一元二次不等式和解法知识梳理和典型练习试题(含答案解析)

1、一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为axb(a0)的形式.当a0时，解集为；当a0时，解集为.2.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为_不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的_.(3)一元二次不等式的解：函数与不等式二次函数yax2bxc(a0)的图象000一元二次方程ax2bxc0(a0)的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集有两相异实根x1，x2(x1x2)x|x1

2、xx2有两相等实根bx1x22a无实根r(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式.g（x）g（x）00g（x）0；g（x）0.3.分式不等式解法f（x）g（x）(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）f（x）0f(x)g(x)0；0f(x)g(x)0；f（x）g（x）0，f（x）f（x）f（x）g（x）0，g（x）g（x）(2014课标)已知集合ax|x22x30，bx|2x2，则ab()a.2，1c.1，1b.1，2)d.1，2)解：ax|x3或x1，bx|2x2，abx|2x12，1.故选a.设f(x)x2bx1且f(1)f(3)，则f(x)0的

3、解集为()a.x|xrc.x|x1b.x|x1，xrd.x|x1已知2，则x的取值范围是()a.2x0或0xb.x0即x22x10，x的取值范围是x1.故选b.112x1122c.x2d.x1212解：当x0时，x；当x0时，x2.不等式0的解集是.也就是x(x1)0，所以1x1.(2014武汉调研)若一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取解：显然k0.若k0，则只须(2x2x)max，解得k；若k0，则只须(2x28k12所以x的取值范围是x1，故选d.212xx112x解：不等式0等价于(12x)(x1)0，x11221故填x|1x2，xr.38值范围为_.338kx)，

4、解得k(3，0).故k的取值范围是(3，0).故填(3，0).min已知关于x的不等式(ab)x2a3b0的解集为，3，求关于x的不解：由(ab)x3b2a的解集为，3，得ab0，且1，ab类型一一元一次不等式的解法1等式(a3b)xb2a0的解集.13b2a3是解本题的关键.(2)当m240即m2或m2时，x.(3)当m240即2m2时，x.从而a2b，则ab3b0，即b0，将a2b代入(a3b)xb2a0，得bx3b0，x3，故所求解集为(，3).点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为axb(a0)的形式.挖掘隐含条件ab0且3b2a1ab3解关于x的不等式：(m24)xm2.解：(1)当

5、m240即m2或m2时，当m2时，原不等式的解集为，不符合当m2时，原不等式的解集为r,符合1m21m2类型二一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x27x120;(2)x22x30；(3)x22x10;(4)x22x20.解：(1)x|x3或x4.(2)x|3x1.(3).(4)因为0，可得原不等式的解集为r.x1，x0，(2013金华十校联考)已知函数f(x)则不等式x(x1)f(xx1，x0，1)1的解集是()a.x|1x21b.x|x1c.x|x21d.x|21x21解：由题意得不等式x(x1)f(x1)1等价于x10，x（x1）（x1）11或x10，x（x1）（x1）11，解不等式

6、组得x1；解不等式组得1x21.故原不等式的解集是x|x21.故选c.类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系已知关于x的不等式x2bxc0的解集是x|5x1，求实数b，c的值.解：不等式x2bxc0的解集是x|5x1，x5，x1是x2bxc0的两个实数根，1251b，b4，由韦达定理知51c，c5.已知不等式ax2bxc0的解集为x|2x3，求不等式cx2bxa0的解集.解：不等式ax2bxc0的解集为x|2x3，a0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系得ab23，c23，aa0.b5a，即c6a，a0.所求不等式的解集为x|x.23(2)当m0时，不等式为mxm(x1)

7、0.当m0，不等式为x(x1)0，11，不等式的解集为x|x或x1.当m0，不等式为x(x1)0.()若1即m1时，不等式的解集为x|mx1；()若1即0m1时，不等式的解集为x|1xm；()若1即m1时，不等式的解集为.代入不等式cx2bxa0，得6ax25axa0(a0).即6x25x10，11类型四含有参数的一元二次不等式解关于x的不等式：mx2(m1)x10.解：(1)m0时，不等式为(x1)0，得x10，不等式的解集为x|x1；11m1mm1m11m11m1m的不确定性，对m0与m0进行讨论；第三层次：与1大小的不确定性，对m1、m，；解集为(，1，1；当2a0时，解集为1，.当a2

8、时，解集为(1)解不等式1.点拨：当x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m0与m0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)1m1与m1进行讨论.解关于x的不等式ax222xax(ar).解：不等式整理为ax2(a2)x20，当a0时，解集为(，1.当a0时，ax2(a2)x20的两根为1，2，所以当a0时，a2a2a当a2时，解集为x|x1；2a类型五分式不等式的解法x12x1x1x1x2x2解：11000.2x12x12x12x1x2（x2）（2x1）0，02x12x10.得xx1或x2.2x23x2(2)不等式x20的解

