几何10任意四边形

1、板块一 任意四边形模型任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）:D S1: S2 = S4: Q 或者 S| S3 =S2 S4 AO ： oc = s 5 : S4 3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD被对角线 AC BD分成四个部分， AOB面积为1平方千米， BOC面积为2平方千米， COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少

2、平方千米？【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形BGC的面积： AG:GC = ?【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图所示）如果三角形 ABD的面积等于三角形 BCD的面积的1 ,且AO =2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的 倍.3A【例3】如图，平行四边形 ABCD的对角线交于 0点，ACEF、OEF、ODF、BOE的面积依次是 2、4、4和6.求：求OCF的面积；求 AGCE的面积.【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了 4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷那么最大的

3、一个三角形的面积是多少公顷？【例5】（2008年清华附中入学测试题为.）如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形 ABC的面积.【例6】（2007年人大附中考题）如图，边长为1的正方形 ABCD中，BE =2EC , CF =FD，求三角形 AEG 的面积.【例7】如图，长方形 ABCD中，BE:EC=2:3 , DF:FC=1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长 方形ABCD的面积.【例8】如图，已知正方形 ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角 形BDG的面积.【例9】如图，在6ABC中，已

4、知 M、N分别在边 AC、BC上，BM与AN相交于0,若.AOM、厶AB0和B0N的面积分别是 3、2、1UJMNC的面积是【例10】（2009年迎春杯初赛六年级）正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1B2B3B4B5B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米.A3板块二梯形模型的应用梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）:b SS 二a2:b2 S1: Ss ： S，: S4 = a2 : b2: ab: ab ； S的对应份数为 a b 2.梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结 论，往往在

5、题目中有事半功倍的效果.（具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）【例11】 如图，S2 =2 , Ss =4，求梯形的面积.【巩固】（2006年南京智力数学冬令营）如下图，梯形 ABCD的AB平行于CD，对角线AC , BD交于O,已知厶AOB与厶BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形 ABCD的面积是 平方厘米.【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O ,已知梯形上底为 2,且三角形 ABO的面积等于三角形BOC面积的-，求三角形 AOD与三角形BOC的面积之比.3【例13】三角形ABD的面积 三角形CBD的面积=3，那么0C的长是多少?5C（第

6、十届华杯赛）如下图，四边形 ABCD中，对角线 AC和BD交于0点，已知 A0 =1，并且【例14】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形 AOD的面积是多少?【巩固】如图，梯形 ABCD中， AOB、 COD的面积分别为1.2和2.7 ,求梯形ABCD的面积.【例15】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块,的面积是23，求四边形EGFH的面积.AB已知三角形 ADG的面积是11 ,三角形BCH【巩固】（人大附中入学测试题）如图，长方形中，若三角形 1的面积与三角形 3的面积比为4比5,四边形2 的面积为36,则三角形1的面积为.【例16】如图，正方形 AB

7、CD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点求图中阴影部分的面积.【巩固】在下图的正方形 ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平 方厘米，那么正方形 ABCD面积是平方厘米.【例17】如图面积为12平方厘米的正方形 ABCD中，E,F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积.【例18】如图，在长方形 ABCD中，AB=6厘米，AD =2厘米，AE=EF=FB，求阴影部分的面积.【例19】（2008年”奥数网杯”六年级试题 ）已知ABCD是平行四边形,面积为6平方厘米则阴影部分的面积是 平方厘米.BC:CE=3: 2，三角形 ODE 的【巩固】右图中 ABCD是梯

8、形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示 分的面积是 平方厘米.（单位：平方厘米），阴影部【巩固】（2008年三帆中学考题）右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【例20】如图所示，BD、CF将长方形 ABCD分成4块， DEF的面积是5平方厘米,CED的面积是10平方厘米问：四边形 ABEF的面积是多少平方厘米?【巩固】如图所示， BD、CF将长方形ABCD分成4块，厶DEF的面积是4平方厘米， CED的面积是6平 方厘米问：四边形 ABEF的面积是多少平方厘米？【巩固】（98迎春杯初赛）如图，ABCD长方形

9、中，阴影部分是直角三角形且面积为54 , OD的长是16 , OB的长是9.那么四边形 OECD的面积是多少?【例21】（2007年”迎春杯”高年级初赛）如图，长方形 ABCD被CE、DCDF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形 OFBC的面积为平方厘米.【例22】（98迎春杯初赛）如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为 54, OD的长是16, OB的长是9 那么四边形 OECD的面积是 【例23】如图，厶ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段 AB与CD相交于K点.已知正方形DEFG的面积48, AK:KB=1:3，则 BKD的面积是多

