信号与系统 第二章 lti系统

1、（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质,第2章 线性时不变系统,2.1 离散时间LTI系统: 卷积和,（1）用单位抽样信号表示离散时间信号,基信号,系数,单位抽样信号的筛选性质,假设此系统是线性的，并且定义 为 的响应：,由线性性质有：,（2）卷积和表示线性时不变系统的响应,即,现在我们假设系统为LTI系统，并且定义单位抽样响应为,由时不变性质：,线性时不变：,由卷积和的定义可知,即,序列xn与hn的卷积和定义为：,结论：离散LTI系统的输出yn是输入xn与系统单位抽样响应hn的卷积和。,

2、序列与n做卷积和，结果仍为序列本身。,卷积和的图解法计算步骤如下： 翻褶：先将x(n)和h(n)的变量置换为m，得到x(m)和h(m)，将h(m)以m=0的垂直轴为对称轴翻摺为h(-m)； 移位：将h(-m)沿m轴平移n得到h(n-m)，当n0时，右移n位，当n0时，左移|n|位； 相乘：对给定的某个n值，将h(n-m)和 x(m)相同m值的对应点相乘； 相加：再将以上所有对应点的乘积累加，就可以得到给定的某n值时的y(n)。,卷积和的运算在图形上可以分成四步：翻褶、移位、相乘、相加。,（3）卷积和的计算,以和 为例说明卷积 的图解方法。,y(0)=x(0)h(0)=31=3 y(1)=x(0

3、)h(1)+x(1)h(0) =31+ 21 =5 y(2)=x(0)h(2)+x(1)h(1)+x(2)h(0)=6 y(3)=x(0)h(3)+x(1)h(2)+x(2)h(1)+x(3)h(0)=6 y(4)=x(0)h(4)+x(1)h(3)+x(2)h(2)+ +x(3)h(1)+x(4)h(0)=3 y(5)=x(0)h(5)+x(1)h(4)+x(2)h(3)+ +x(3)h(2)+x(4)h(1)+x(5)h(0) =30+20+11 +01+01+01=1,;,（4）卷积和离散LTI系统的性质,（i） 一个离散LTI系统的特性完全取决于它的单位抽样信号响应 例1,很多系统有这

4、种对 的响应。,只有一个LTI 系统有如下对 的响应,例2,单位抽样响应,一个累加器 。,注意:,（ii）交换律:,例子： 线性时不变系统中的阶跃响应,(iii)分配律:,说明：公式左边对应上图表示的系统； 公式右边对应下图表示的并联系统。,(iv)结合律:,（交换律）,说明：（1）式右边对应上图表示的级联系统； （1）式左边对应中图表示的系统； （2）式右边对应下图表示的级联系统；,（1）,（2）,（v）线性时不变系统的因果性和稳定性,1）因果性 2)稳定性,证明1)：充分性 若nn，即系统在n时的输出y(n)与输入x(n)在nn时的值有关，也就是y(n)值与n以后的x(n)有关，所以该系统

5、不是因果系统，此与假设矛盾 可见要使y(n)与nn时的x(n)无关，则必须使,证明2)：充分性 若系统满足条件 且输入x(n)有界，对所有n。此时系统的输出为 两边取绝对值，得 即输出y(n)有界，故系统是稳定的。 必要性 利用反证法，已知系统稳定。假设 ， 可以找到一个有界的输入 则 即输出无界，因而假设不成立，所以 是稳定的必要条件。,初始松弛条件： 若nn时，xn=0，则nn时y(n)=0. 一个线性时不变系统的因果性等效于初始松弛条件成立。 事实上，由n0时， hn=0，有,这表明y(n)的值只取决于x(n)在nn时的值。于是，若nn，xn=0，则n n时 y(n)=0. 注：,2.2

6、 常系数线性差分方程Linear Constant-coefficient Difference Equations,离散线性时不变系统的输入输出关系常用常系数线性差分方程表示，即 或者 若系数中含有n，则称为“变系数”。 差分方程的阶数等于y(n)的变量序号的最高值与最低值之差，例如上式就是N阶差分方程。 线性是指各y(n-i)项和各x(n-i)项都只有一次幂而且不存在它们的相乘项，否则就是非线性。 差分方程不能由输入完全表征输出,还要有附加条件.,求解差分方程有如下几种方法：递推法、时域经典法、卷积法、变换域法等等 递推解法比较简单，适合计算机求解。时域经典法和微分方程的解法比较类似，比较

7、麻烦。卷积法必须知道系统的单位抽样响应h(n) ，这样利用卷积和就能得到任意输入时的输出响应。变换域法是利用Z变换的方法求解差分方程。 当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。 差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代的方法求系统的响应，当输入为（n）时，输出（响应）就是单位抽样响应h(n)。,例：常系数差分方程 （）初始条件为n0时，y(n)=0，求其单位抽样响应； （）初始条件为n0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。 解：（）设，且，必有 依次迭代 所以单位抽样响应为,（）设，由初始条件知，必有 将原式

8、该写为另一种递推关系 则 所以单位抽样响应为 由本例看出，差分方程相同，但是初始条件不同，得到的单位抽样响应不同，也就是对应着不同的系统,(1)由单位脉冲时移的表示连续时间信号; (2)连续时间LTI系统的卷积积分表示; (3)性质及举例。,2.3 连续时间LTI系统,(1) 连续时间信号表示,任何一个输入x(t)可用脉冲的伸缩平移的和来近似.,单位脉冲的筛选性质,(2) 一个连续时间LTI系统的响应,脉冲响应：,取极限,连续时间LTI系统的响应y(t)是输入 x(t)与系统的冲击响应 h(t)的卷积(积分).,卷积(积分)的运算参见.,(3) 性质及举例,1.交换性: x(t)*h(t) = h(t)*x(t) 筛选性质： 3.一个积分器： 因此如果输入 输出y(t)=h(t) 即 4.阶跃响应：,分配律,结合律,交换性质,因果性：连续时间LTI系统是因果的 稳定性：连续时间LTI系统是稳定的,2.4 常系数线性微分方程Linear Constant-coefficient Differential Equations,连续线性时不变系统的输入输出关系常用常系数线性微分方程表示，即 微分方程的阶数是指出现在方程中的y(