空间解析几何与向量代数

1、.,第八章空间解析几何与向量代数,目录 上页 下页 返回 结束,向量代数,平面与直线,空间曲线与曲面：曲线与曲面表示法,向量,向量运算：加减法，数量积，向量积,向量,空间直角坐标系,平面法向量,直线方向向量,距离，夹角,.,目录 上页 下页 返回 结束,1 向量及其线性运算 2 数量积，向量积 3 平面及其方程 4 空间直线及其方程 5 曲面及其方程 6 空间曲线及其方程,.,目录 上页 下页 返回 结束,第一次课,四、利用坐标作向量的线性运算,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,1 向量及其线性运算,.,2.向量的大小(模) :,1.向量:,(

2、又称矢量).,既有大小, 又有方向的量称为向量,4.单位向量:,3.零向量:,一、向量的概念,方向任意.,记为,5.平行向量:,方向相同, 或相反.,(零向量与任何向量平行),6.相等向量:,大小相等, 方向相同.,目录 上页 下页 返回 结束,.,二、向量的线性运算,1. 向量的加减法,三角形法则:,(1)加法：平行四边形法则：,(3)加法满足交换律，结合律见P2 .,(2)三角形法则可推广到多个向量相加 .,(4)减法：,(5)三角不等式,目录 上页 下页 返回 结束,.,2. 向量与数的乘法：,(1)定义：向量 与数的乘法记为,(2)向量与数的乘法满足结合律, 分配律. 见P4 .,(4

3、)定理1.1：设,则,目录 上页 下页 返回 结束,(5)与 同向的单位向量为：,.,解: 如图 M 为四边形ABCD 对角线的交点, 则,由已知,所以,所以ABCD为平行四边形.,目录 上页 下页 返回 结束,.,三、空间直角坐标系,坐标原点,坐标轴,(横轴),(纵轴),(竖轴),坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系(右手系),目录 上页 下页 返回 结束,.,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上的点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,原点 O(0,0,0) ;,(称为点M的坐标),目录 上页 下页 返回 结束,.,坐标轴 :,坐标面

4、 :,目录 上页 下页 返回 结束,.,2. 向量的坐标表示,(1)设点 M (x, y, z), 则,分别表示坐标轴x, y, z上的单位向量,目录 上页 下页 返回 结束,.,四、利用坐标作向量的线性运算,1. 设,为实数，则,目录 上页 下页 返回 结束,2.已知两点,则,.,3. 平行向量对应坐标成比例:,【例2】P8例2,目录 上页 下页 返回 结束,.,目录 上页 下页 返回 结束,【例3】已知两点,及实数-1,在直线AB上求一点 M , 使,解: 设 M 的坐标为,如图所示,由已知,.,由,得定比分点公式:,当=1时，点 M 为 AB 的中点 , 于是,得中点公式:,目录 上页

5、下页 返回 结束,.,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模: 设,则由勾股定理得有,设A(x1, y1, z1), B (x2, y2, z2), 则,2. 两点间的距离公式,【例】P10例4, 5, 6,目录 上页 下页 返回 结束,.,3. 方向角与方向余弦,(1)夹角:,(2)方向角:向量与三坐标轴的夹角, , , 称为方向角, , , 的方向余弦,(3)方向余弦：,目录 上页 下页 返回 结束,.,【例4】P11例8,方法2 :设,则由,目录 上页 下页 返回 结束,.,4.向量在轴上的投影,(1)定义 :过M 作平面,交 轴于,设 轴上的单位向量为,则,称为,在 上的投影, 记

6、为,注：投影是一个数，,当 与 同向时为正 ,反向时为负.,目录 上页 下页 返回 结束,.,(2) 向量在轴上的投影,则,(3) 投影的性质,目录 上页 下页 返回 结束,.,【作业】,P12 Ex8-1 4, 5, 11, 12, 14, 17, 19,目录 上页 下页 返回 结束,.,目录 上页 下页 返回 结束,第二次课,2 数量积,向量积,一、数量积,的数量积等于两向量的长度与它们夹,1. De2.1:,角的余弦的乘积, 记为,即:,2. 由投影性质:,.,目录 上页 下页 返回 结束,3. 性质,1,1,1,0,0,0,0,0,0,5. 运算规律,见P14-15,【例5】P15例1

