技法破解“计算繁而杂”这一难题含解析

1、技法破解“计算繁而杂”这一难题x2y21(2018 惠州二模) 设 F1，F2 为椭圆 9 5 1 的两个焦点， 点 P 在椭圆上， 若线段 PF1| PF|的中点在 y 轴上，则2的值为 ()| PF1|55A. 14B. 945C. 9D. 13解析：选 D如图，设线段 PF1 的中点为 M，因为 O是 F1F2 的中点，b2513所以 OM PF2，可得 PF2 x 轴， | PF2| a 3，| PF1| 2a| PF2| 3 ，| PF2|5，故选 D.| PF|1312设 O为坐标原点， P是以 F 为焦点的抛物线y2 2px( p 0) 上任意一点， M是线段 PF上的点，且 |

2、2| ，则直线的斜率的最大值为 ()PMMFOM32A 3B 32C 2D 1解析：选 C如图所示，设(，y)(y0) ，则y2px， 2P x000002y0即 x0 .2p设 M( x， y) ，由PM2MF，ppx00x3，得 x x 22x，化简可得y0y y y，y 3 .0y0直线的斜率k3y02p2p2y02 时取等p x02 2( 当且仅当OMy02p2 2p22p3p2py0 y0号) x2y23(2019 合肥质检) 如图， 椭圆 a2 4 1( a 0) 的左、右焦点分别为F1， F2，过 F1 的直线交椭圆于M， N 两点，交y 轴于点1H. 若 F1， H是线段 MN

3、的三等分点，则F2MN的周长为 ()A 20B 10C2 5D4 5解析：选 D由 F ，H是线段 MN的三等分点，得H是 F N的中点，又 F ( c, 0) ，点 N111x c， 40， 22 ，2的横坐标为 c，联立方程，得x2y2得 N c， H，M. 把点aacaa241，2 2的坐标代入椭圆方程得4c2a 1，化简得2a2 1224，a2122 c，又caa 4，Ma444解得 a2 5， a5. 由椭圆的定义知 |NF2| | NF1| | MF2| | MF1| 2a， F2MN的周长为| NF2| | MF2| | MN| | NF2| | MF2| NF1| | MF1|

4、4a 4 5，故选 D.x2y24已知双曲线a2b2 1( a 0， b 0) 的左、右焦点分别为F1( c， 0) ， F2( c, 0) ， P 为双曲线上任一点， 且最小值的取值范围是32，1c2，则该双曲线的离心率的12 cPFPF42取值范围为 ()A(1， 2B 2，2C(0，2D 2 ，)解析：选 B设 (0，y0) ，P x则 PF1 PF2 ( cx0， y0) (c x0， y0)y22222022 x0cy0 a1 b2 cy0，上式当 y0 0 时取得最小值a2 c2，322212根据已知 4ca c 2c，12212c2c所以 4ca 2c，即 2a24，即 2a2，

5、所以所求双曲线的离心率的取值范围是 2，2 5过抛物线y2 2( 0) 的焦点，斜率为4的直线交抛物线于，两点，若 px pF3A BAF) FB ( 1) ，则 的值为 (A 5B 4245C 3D2解析：选 B 根据题意设(1，y1)， (2，2) ，A xB xyp1，p由 AF FB ，得y1 x2 ，2，2 x2y故 y1 y2，即 y1.y24 p设直线 AB的方程为 y 3 x 2 ，联立直线与抛物线方程，消去x，得y232 0.2pyp故 y1 y23p， y1y2 p2， 2y1y22y1y29则，y1y2 24y2y119即 2 4.又 1，解得 4.6中心为原点，一个焦点

