解一元二次方程因式分解法[共16页]

1、第 5 课时 解一元二次方程 - 因式分解法一、学习目标 1会用因式分解法解一元二次方程；2会用换元法解一元二次方程；3灵活选用简便的方法解一元二次方程 .二、知识回顾 1分解因式的常用方法有哪些？（1）提取公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)（2）公式法：2 2 ( )( )a b a b a b ，2 2 2 ( )2a ab b a ba ab b a b 2-2 2 ( - ) 22-2 2 ( - ) 2，（3）十字相乘法： 2 ( ) ( )( )x a b x ab x a x b三、新知讲解 1因式分解法把一个多项式分解成 几个整式乘积 的形式叫做分解因式 .当一元二

2、次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时， 我们可以使两个一次式分别等于 0，从而实现降次 . 这种解一元二次方程的方法称为 因式分解法 .2因式分解法解一元二次方程的步骤：把方程的右边化为 0；用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；令每一个因式分别等于 0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 .3因式分解法的条件、理论依据因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于 0，而左边易于分解；理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零 .四、典例探究 1用因式分解法解一

3、元二次方程【例 1】用因式分解法解方程：（1）2(2x1)2=(1 2x) ；（2）4( y2)2=( y3)2.总结：用因式分解法解一元二次方程，是利用了“当 ab=0 时，必有 a=0 或者 b=0”的结论 .因式分解法解一元二次方程的步骤：（1）把方程的右边化为 0；（2）用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；（3）令每一个因式分别等于 0，得到两个一元一次方程；1（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 .2练 1（2014 秋?赵县期末）用因式分解法解方程： x 6x+9=（52x）22用换元法解一元二次方程【例

4、2】（2014?山西校级模拟）解方程（ x1）25（x1）+4=0 时，我们可以将 x1 看成一个整2体，设 x1=y，则原方程可化为 y 5y+4=0，解得 y1=1，y2 =4当 y=1 时，即 x1=1，解得 x=2；2当 y=4 时，即 x1=4，解得 x=5，所以原方程的解为 x1=2，x2=5利用这种方法求方程（ 2x+5） 4（2x+5）+3=0 的解总结：换元法在解特殊一元二次方程的时候用的较多，运用了整体思想 .在一元二次方程中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题时，我们可以考虑用换元法来解 .解高次方程时，通过换元的方法达到降次的目的练 2（2015?呼和浩

5、特）若实数 a、b 满足（ 4a+4b）（4a+4b2）8=0，则 a+b=_练 3 解方程：（x 2-3 ）2-3 ）2-5(3-x 2 )+4=0.3灵活选用方法解一元二次方程【例 3】（2014 秋?漳县校级期中）选择适当方法解下列方程：（1） x25x+1=0；（2）3（x2）2=x（x2）；2（3）2x 2 x5=0；（4）（y+2）2=（3y1）2 总结：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，根据一元二次方程的特征，灵活选用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用 .（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为 0 时，即形如 ax2+c=0 形式的一元二次方

6、程，应选用直接开平方法 .（2）若常数项为 0，即形如 ax2+bx=0 的形式，应选用因式分解法 .（3）若一次项系数和常数项都不为 0，即形如 ax2+bx+c=0 的形式， 看左边的整式是否能够因式分解，如果能，则宜选用因式分解法；不然选用公式法；不过当二次项系数是 1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单 .（4）公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的 . 因此在解方程时，我们首先考虑能否应用直接开平方法、因式分解法等简单方法，若不行，则再考虑公式法（适当也可考虑配方法） .练 4（2015 春?无锡校级期中）选择合适的方法解下列方程 .2（1）x 5x6=

7、0；2（2）3x 4x1=0；（3）x（x1）=33x；2（4）x 2 x+1=02五、课后小测 一、选择题1方程（ x-16 ）(x+8)=0 的根是（ ）A. x 1=-16 ，x2=8 B. x 1=16，x2=-8 C. x 1=16，x2=8 D. x 1=-16 ，x2=-82. 方程 5x(x+3)=3(x+3) 的解为（ ）A.3x , x 3 B.1 253x C.53 3x , x 3 D. x1 , x2 31 25 523. （2015?滕州市校级模拟）方程 x 2x=3 可以化简为（ ）A（x3）（x+1）=0 B （x+3）（x1）=0C（x1）2=2 D （x1）