7、,.,目录 上页 下页 返回 结束,6. 数量积的坐标表示法,设,特别：,则,.,目录 上页 下页 返回 结束,5. 向量 夹角余弦的坐标表达式,【例6】P16例2,.,目录 上页 下页 返回 结束,【例7】试在 所确定的平面内找一个与 垂直的,解：由于, 故 与 确定一个平面,设,单位向量 , 其中,取=1，则=3,故所求的单位向量,.,目录 上页 下页 返回 结束,二、向量积,的向量积是满足下列条件的一个向量，,1. De2.2:,2. 性质:,记为,与 都垂直；,构成右手系,有一个为零向量,.,目录 上页 下页 返回 结束,4. 运算规律,.,目录 上页 下页 返回 结束,5. 向量积的

8、坐标表示法,设,则,.,目录 上页 下页 返回 结束,.,目录 上页 下页 返回 结束,解：可取,【例8】求与 都垂直的单位向量 , 其中,故所求的单位向量,【例9】P19例5,.,【作业】,P22 Ex8-2 1, 3, 6, 7, 8,目录 上页 下页 返回 结束,.,目录 上页 下页 返回 结束,第三次课,3 平面及其方程,一、点法式平面方程,给出平面上一点P0(x0, y0, z0)及垂直于,1. 引例1:,平面的一个向量,解：设P (x, y, z)为上任意一点，则,由题意有,.,目录 上页 下页 返回 结束,已知点 (x0, y0, z0), (A,B,C),则,2. 点法式平面方

9、程,【例】P38例1,【例10】P38例2,点法式方程：,.,目录 上页 下页 返回 结束,平面一般方程:,二. 平面的一般方程,将点法式方程进行化简并合并同类项,得,说明:, D = 0,过原点；, A = 0,平行于x轴；, B = 0,平行于y轴；, C = 0,平行于z轴；,对于,法向量z轴,z轴上的所有向量.,【例11】P40例3,.,目录 上页 下页 返回 结束,三. 截距式平面方程,设与x, y, z 轴的截距分别为a, b, c,即:,1. 引例2:,P(a,0,0), Q(0,b,0), R(0,0,c),解:设:,将P, Q, R 代入得,求平面的方程.,截距式平面方程:,

10、.,目录 上页 下页 返回 结束,【例11】求过点,解：,P1(1,0,-1), P2(-2,1,3)且与向量,平行的平面方程.,又过点P1(1,0,1)，所以：,即：,.,目录 上页 下页 返回 结束,三. 两平面的夹角：,(两平面法向量的夹角)锐角,1. De2.3:,.,目录 上页 下页 返回 结束,2. 性质,【例】P41例5,【例12】P41例6,.,目录 上页 下页 返回 结束,四. 点到平面的距离,求P0到的距离P0 N.,引例3:,任取,则由数量积的性质,.,目录 上页 下页 返回 结束,.,内容小结,1. 平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,目录 上页 下页 返回 结束,

11、2. 点到平面的距离,.,3. 平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,目录 上页 下页 返回 结束,.,【作业】,P42 Ex8-5 1, 2, 3, 4(单数), 5，7，9,目录 上页 下页 返回 结束,.,目录 上页 下页 返回 结束,第四次课,4 空间直线及其方程,一、直线的一般方程,(两平面的交线),二、直线的对称式方程与参数方程,引例:,求过点 M0 (x0, y0, z0), 且与向量,在L上任取一点 M (x, y, z),平行的直线方程 L,.,目录 上页 下页 返回 结束,1. 对称式方程:,由, 则对应元素成比例,即：,(1)当分母有一个为0时,

12、分子也为0 ;,对称式方程,(2)当分母有两个为0时, 另一个分子任意,例如：,例如：,.,目录 上页 下页 返回 结束,2. 参数方程:,令,参数方程,(1) 方向,则,3. 说明:,称为方向向量.,(2) m, n, p 称为直线 L 的一组方向数.,L方向余弦,(3) 的方向余弦,称为直线,.,目录 上页 下页 返回 结束,直线方程 L 为,【例13】求过点P0(-1,0,2)且垂直于平面: x-y+3z+1=0,的直线方程 L .,解:设的法向量,由,从而可取,.,目录 上页 下页 返回 结束,【例14】将直线 L :,化为对称式方程 .,解:设,由1,1的交线均垂直于,故可取直线L的

13、,.,目录 上页 下页 返回 结束,不妨取,在L上任取一点,不妨取 z = 0,则,L上一点 M0(1, 2, 0),L的对称式方程为,【例14】将直线 L :,化为对称式方程 .,.,目录 上页 下页 返回 结束,【例15】求过点P0(-1, 4, 3) 且与L1:,都垂直的直线方程 L .,L2:,解:,L1的方向向量,L2的方向向量,L的方向向量,L的直线方程,.,目录 上页 下页 返回 结束,三、两直线的夹角,1. 计算公式:,设,【例16】P47例4,【例17】P47例5,(两直线方向向量的夹角),【例】P45例2,.,目录 上页 下页 返回 结束,2. 性质:,.,目录 上页 下页

