数分别为t1 , t2 ，则 PA = t1 ， PB = t2 ， PA ? PB7 .23. 设不等式x +1 - x - 1 1 。【解析】1?2, x 3(1)