8、2+4=0二、填空题4（2015?丽水）解一元二次方程 x2+2x3=0 时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 5（2014?杭州模拟）方程 x（x+1）=2（x+1）的解是 2+y2+1）（x2+y2+2）=6，则 x2+y2的值为 6（2013 秋?苏州期末）已知（ x三、解答题7（2014 秋?静宁县期末）解下列方程：2（1）x 2x+1=02（2）x 2x2=0（3）（x3）2+2（x3）=08（2014 秋?沧浪区校级期末）解下列方程：2（1）x 4x3=0（2）（x2）2=3（x2）2（3）2（ x） （ x ）1=09（2014 秋?宛城区校级期中）为了解

9、方程（ x21）25（x2 1）+4=0，我们可以将 x21 看作一个2 22 2 2 =y整体，然后设 x 1=y，则（ x 1），那么原方程可化为 ，解得 ， y 5y+4=0 y =1 y =4 1 22 2=2，x= 当 y=1 时，x 1=1，x 2 2=5，x 当 y=4 时，x 1=4，x故原方程的解为 x1= ，x2= ，x3= ，x4= 请借鉴上面的方法解方程（ x 2x）2x）25（x2x）+6=02 2 2 2 2 210（2014 秋?蓟县期中）已知（ x +y 3）（x +y +1）=12，求 x +y的值34典例探究答案：【例 1】【解析】（1）移项，提取公因式；

10、（2）移项并利用平方差公式分解因式求解 .解：（1）2(2 x1)2=(12x)移项，得 2(2 x1)2(1 2x)=0，即：2(2 x1)2+(2 x1)=0 ，因式分解，得（ 2x-1 ）2(2x-1)+1=0 ，整理，得 (2x-1)(4x-1)=0 ，1 1解得 x1= ，x2=；2 4（2）4( y2)2=( y3)2移项，得 4( y2)2-( y3) 2=0因式分解，得 2 （y+2）+(y-3)2(y+2)-(y-3)=0整理，得 (3y+1)(y+7)=01解得 y1= ，y2=7.3练 1【解析】首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而解方程得出即可；2解：x 6

11、x+9=（52x）2，（x3）2 2 =0，（52x）因式分解得： （x3+52x）（x35+2x）=0，整理得：（2x）（3x8）=0，解得： x1=2，x2= .点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键2【例 2】【解析】先设 2x+5=y，则方程即可变形为 y 4y+3=0，解方程即可求得 y（即 2x+5）的值，进一步可求出 x 的值2解：设 x1=y，则原方程可化为 y 4y+3=0，所以（ y1）（y3）=0解得 y1=1，y2=3当 y=1 时，即 2x+5=1，解得 x=2；当 y=3 时，即 2x+5=3，解得 x=1，所以原方程的解为： x1=2

12、，x2=1点评：本题运用换元法解一元二次方程练 2【解析】设 a+b=x，则原方程转化为关于 x 的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求 x（即 a+b）的值解：设 a+b=x，则由原方程，得4x（4x2） 8=0，整理，得（2x+1）（x1）=0，解得 x1= ，x2=15则 a+b 的值是 或 1故答案是： 或 1点评： 本题主要考查了换元法， 即把某个式子看作一个整体， 用一个字母去代替它，实行等量替换练 3 【解析】设 x2-3=y ，则原方程转化为关于 y 的一元二次方程，通过解该一元二次方程2来求 y（即 x -3 ）的值解：设 x2-3=y ，则原方程可化为 y2-5(-y)+

13、4=0 ，即： y2 +5y+4=0，因式分解得： （y+1）(y+4)=0,解得 y1=-1 ，y2 =-4.当 y1=-1 时，x2-3=-1 ，即 x2=2，解得 x 2 .2=-4 时，x 2-3=-4 ，即 x2-3=-1 ，方程无实数根 .当 y综上， x 2 .【例 3】【解析】（1）利用配方法得到（ x ）2= ，然后根据直接开平方法求解；（2）先变形得到 3（x2）2x（x2）=0，然后利用因式分解法解方程；（3）先计算判别式的值，然后利用求根公式法求解；（4）先变形得到（ y+2）2解：（1）x 5x=1，2（ 3y1）2=0，然后利用因式分解法解方程x 25x+（ ）25