10、少？【例24】如图所示，ABCD是梯形,影MEC面积是多少？.ADE面积是1.8，. ABF的面积是9，IBCF的面积是27.那么阴【例26】【例25】6，那么阴影部分面积为多少?如图，已知D是BC中点，E是CD的中点,F是AC的中点.三角形 ABC由这6部分组成，其中比多 6平方厘米那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?【例27】如图，在一个边长为 6的正方形中，放入一个边长为 2的正方形，保持与原正方形的边平行,现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分 的面积为【例28】如图，在正方形 ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE=2BE ,

11、CF =2DF，连接BF、DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形 MGQA和PCNG，设正方形MGQA的面积为S，正方形PCNG的面积为S2，则Si: S2 =【例29】如下图，在梯形 ABCD中，AB与CD平行，且CD =2AB，点E、F分别是AD和BC的中点,已知阴影四边形 EMFN的面积是54平方厘米，则梯形 ABCD的面积是 平方厘米.【例30】（2006年“迎春杯”高年级组决赛）下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简 分数m，那么，（m n）的值等于n板块三相似三角形模

12、型（一）金字塔模型）沙漏模型ADABAE DE AFACBCAG Sade : S ABC2 2二 AF :AG 所谓的相似三角形， 就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变, 与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具. 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.不论大小怎样改变它们都相

13、似），【例31】如图，已知在平行四边形 ABCD中，AB =16 , AD=10 , BE = 4，那么FC的长度是多少?【例32】如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC , AB的长为15厘米，AC被分为60等份如果小玻璃管口 DE正好对着量具上20等份处（DE平行AB），那么小玻璃管口径 DE是多大？【例 33】如图，DE 平行 BC,若 AD:DB=2:3，那么 Sade : Secb =A【例34】如图， ABC中，DE , FG , BC互相平行,则 SA ADE : S四边形DEGF : S四边形FGCB【巩固】如图， DE平行BC，且 AD=2，AB =5，AE =4，求AC的长.

14、【巩固】如图， ABC中，DE , FG , MN , PQ , BC互相平行,AD =DF 二 FM 二 MP =PB ,则 Sa Ade:S四边形DEGF:S四边形FGNM : S四边形MNQP :乐边形PQCB【例35】已知 ABC中，DE平行BC，若AD:DB=2:3，且S梯形dbce比Sde大8.5 cm2，求Sbc .【例36】如图：MN平行BC,mpn bcp =4.9 ， AM = 4 cm，求 BM 的长度【巩固】如图，已知DE 平行 BC， BO: E0 =3: 2，那么 AD : AB =1i【例37】如图，UABC中，AE AB， AD AC，44么.AED的面积是 平

15、方厘米.ED与BC平行,EOD的面积是1平方厘米那【例38】在图中的正方形中， A , B , C分别是所在边的中点，LCDO的面积是ABO面积的几倍?【例39】如图，线段AB与BC垂直，已知AD=EC=4 , BD =BE =6，那么图中阴影部分面积是多少?【例40】（ 2008年第二届两岸四地” 华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛）如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形 ABCD的面积是16， BG:GC=3:1，则四边形EFGH的面积=.【例42】已知正方形 ABCD，过C的直线分别交 AB、AD的延长线于点 E、F，且 AE =10cm ,【例41】已知三角形 ABC的面积为

16、a , AF:FC=2:1 ,E是BD的中点，且EF / BC ,交CD于G，求阴影部分的面积.A/；.DEZf/迖BCAF =15cm，求正方形 ABCD的边长.【例43】如图，三角形 ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在 AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？H D G【巩固】如图，在厶ABC中，有长方形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH是厶ABC 边BC的高，交 DE于M , DG:DE=1:2，BC=12厘米，AH =8厘米，求长方形的长和宽.【例44】图中ABCD

17、是边长为12cm的正方形，从 G到正方形顶点 C、D连成一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少?【例45】如图，将一个边长为 2的正方形两边长分别延长 1和3，割出图中的阴影部分积是多少？【例46】（2008年101中学考题）图中的大小正方形的边长均为整数方厘米，则阴影部分的面积是 DB,求阴影部分的面（厘米），它们的面积之和等于52平3和4，那么阴影部分【例47】如图，O是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为的一块直角三角形的面积是多少?【例48】已知长方形ABCD的面积为70厘米，E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，求

18、阴影 EHO的面积是多少厘米？FGDC【例49】ABCD是平行四边形，面积为 72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点，则图中阴影部分的面积为平方厘米.【例50】如图，三角形PDM的面积是8平方厘米，长方形ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，M是BC的中点，则三角形 APD的面积是 平方厘米.【例51】如图，长方形ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H , OE垂直AD于E ,交AF于O,已知AH =5 cm ,HF =3 cm，求 AG .【例52】右图中正方形的面积为1 ,1E、F分别为 AB、BD的中点，GC=FC .求阴影部分的面积.3【例53】梯形ABCD的面积为12 , A