小学五年级奥数题教师版

1、五年级奥数综合卷教师版1. 两个自然数，差是 98，各自的各位数字之和都能被 19 整除，那么满足要求的最小的一对数之和是多少 ?答案60096 分析要求出满足要求的最小的一对数之和，我们必须求出这两个数设较小的那个数为 a，则另一个数为 a+98由于 a 的各位数字之和是 19 的倍数，故 a 的各位数字之和至少是19，由此知 a 至少是一个三位数若 a 的末位数字小于 2，则 a+8 的各位数字之和比 a 的各位数字之和增加 8，于是 a+98 的各位数字之和要么比 a 的各位数字之和增加 9+8=17，要么比 n 的各位数字之和减少 9n8若为前者，由于 a 的各位数字之和为 19 的倍

2、数，再加上 17 则一定不是 19 的倍数，不合题意若为后者，则 9n8 必须是 19 的倍数， n 至少为 3，此时 9n8=278=19，即 a+98 的各位数字之和比 a 的各位数字之和小 19因此 a 的各位数字之和至少为 38又因为我们假定了 a 的末位数字小于 2，而(38 1) 9 4，因此 a 至少是一个六位数为了使 a 尽可能小，将 a 的十位数字与个位数字取得尽可能大一些，于是 a 最小为 199991至此我们讨论完了 a的末位数字小于2 的情况若 a 的末位数字大于2，则 a+98=a+1002我们先将 a 减去 2则各位数字之和也减少2，然后再将 a2 加上 100，则

3、各位数字之和或者再增加1，或者再减少 9n1若为前者，则 a+98 的各位数字之和比 a 的各位数字之和减少 1，不合题意若为后者，则 a+98 的各位数字之和比 a 的各位数字之和减少 9n1+2=9n+1由于题目要求 a 和 a+98 的各位数字之和是 19 的倍数，故 9n+l 必须是 19 的倍数，从而 n 至少是 2此时 9n+1=19，即 a+98 的各位数字之和比 a 的各位数字之和小 19，从而 a 的各位数字之和至少是 38又因为 389 4 ，因此 a 至少是五位数，设为ABCDE 由以上的分析，我们知道E2、B=C=9，于是 A+D+E=3899=20为了使 a 最小，我

4、们要使 D、E 尽可能地大一些，取 D=E=9，得 A=2，于是 a=29999综上所述，满足要求的最小的一对数为a=29999， a+98=30097，它们的和为600962. 如图 1 4，设正方形 ABCD的面积为 1，E 和 F 分别为边 AB、AD的中点， FC=3GC求阴影部分的面积是多少答案524分析 所求的阴影部分是个三角形， 并且作为底的 EB长度是已知的， 但 EB边上的高 GH却需要求 ( 见图 1 5) 但 GH与给出的 CF和 CG的长度比如何联系起来呢 ?如果将 HG延长交 CD 于 M点，那么就可以利用三角形 CGM和三角形 CFD的相似关系来确定 GM，进而求出

5、 GH详解 1如图 16 5，过 G作 GH垂直于 EB，垂足为 H，延长 HG交 CD于 M因为 ABCD是边长为 1 的正方形， E 和 F 分别是 AB和 AD的中点，所以 BE=1 ，DF=1 ，而且 HM=1由于 FD22和 GM均与 CD垂直所以它们相互平行，得比例关系将已知 CF=3CG和 DF=1代入，得GM： 1= 1，求出从而223所以三角形 EBG的面积为就是说阴影部分的面积为5 24详解 2连接 AG、FB，取 BC的中点 H，连接 HG详解 3如图 166，过 G作 GH垂直于 BC，延长 HG交 AD于M由 ABCD是正方形易得HM平行于 CD，从而得比例关系根据

6、CF=3CG可得 FG： CF=2： 3，代入上式得因为 AEG和 BEG是等底等高的三角形，故阴影面积恰是三角形AGB的一半，为5 2= 5 .1224评注正方形中的平行关系和我们添加的辅助线为本题提供了多种解法，由平行线得到的比例线段是我们解题的重要工具3.如图 167，ABCG是 4 7 的长方形， DEFG是积与三角形 DEM的面积之差是多少 ?答案 3210 的长方形那么，三角形BCM的面分析 画阴影的两个三角形都是直角三角形，而 BC和 DE均为已知的，所以关键问题在于求 CM和 DM这两条线段之和 CD的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可以了，这恰好可以利用平行线 BC与

7、DE截成的比例线段求得连接 BD详解因为BC和 DE均与CD垂直，所以它们相互平行截相交线段CM：DM=BC： DECD和 BE，得比例式将已知数代入，得CM=2DM另一方面， CM+DM=CD=107=3，因此 CM=2，DM=1所以，三角形 BCM面积为 BCCM2=422=4，三角形 DEM的面积为 DEDM 2=212=1，二者之差为 41=3 即为所求评注与图 16 3 类似，图 168 是另一个平行线截相交线段得比例的典型图，AB平行于 DE，有比例式 AB：DE=AC：CE=BC：CD，三角形 ABC与三角形 DEC也是相似三角形图 163 和图 168 的形状要牢记并且要熟练掌