14、x+（ ）2=1+（ ）2，（x ）2= ，x = ，所以 x1= ，x2= ；2（2）3（x2） x（x2）=0，（x2）（3x6x）=0，所以 x1=2，x2=3；（3）=（2 ）24 2 （ 5）=48x= = = ，所以 x1= ，x2= ；（4）（y+2）2 2=0，（3y1）（y+2+3y 1）（y+23y+1）=0，y+2+3y1=0 或 y+23y+1=0，所以 y1= ，y2= 6点评：本题考查了一元二次方程的四种常见解法练 4【解析】（1）根据因式分解法，可得方程的解；（2）根据公式法，可得方程的解；（3）根据因式分解法，可得方程的解；（4）根据公式法，可得方程的解解：（1

15、）因式分解，得（x1）（x6）=0，解得 x1=6，x2=1；（2）a=3，b=4，c=1，x1= ，x2= ；（3）方程化简得 x2+2x3=0，因式分解，得（ x+3）（x1）=0，解得 x1=1，x2=3；（4）a=1，b=2 ，c=1，x1=1+ ，x2 =1+ 点评：本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择适当的方法是解题关键课后小测答案：一、选择题1【解析】先移项，再分解因式，即可得出选项2解：x 2x=3，2x 2x3=0，（x3）（x+1）=0，故选 A点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确分解因式，题目比较好，难度不是很大2. 【解析】先移项，再分解因

16、式，即可求得 5x(x+3)=3(x+3) 的解 .解：5x(x+3)=3(x+3) ，移项，得 5x(x+3)-3(x+3)=0 ，分解因式，得（ 5x-3 ）（x+3）=0，3x , x 3 解得 1 25故选 D.点评：注意本题不能两边约去（ x+3），这样会失去一个解 .3. 【解析】先移项，再利用十字相乘法分解因式；或者方程两边同时加 1，左边配成完全平方式.2解：方法一： x -2x=3,移项，得 x2-2x-3=0,因式分解，得（ x-3 ）(x+1)=0,方法二： x 2-2x+1=3+1, 即：（x-1 ）2-2x+1=3+1, 即：（x-1 ）移项，得（ x-1 ） 2-4

17、=0.2=4,故选 A.点评：本题考查了解一元二次方程因式分解法 .二、填空题4【解析】把方程左边分解，则原方程可化为 x1=0 或 x+3=0解：（x1）（x+3）=0，7x1=0 或 x+3=0故答案为x1=0 或 x+3=0点评：本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次， 把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 5【解析】移项后分解因式得到（ x+1）（x2）=0，推出方程 x+1=0，x2=0，求出方程的解即

18、可解： x（x+1）=2（ x+1），移项得： x（ x+1）2（x+1）=0，即（ x+1）（x2） =0，x+1=0，x2=0，解方程得： x1=2，x2=1，故答案为： x1=2，x2=1点评： 本题主要考查对解一元二次方程因式分解法， 解一元一次方程， 等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键6【解析】令 x2+y2=t ，将原方程化为（ t+1 ）（ t+2 ）=6，解出 t ，再求得 x 即可2 2解：令 x +y =t ，将原方程化为（ t+1 ）（t+2 ）=6，即（ t1）（ t+4 ） =0，解得 t 1=1，t 2=4，t 0， t

19、=1 ，x2+y2=1，故答案为1点评：本题考查了用换元法解一元二次方程，注意题目中的整体是 x2+y2三、解答题7【解析】（ 1）先分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可解：（1）x22x+1=0，因式分解，得（ x1）2=0，解得 x1=0，即 x1=x2=1；（2）x22x2=0，移项，得 x22x=2，配方，得 x22x+1=2+1，即：（x1）2=3，解得 x1= ，即 x1=1+ ，x2=1；（3）（x3）2+2（x3）=0，因式分解，得（ x

20、3）（x3+2）=0，即 x3=0，x3+2=0，解得 x1 =3，x2=1点评：本题考查了解一元二次方程的应用， 能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，此题是一道中档题目，难度适中8【解析】（ 1）方程利用配方法求出解即可；（2）原式利用因式分解法求出解即可；8（3）将方程变形后，设 y=x ，得到关于 y 的一元二次方程，求出方程的解得到 y 的值，可列出关于 x 的一元一次方程，分别求出一次方程的解即可得到原方程的解2解：（1）方程变形得： x 4x=3，2配方得： x 4x+4=7，即（ x2）2=7，开方得： x2= ，解得： x1=2+ ，x2=2 ；（2）方程变形得： （x2）23（x2）=0，分解因式得： （x2）（x23）=0，解得： x1=2，x2=5；（3）