6、为F(0,52) 的椭圆，截直线y 3x 2 所得弦中点的横坐标1为 2，则该椭圆方程为 _解析：由已知得c 52，x2y2设椭圆的方程为a250 a2 1，x2y2联立 a2 50 a2 1，y 3x 2，消去 y 得 (10 a2 450) x212( a2 50) x 4( a2 50) a2( a2 50) 0，设直线y 3x 2与椭圆的交点坐标分别为( x1， y1) ， ( x2， y2) ，a2由根与系数的关系得x1 x210a2450 ，a22由题意知 x1 x2 1，即10a2 450 1，解得 a 75，y2x2所以该椭圆方程为1.7525y2x2答案： 75 25 137

7、已知 AB为圆 x22 y 1的一条直径，点 P为直线 xy 2 0 上任意一点，则 PA PB的最小值为 _解析：由题意，设A(cos ， sin ) ， P( x， x 2) ，则 B( cos ， sin ) ， PA (cos x， sin x2) ， x 2) ，PB ( cos x， sin (cos x)( cos x) (sin x2) ( sin x 2) PA PB x2 ( x 2) 2 cos 2 sin 2 2x2 4x 3 2( x 1) 2 1，当且仅当 x 1，即 P( 1， 1) 时， PA PB 取最小值1.答案： 1228(2019 武汉调研 ) 已知，分

8、别为椭圆 x y2 1(0 3) 的左、右顶点，Q是A B9bbP椭圆上关于 x 轴对称的不同两点， 设直线 AP，BQ的斜率分别为m，n，若点 A到直线 y 1 mnx 的距离为1，则该椭圆的离心率为_x2y2解析：根据椭圆的标准方程9 b2 1(0 b 3) 知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，2y2y0 y0( 3,0)， (3,0) ，设 (0，0) ，Q(0，x00AP BQ 0)，则2 1，ABP xyxy9bkm0kn0x 3x 30221 mn921mn x929 b2x3ymn 2yb ，3b，直线 y3b x，即x0991 mn x 的距离为 1， | 32263，0. 又

9、点 A 到直线 y9 b | 39b 1，解得 b29 b2 918 b282229c212ca b 8， ea284.2答案： 4x229已知椭圆 C： 4 y 1过点 A(2,0) ，B(0,1)两点设 P 为第三象限内一点且在椭圆C上，直线 PA与 y 轴交于点 M，直线 PB与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM的面积为定值22解：设 P( x0， y0)( x0 0， y0 0) ，则 x0 4y0 4，又 A(2,0) ， B(0,1) ，4y0所以，直线PA的方程为 y x0 2( x 2) ，20My，令 x0，得 y x0 2从而 | BM| 1 y 12y0，Mx0

10、2y0 1直线 PB的方程为 y x0x 1，令 y0，得Nx0，x y0 1x0从而 | AN| 2 xN2 y0 1，所以四边形ABNM的面积11x02y0S 2| AN|BM| 2 2 y0 11 x0 222x0 4y0 4x0y0 4x0 8y0 4x0y0 x0 2y02x0y0 2x0 4y0 4 x0y0 x02y0 2 2，从而四边形ABNM的面积为定值6 x2 y210已知离心率为3 的椭圆 a2 b2 1( a b 0) 的一个焦点为 F，过 F 且与 x 轴垂直的2 3直线与椭圆交于 A，B 两点， | AB| 3 .(1) 求此椭圆的方程；(2) 已知直线y kx 2 与椭圆交于C，D两点，若以线段CD为直径的圆过点E( 1,0) ，求 k 的值解： (1)设焦距为 2c， c6，a2b2c2，ea3b3b23 a 3 . 由题意可知 a 3 ， b 1， a3，x22椭圆的方程为3 y 1.(2) 将 y kx 2 代入椭圆方程，得 (1 3k2) x2 12kx 9 0，又直线与椭圆有两个交点，所以 (12 k) 236(1 3k2) 0，解得 k2 1.5设 C( x1，y1) ， D( x2，y2) ，12k9则 x1 x2 1 3k2， x1x2 1 3k2.若以 CD为直径的圆过E点，