8、握比例式4. 在图 169 中， AE：EC=1:2，CD:DB=1:4， BF：FA=1:3，三角形 ABC的面积等于 1那么四边形 AFHG的面积是多少 ?答案131 468分析本题所求的四边形 AFHG是不规则四边形，因而只能通过割补的方法求其面积与之相关且面积易求的是三角形 ABE，所以求出三角形 AEG和 BFH的面积成为解题的关键参见图 1610，三角形 AEG和 BFH已用阴影部分表示 题目给出的条件大多是线段间的比例关系，想要利用这些条 件 求三角形面积，最好构造平行关系，利用平行线截成的比例 线 段关系及相关的结论求解详解如图 1610，分别过 E、 D作 CF和 BE的平行

9、 线 ，交 AB、AC于 N、M两点利用已知的比例关系和三角形ABC的面积为 1 的条件，得三角形 BEC中 DM与 BE平行且 CD： CB=1： 5，故故从 而平行关系又知CM：EM=CD：DB=1:4，又则由EGAE：EC=1：2，与 DM平行得三角形 ACF中 EN与 CF平行且 AE：AC=1：3，故由平行关系又知 AN：NF=AE：EC=1：2。从而进而BF：BN=1：3，由FH与EN平行得那么四边形 AEHG的面积为评注 本例的求解过程很繁杂，但思路是很简单清晰的，在求解过程中我们多次用到如下重要的结论：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们的面积之比等于对应边长之比的平方如图

10、1611，BC与 DE平行，截得的三角形 ABC与 ADE相似，有 AB：AD=AC：AE=BC：DE，如果这个比值为 k。则这个结论也可以说成“相似三角形面积之比等于相似比的 平方”当然，如果不用这个结论，本题也是可以求解的同学们可 以试着考虑用三角形底和高的比与面积比的关系求三角形AEG和BFH 的面积事实上，我们刚才给出的结论也可以用三角形底 和高的比与面积比的关系得到证明同学们如果有兴趣，可以试着给出证明5.如图 16 一 12。ABCD是一个长方形， AC是对角线试比较两块阴影区域的面积 S 与 S 的大小答案 s 与 S 相等分析 S 与 S 所处的两块长方形区域是互相分离的，而且

11、它 们的长和宽并没有明显的比例关系 注意到长方形 ABCD被一些线 分成了很多小的长方形和三角形区域，因此想到可以通过比较除 S和 S以外的其他一些区域的面积来间接地对S和 S进行比较当然，我们需要利用长方形的对称性和平行线带来的比例关系详解 为叙述方便起见， 我们作如图 16 13 的标记由于AC 是长方形 ABCD的对角线，因此它把长方形分成面积相等的三角形ABC和 ADC，并且三角形 ANE和 AME面积相等， S与 S 面积也相等下面我们来考察 S 和 S：S =EIEF，S EH EG由平行线截成的比例线段关系；可知 EF：CF=AD：DC，即 EF：EG=AD：DC，又知 PI ：

12、EH AD：DC，即 EH：EI AD：DC从而得到 EH：EI=EF：EG，那么就有可得S=S另解将各顶点标上记号，如图1613 所示，评注本题的一个非常显著的特点是： 图 1612 中所有的三角形和长方形都是围绕对角形 AC构造的，这种内在联系决定了图形中的线段的比例关系， 也就决定了图形中某些部分的面积关系6.从 10 到 4999 这 4990 个自然数中，其数字和能被4整除的数有多少个 ?答案 1246 分析这样的数一个一个地找起来实在太麻烦，要想办法把它们配起对来详解对于每一个三位数来说，在1、 2、 3和 4 这 4个数中恰好有1 个数的数字和能被4 整除所以从1000 到 49

13、99 这 4000 个数中，恰有1000个数的数字和能被4 整除同样道理，我们可以知道600 到 999 这 400 个数中恰有 100 个数的数字和能被4 整除，从 200 到 599 这 400 个数中恰有 100 个数的数字和能被4 整除现在只剩下 10 到 199 这 190 个数了我们还用一样的办法160 到 199 这 40 个数中，120 到 159 这 40 个数中， 60 到 88 这 40 个数中，以及 20 到 59 这 40 个数中分别有10 个数的数字和能被 4 整除而 10 到 19，以及 100 到 119 中则只有 13、17、 103、107、112 和 116 这 6 个数的数字和能被 4 整除所以从 10 到 4999 这 4990 个自然数中，其数字和能被4整 除 的 数 有1000+100 2+10 4