14、 返回 结束,四、直线与平面的夹角,直线与它在平面上投影直线的夹角,L的方向向量:,的法向量:,设,.,目录 上页 下页 返回 结束,取,的距离.,过P0作L, 交L于N,解:,【例18】求过点P0(1, 1, 1) 到直线,令,则,代入到中得 t = -1,N(0,0,2),P0到L的距离,将t = -1代入得,【例19】P47例6,.,目录 上页 下页 返回 结束,五、平面束方程,设,作,则称为过 L 的平面束方程，,该方程为过 L 但除2,的所有平面方程.,【例20】P48例7,.,1. 空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,目录 上页 下页 返回 结束,.,直线,2. 线与线

15、的关系,直线,夹角公式:,目录 上页 下页 返回 结束,.,平面 :,L,L / ,夹角公式：,3. 面与线间的关系,直线,目录 上页 下页 返回 结束,.,【作业】,P49 Ex8-6 1, 2, 3, 5，7, 8，11，13，15,目录 上页 下页 返回 结束,课堂练习,.,目录 上页 下页 返回 结束,第五次课,5 曲面及其方程,一、曲面方程的定义,二、一些特殊的曲面方程,三、二次曲面,.,目录 上页 下页 返回 结束,一、曲面方程的定义,设动点 P ( x, y, z) 组成的曲面 S 与三元方程,(2)不在S上的任意点都不满足(*)，,F (x, y, z)=0 (*) , 有如下

16、关系:,(1) S上的任意一点P都满足方程(*);,则称(*)为S的方程 .,.,目录 上页 下页 返回 结束,二、一些特殊的曲面方程,1. 球面: 与定点 M0 (x0, y0, z0) 保持距离为R的点,的轨迹称为球.,设轨迹上的点P (x, y, z), 则,.,2. 旋转曲面,定义:一条平面曲线绕其,平面上一条定直线旋转一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转轴.,例如 :,目录 上页 下页 返回 结束,.,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,则有,则有,该点转到,(1) yoz面内曲线C: f (y, z) = 0 (y0) 绕 z 轴旋转,一周后所得的曲面方程.,

17、目录 上页 下页 返回 结束,.,(3) xoy 面内曲线C: f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转一周后,所得的曲面方程 :,(4) xoy 面内曲线C: f (x, y) = 0 绕 y 轴旋转一周后,所得的曲面方程 :,(2) yoz 面内曲线C: f (y, z) = 0 绕 y 轴旋转一周后,所得的曲面方程 :,目录 上页 下页 返回 结束,.,目录 上页 下页 返回 结束,3. 柱面,平行于定直线, 并沿着曲线C 移动的直线,L 形成的轨迹叫柱面 .,平行于 z 轴 .,圆柱面：,抛物柱面：,平行于 x 轴 .,平行于 y 轴 .,.,三、二次曲面,三元二次方程,其基本类型有:

18、,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0),目录 上页 下页 返回 结束,.,1. 椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,目录 上页 下页 返回 结束,.,2. 圆锥面,椭圆锥面,y = z 绕着 z 轴旋转一周而得的曲面,(a, b 为正数),在平面z = t 上的截痕为圆.,在平面z = t 上的截痕为椭圆.,直纹面,目录 上页 下页 返回 结束,.,(1). 单叶双曲面,(a, b, c为正数),直纹面,3. 双曲面,目录 上页 下页 返回 结束,.,(2). 双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,1 单叶

19、双曲面,-1 双叶双曲面,(a, b, c为正数),在平面y = y1上的截痕为,在平面x = x1上的截痕为,在平面z = z1(|z1| c)上的截痕为,目录 上页 下页 返回 结束,.,4. 抛物面,(1) 椭圆抛物面,(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）,特别,当a = b 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,目录 上页 下页 返回 结束,.,【作业】,P31 Ex8-3 1, 2, 5，6, 8(1,3),目录 上页 下页 返回 结束,.,目录 上页 下页 返回 结束,5 空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,.,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,目录 上页 下页 返回 结束,.,C : 表示圆柱面与平面的交线,【例21】画出下列曲线,目录 上页 下页 返回 结束,.,表示上半球面与圆柱面的交线C.,目录 上页 下页 返回 结束,.,目录 上页 下页 返回 结束,P37 题1(1),P37 题1(2),.,目录 上页 下页 返回 结束,P37 题1(3),.