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1、复变函数积分,复变函数论多媒体教学课件,Department of Mathematics,第三章 复变函数的积分,复变函数积分,复变函数论多媒体教学课件,Department of Mathematics,第一节 复积分的概念及其简单性质,1、复变函数积分的的定义 2、积分的计算问题 3、基本性质,复变函数积分,一、复变函数积分的定义,1.有向曲线:,设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线.,如果A到B作为曲线C的正向, 那么B到A就是曲线C的负向,复变函数积分,简单闭曲线正向

2、的定义:,简单闭曲线C(周线)的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.,与之相反的方向就是曲线的负方向.,关于曲线方向的说明:,在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向.,复变函数积分,2. 定义3.1,设有向曲线C,把曲线C分成若干弧段,作和式,复变函数积分,复变函数积分,关于定义的说明:,复变函数积分,3. 定理3.1,证明,正方向为参数增加的方向,复变函数积分,复变函数积分,根据线积分的存在定理,所以,复变函数积分,当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,复变函数积分,在

3、形式上可以看成是,公式,即复函数积分可表为两个实积分.,复变函数积分,二. 复变函数积分的计算问题,设有向曲线C,或,复变函数积分,证明,注,用公式(3.2)或(3.3)计算复变函数的积分,是从积分 路径的参数方程着手,称为参数方程法.,复变函数积分,例1,解,积分路径的参数方程为,复变函数积分,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,复变函数积分,三、复变函数积分的性质,复积分与实变函数的定积分有类似的性质.,复变函数积分,估值不等式,(6)积分估值,定理3.2,复变函数积分,证明,两端取极限得,证毕,复变函数积分,证明,而C之长为2,根据估值不等式知,例2,复变函数积分,例3,证明,复变函数积分,例4,解,(1) 积分路径的参数方程为,y=x,复变函数积分,(2) 积分路径的参数方程为,复变函数积分,(3) 积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,积分路径不同,积分结果也可能不同.,复变函数积分,例5,解,积分路径的参数方程为,复变函数积分,复变函数积分,四、小结与思考,本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质. 本课中重点掌握复积分的一般方法.,复变函数积分,作业,P141 习题(一) P142 1,

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