最新高中自主招生数学模拟试题及答案

1、2.若实数a满足a-4+=2，则a-的值是欢迎来主页下载-精品文档唐山市唐山一中自主招生测试题一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是3a(a-2)1aaa=x,=y，且y-x=，则三角形bde面积的最大值是3.如图，三角形abc的面积为2，点d、e分别在边ab、ac上，adae1abac2dae|4.若关于x的方程|x-2-b=|a有四个实数解，则化简a+ba-b|a|b+|a+b|a-b|a|b|的结果是bc5.若非零的实数a,x,y,z满足等式a(3x-2y)-a(4y-3z)=4y-3z-2y-3x，则x2

2、+y2xy+yz+zx的值是6.如图，在直角三角形abc中，ac=4,bc=3，d是斜边ab上一动点，debc，dfac，垂足分别是e,f，当ef的长最小时，cosfed=afd7.多项式x6-x4+x3+1被x2-x除的余式是ceb8.已和a,b,c是互不等的实数，三个方程x2+ax+b=0;x2+bx+c=0;x2+cx+a=0中，有公共根p，有公共根q，有公共根r，则abc=19.我们有一个结论：对于任何一个正整数n，若n是偶数，将其减半；若n是奇数，将其乘以3加1，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到.如正整数n=6，按上述规则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,

3、4,2,1.如果正整数n按上述变换后的第8个数是1（n是第1个数，1可多次出现），则n的所有可能值的个数是10.如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是233547569114571013169131721611162126精品文档11.（本题满分12分）已知点a(-5,0),b(5,0)，函数y=x+的图象是直线l，点pab,)欢迎来主页下载-精品文档二、解答题（本大题5小题，共70分）15(33在l上，满足apb是钝角，试求a的取值范围.yapoblx12.（本题满分12分）已知关于x的函数y=kx2-2(k+1)x+k+3的图象与x轴有交点.（1）求k的取值范围；（2）若函数图

4、象与x轴有两个不同的交点(x,0),(x,0)，且kx2+2(k+1)x+k+3=4xx121212求k的值，并根据图象指出当k+1xk+3时，函数的最大值和最小值.试13.（本题满分12分）如图，点d是三角形abc外接圆上一点，ea精品文档bfcd欢迎来主页下载-精品文档db的延长线交过点a的切线于点e.若ab=ac，acbd，ae=35，db=4，求fc的长.14.（本题满分16分）如图，点c在以ab为直径的o上，过点b、c作圆的切线交于点p，点q是bc的中点，求证：abaq=acap.精品文档欢迎来主页下载-精品文档baoqcp15.（本题满分18分）编号为1,2,25的25张卡片分别拿

5、在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.25，乙手中卡片编号的平均数也增加0.25，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数.试题及解答一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是精品文档欢迎来主页下载-精品文档解：这四个实数的和为14,2,1,-，其积是-8.2+4+5+73=6，所以这四个数分别是6-2,6-4,6-5,6-7，即+=2，则a-的值是2.若实数a满足a-43a(a-2)1aaa解：去分母得a2-4+3a2-2a=2a，移项得a2-2a+

6、3a2-2a-4=0.设a2-2a=t，则方程变为t2+3t-4=0，t=1或t=-4（舍去）.由a2-2a=1得a2-2a-1=0，所以a-1a=2.=x,=y，且y-x=，则三角形bde面积的最大值是3.如图，三角形abc的面积为2，点d、e分别在边ab、ac上，adae1abac2daabdabeacdabc解：sdbdebdae=s=(1-x)s=(1-x)sdabe=2(1-x)ye=2(1-x)(x+)=-2x2+x+1=-2(x-)2+，119248三角形bde面积的最大值是9.84.若关于x的方程|x-2|-b|=a有四个实数解，则化简ba+ba-b|a|b+|a+b|a-b|

7、a|b|c的结果是故ba0.从而a+b+=+=1-1+1+1=2.解：显然a0.若a=0，则方程可变为|x-2|=b，方程最多两解，不合题意，所以a0.方程可化为|x-2|=ba.当ba时，|x-2|=b+a,|x-2|=b-a方程有四解，符合题意.a-b|a|ba+ba-bab|a+b|a-b|a|b|a+bb-aab5.若非零的实数a,x,y,z满足等式a(3x-2y)-a(4y-3z)=4y-3z-2y-3x，则x2+y2xy+yz+zx的值是若3x-2y0且4y-3z0，则由得a0，矛a(3x-2y)0a(4y-3z)0解：若3x-2y=0，则-a(4y-3z)=4y-3z，于是4y-

8、3z=0；若4y-3z=0，则a(3x-2y)=-2y-3x，于是3x-2y=0；2y-3x04y-3z0盾.故3x-2y=0且4y-3z=0.精品文档=.欢迎来主页下载-精品文档于是6x=4y=3z，可令x=2t,y=3t,z=4t，所以x2+y24t2+9t21=xy+yz+zx6t2+12t2+8t226.如图，在直角三角形abc中，ac=4,bc=3，d是斜边ab上一动点，debc，dfac，垂足分别是e,f，当ef的长最小时，cosfed=解：连结cd，则cd=ef，所以ef的长最小时即为cd的长最小，此时cdab,于是fed=fcd，所以afdcosfed=cosb=bc=.3ab

