中考数学二次函数知识点总结与典型例题

1、二次函数知识点总结及典型例题一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点m，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点a,b及抛物线与y轴的交点c，再找到点c的对称点d。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无

2、交点时，描出抛物线与y轴的交点c及对称点d。由c、m、d三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点a、b，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：（2）顶点式：（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。三、二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数图像a0a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，

3、y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2、二次函数中，的含义：表示开口方向：0时，抛物线开口向上 0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当0时，图像与x轴没有交点。补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） y如图：点a坐标为（x1，y1）点b坐标为（x2，y2）则ab间的距离，即线段ab的长度为 a 0 x

4、 b2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）左加右减、上加下减四、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，当时，。典型例题1. 已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）a0b1c2d3【答案】d2. 如图为抛物线的图像，a

5、、b、c 为抛物线与坐标轴的交点，且oa=oc=1，则下列关系中正确的是 aab=1 b ab=1 c b2a d ac0 【答案】b3. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）.【答案】d4. 如图，已知二次函数的图象经过点（1，0），（1，2），当随的增大而增大时，的取值范围是 （1,-2）-1【答案】5. 在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180，所得抛物线的解析式是（ ）a b c d【答案】b6. 已知二次函数的图像如图，其对称轴，给出下列结果，则正确的结论是（ ）a b c d 【答案】 d7抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对

6、应值如下表：x21012y04664从上表可知，下列说法中正确的是 （填写序号）抛物线与轴的一个交点为（3,0）； 函数的最大值为6；抛物线的对称轴是； 在对称轴左侧，随增大而增大【答案】8. 如图，在平面直角坐标系中，o是坐标原点，点a的坐标是（2，4），过点a作aby轴，垂足为b，连结oa(1)求oab的面积；(2)若抛物线经过点a求c的值；将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在oab的内部（不包括oab的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）解：(1) 点a的坐标是（2，4），aby轴，ab=2，ob4，(2)把点a的坐标（2，4）代入，得，c4，抛物线顶点d的坐标是

7、(1，5)，ab的中点e的坐标是（1，4），oa的中点f的坐标是（1，2），m的取值范围为lm39已知二次函数y= x 2+ x的图像如图（1）求它的对称轴与x轴交点d的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为a、b、c三点，若acb=90，求此时抛物线的解析式； （3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为m，以ab为直径，d为圆心作d，试判断直线cm与d的位置关系，并说明理由解：（1）二次函数y=-x2+x的对称轴为x=3，d（3，0）（2）设抛物线向上平移h个单位（h0），则平移后的抛物线解析式为y=-x2+x+h acb=90，oc2=oaob 设

8、点a、b的横坐标分别为x1、x2，则h2=- x1x2 x1、x2是一元二次方程-x2+x+h=0的两个根，x1x2=-4h，h2=4h，h=4，抛物线的解析式为y=-x2+x+4（3）cm与d相切，理由如下：连结cd、cm，过点c作cndm于点d，如下图所示：ab是d的直径，acb=90，点c在d上根据平移后的抛物线的解析式y=-x2+x+4可得：od=3，oc=4，dm=，cd=5cn=3，mn=，cm=cm=，cd=5，dm=，cdm是直角三角形且dcm=90，cm与d相切10. 如图10，在平面直角坐标系xoy中，ab在x轴上，ab10，以ab为直径的o与y轴正半轴交于点c，连接bc，

9、ac.cd是o的切线，adcd于点d，tancad，抛物线过a，b，c三点.（1）求证：cadcab；（2）求抛物线的解析式；判定抛物线的顶点e是否在直线cd上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点p，使四边形pbca是直角梯形.若存在，直接写出点p的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.（1）证明：连接oc.cd是o的切线，occd adcd，ocad，ocacadocoa，ocacab， cadcab（2）ab是o的直径，acb90ocab，cabocb，caobco，即tancaotancad，oa2oc又ab10， ， oc0oc4，oa8，ob2a（8，0），b（2，0），

10、c（0，4）抛物线过a，b，c三点.c4由题意得，解之得，设直线dc交x轴于点f，易证aocadc，adao8.ocad，focfad，8(bf5)5(bf10)，设直线dc的解析式为，则，即由得顶点e的坐标为将代入直线dc的解析式中，右边左边.抛物线的顶点e在直线cd上11. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形abcd是直角梯形，bcad，bad= 90，bc与y轴相交于点m，且m是bc的中点，a、b、d三点的坐标分别是a（-1，0），b( -1，2)，d( 3，0)，连接dm，并把线段dm沿da方向平移到on，若抛物线y=ax2+bx+c经过点d、m、n（1）求抛物线的解析式（2）抛物线

11、上是否存在点p使得pa= pc若存在，求出点p的坐标；若不存在请说明理由。（3）设抛物线与x轴的另个交点为e点q是抛物线的对称轴上的个动点，当点q在什么位置时有最大？并求出最大值。abcdoenmxy图（1）解：由题意可得m（0，2），n（-3，2） ， 解得：y=（2）pa= pc ，p在ac的垂直平分线上，依题意，ac的垂直平分线经过b（-1，2），（1，0）， 这条直线为y=x+1 解得：， p1（）， p2（）（3）d为e关于对称轴x=15对称，cd所在的直线y=x+3 yq=45，q（-15，45）最大值为cd=个单位/秒 （3）（）, 当时，有最大值为， 此时 12如图，抛物线y=

12、x2+bx2与x轴交于a、b两点，与y轴交于c点，且a（一1，0）求抛物线的解析式及顶点d的坐标；判断abc的形状，证明你的结论；点m(m，0)是x轴上的一个动点，当cm+dm的值最小时，求m的值（1）点a（-1，0）在抛物线y=x2 + bx-2上， (-1 )2 + b (-1) 2 = 0，解得b =抛物线的解析式为y=x2-x-2. y=x2-x-2 = ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,顶点d的坐标为 (, -). （2）当x = 0时y = -2, c（0，-2），oc = 2当y = 0时， x2-x-2 = 0， x1 = -1, x2 = 4, b (4,0)oa

13、= 1, ob = 4, ab = 5. ab2 = 25, ac2 = oa2 + oc2 = 5, bc2 = oc2 + ob2 = 20,ac2 +bc2 = ab2. abc是直角三角形.（3）作出点c关于x轴的对称点c，则c（0，2），oc=2，连接cd交x轴于点m，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，mc + md的值最小设直线cd的解析式为y = kx + n , 则，解得n = 2, . .当y = 0时， ， . 13. （2011浙江金华， 10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形oabc，相邻两边oa和oc分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a0)过矩形顶点b、c.（1）当n1时，如果a=1，试求b的值；（2）当n2时，如图2，在矩形oabc上方作一边长为1的正方形efmn，使ef在线段cb上，如果m，n两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形oabc绕点o顺时针旋转，使得点b落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点o，试求出当n=3时a的值；直接写出a关于n的关系式. yxocab图1图2