9、集是.x2x2解：00x23x2（x2）（x1）(x2)(x2)(x1)0，数轴标根得x|2x1或x2，故填x|2x1或x2.点拨：(1)若集合ax|12x13，bx|0，则ab()x)分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为0(注意：一定要保证x的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根.(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可.(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向

10、左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集：若不等号为“”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“”号，写解集时要考虑分母不能为零.x2a.x|1x0c.x|0x2b.x|0x1d.x|0x1(2)不等式0的解集为()x（x2）0，解：易知ax|1x1，b集合就是不等式组的解集，求出bx0x|0x2，所以abx|0x1.故选b.x12x1a.2，1b.2，1c.，21，)d.，21，)1111得1x1.故选a.(1)若不等式x2ax10对于一切x0，2成立，则a的最小值

11、为(x1（x1）（2x1）0，解：02x12x102类型六和一元二次不等式有关的恒成立问题1)a.0b.2c.d.3解：不等式可化为axx21，由于x0，2，ax.f(x)x在0，上是减函数，5.a5.x521111xx21xmax22(2)已知对于任意的a1，1，函数f(x)x2(a4)x42a的值总大于0，则x的取值范围是()a.1x3c.1x2b.x1或x3d.x1或x21.不等式0的解集是()解：记g(a)(x2)ax24x4，a1，1，g（1）0，x23x20，依题意，只须x1或x3，故选b.g（1）0x25x60点拨：对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量

12、转换为参数，把关于x的二次不等式转换为关于a的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x的取值范围.对于满足|a|2的所有实数a，求使不等式x2ax12xa成立的x的取值范围.解：原不等式转化为(x1)ax22x10，设f(a)(x1)ax22x1，则f(a)在f（2）0，x24x30，x3或x1，2，2上恒大于0，故有：即解得f（2）0x210x1或x1.x1或x3.类型七二次方程根的讨论若方程2ax2x10在(0，1)内有且仅有一解，则a的取值范围是()a.a1c.1a1d.0a1解法一：令f(x)2ax2x1，则f(0)f(1)0，即1(2a2)0，解得a1.解法二：当a0

13、时，x1，不合题意，故排除c，d；当a2时，方程可化为4x2x10，而1160，无实根，故a2不适合，排除a.故选b.x2x1a.(，1)(1，2c.(，1)2，)b.1，2d.(1，2()(x2)0，且x1，即x(1，2，故选d.2.关于x的不等式(mx1)(x2)0，若此不等式的解集为x|mx2，则m的取值范x2解：0x1x11围是()c.ma.m012b.0m2d.m03.(2013安徽)已知一元二次不等式f(x)0的解集为x|x2，则f(10x)0的解集为解：由不等式的解集形式知m0.故选d.1()a.x|xlg2b.x|1xlg2d.x|xlg2解：可设f(x)a(x1)x2(a0可

14、得(10x1)10x20，从而10x，1112解得x0在(1，4)内有解，则实数a的取值范围是()a.a12b.a4d.a0对x(1，2)恒成立，则实数k的取值范围是_.解：x(1，2)，x10.则x2kxk1(x1)(x1k)0，等价于x1k0，即kx1恒成立，由于2x13，所以只要k2即可.故填(，2.f（m1）2m22m0.故填，0.1即5a24a10，解得a1或a.f(x)x2x.12a2a4a1，2a4a10，2(2)由f(x)ax2(12a)x3aax及a0，可得f(x)的最大值为.7.(2014江苏)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的

15、取值范围是_.f（m）2m210，解：由题可得f(x)0对于xm，m1恒成立，即解得23m0，228.若关于x的不等式x2axa3的解集不是空集，求实数a的取值范围.解：x2axa3的解集不是空集x2axa30的判别式0，解得a6或a2.9.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)2x的解集为(1，3).(1)若方程f(x)6a0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.解：(1)f(x)2x0的解集为(1，3)，f(x)2xa(x1)(x3)，且a0.因而f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0得ax2(24a)x9a0.因为方程有两个相等的实根，所以(24a)24a9a0，5由于a0，舍去a1，将a1代入得f(x)的解析式5163555aaa24a1a2由a解得a23或23a0.a0，故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(，23)(23，0).10.解关于x的不等式：1(a0).a1a1a（x1）x2解：(x2)(a1)x2a0，a2当a1时有(x2)x0，a1若a22，即0a1时，解集为x|2xa2；a1a1a2若2，即a0时，解集为；a1a2a2若2，即a0时，解集为x|x2.工程部维修工的岗位职责1