9、5ceb7.多项式x6-x4+x3+1被x2-x除的余式是解：x6-x4+x3+1=x4(x+1)(x-1)+x(x+1)(x-1)+x+1，所以余式是x+1.8.已和a,b,c是互不等的实数，三个方程x2+ax+b=0;x2+bx+c=0;x2+cx+a=0中，有公共根p，有公共根q，有公共根r，则abc=，r=.解：由p2+ap+b=0，p2+bp+c=0得，(a-b)p+b-c=0，p=a-cb-a同理q=b-cc-ac-ba-b.pqr=-1.又p,q,r互不相等，如p=q，则p,q的公共根，于是p=q=r，从而p=q=r=-1，代入有b-a=-1,c-b=-1,a-c=-1，三式相加

10、得0=-3，矛盾.由上述结论可知，的两根为p,r；的两根为p,q；的两根为q,r.由根与系数关系，有a=pr,b=pq,c=rq，故abc=p2q2r2=1.19.我们有一个结论：对于任何一个正整数n，若n是偶数，将其减半；若n是奇数，将其乘以3加1，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到.如正整数n=6，按上述规则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n按上述变换后的第8个数是1（n是第1个数，1可多次出现），则n的所有可能值的个数是解：反推12832642181620510214312481612n的所有可能值的个数是6.10.如图的一个无穷数表，其

11、中2014在表中出现的次数是23456精品文档欢迎来主页下载-精品文档3455791171013169131721611162126解：观察知，表中第m行第n列的数是mn1.由mn12014得mn201331161，m是2013的正约数，所以(m,n)有8对，从而2014在表中出现的次数是8.二、解答题（本大题5小题，共70分）15pab11.（本题满分12分）已知点a(5,0),b(5,0)，函数yx的图象是直线l，点(,)33在l上，满足apb是钝角，试求a的取值范围.解：以ab为直径作圆，交l于点c,d,则点p在线段cd上（不含端点）.4分3036分设点c(x,y)，则0015yx(1)

12、0x2y25(2)00cablx把（1）代入（2），整理得，x2x20，dx2,x1，8分c(2,1),(1,2).故a的取值范围是2a1.12分12.（本题满分12分）已知关于x的函数ykx22(k1)xk3的图象与x轴有交点.（1）求k的取值范围；（2）若函数图象与x轴有两个不同的交点(x,0),(x,0)，且kx22(k1)x1212k34xx12.试求k的值，并根据图象指出当k1xk3时，函数的最大值和最小值.解：（1）当k0时，函数为y2x3，图象与x轴有交点.2分当k0时，图象与x轴有交点的条件是24(k1)4k(k3)0解得k1.分综上，k的取值范围是k1.4分kk（2）x1x2

13、2(k1)k3,xx12.5分由kx22(k1)x11精品文档k30得，kx2k32(k1)x，11欢迎来主页下载-精品文档kx2+2(k+1)x+k+3=4xx可化为12122(k+1)(x+x)=4xx8分12122(k+1)2(k+1)k+3=4kk，画图可知当-1x1时，最大值为，k=-2时，函数为y=-2x2+2x+1=-2(x-)2+解得，k=1或k=-2.10分但k=1时，函数图象与x轴仅有一个交点，舍去.133222最小值为-3.12分13.（本题满分12分）如图，点d是三角形abc外接圆上一点，db的延长线交过点a的切线于点e.若ab=ac，acbd，ae=35，db=4，求

14、fc的长.ea解：ae是圆的切线，ae2=ebed.设eb=x，则x(x+4)=45，解得x=5.3分bfcae是圆的切线,eab=acb.ab=ac,acb=abc,eab=abc,aebc,5分又bdac，四边形aebc是平行四边形,7分bc=ae=35,ac=be=5.d=，解得fc=又由acbd得，bfbd=fcac，即35-fc455fc53.12分14.（本题满分16分）如图，点c在以ab为直径的o上，过点b、c作圆的切线交于点p，点q是bc的中点，求证：abaq=acap.证明：连接op，则点q在op上.2分aobpb,opbc,pb2=pqpo.4分o设pa交o于m，则pb2=

15、pmpa.6分pqpo=pmpa,dpomdpaq，bqcomaq=opap8分pobaq=opap10分又oqac，bop=bac，rtdobprtdacb，obac=opabaqac=apab，12分，精品文档欢迎来主页下载-精品文档abaq=acap.16分15.（本题满分18分）编号为1,2,25的25张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.25，乙手中卡片编号的平均数也增加0.25，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数.解：1+2+3+25=325.2分设乙原来手中有卡片x张，平均数为y，则原来甲手中有25-x张卡片，平均数为325-xy25-x.4分x+1=y+0.25xy+15由题意得，310-xy=325-xy+0.2524-x25-x(1)(2)6分由(2)得，(310-xy)(25-x)=(325-xy)(24-x)+(25-x)(24-x)，31025-25xy-310x+x2y=32524-24xy-325x+x2y+(2