小学奥数之容斥原理(二)

1、容斥原理（二） 【例题分析】 例1.有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优 秀的有10人，第二次达到优秀的有 13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的 只有1人。只有两次达到优秀的有多少人？ 分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两 次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。 15人 4 三次 25人 10 13 15 25 1 211 （人） 答：只有两次达到优秀的有11人。 例2.在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要 了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和

2、汽水的有 3人，只要冰棍和雪碧的没有， 只要汽水和雪碧的有 1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？ 分析与解：根据题意画图。 冰汽 636 ?人 方法一：6 6 4 （3 1)(01)(11)110 (人) 方法二： 6 6 4 3 1 1 210 (人) 答：共有10个小朋友去了冷饮店。 例3.有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目, 参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。问：只参加跑和投掷两项的有多 少人？ 分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的, 我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。 跑

3、跳 0 0 丄Ji1 ？ 8 投 - T J 0 28 答: 17 83 （人） 只参加跑和投掷两项的有 3人。 例4. 某校六年级二班有 49人参加了数学、 英语、语文学习小组，其中数学有30人参加, 英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3 人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只 有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。 分析与解：根据已知条件画出图。 数英 30/ 质 20 1 /3 X质 语 10 49人 三圆盖住的总体为 49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参加语文又参加英 语的有y人，可以列

4、出这样的方程：30 20 10 x y 3 1 49 整理后得：x y 9 由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。 答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。 例5.某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人， 数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者 7人，语文、英语两科满分者 9人， 三科都没得满分者 3人。问这个班最多多少人？最少多少人？ 分析与解：根据题意画图。 语 数 20720 89 、 20 英 3 设三科都得满分者为 x 全班人数 20 20 20 7 8 9 x 3 整理后：全班人数=39 + x 39+

5、x表示全班人数，当 x取最大值时，全班人数就最多，当x取最小值时，全班人数 就最少。x是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x中的人数一定不超过两科得满 分的人数，即x 7, x 8且x 9,由此我们得到x 7。另一方面x最小可能是0,即 没有三科都得满分的。 当x取最大值7时，全班有（39 7 ）46人，当x取最小值0时，全班有（390 ） 39 人。 答：这个班最多有 46人，最少有39人。 【模拟试题】（答题时间：30分钟） 21 1.六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有的人订少年报，有一的 32 人订数学报，两种刊物都订的有多少人？ 2小明和小龙两家合住一套房子，门厅、

6、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家 登记表如下表（单位：平方米） 姓名 居室 门厅 厨房 厕所 总面积 小明 14 12 8 4 38 小龙 20 12 8 4 44 他们住的一套房子共有多少平方米? 3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、 跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人, 全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。 4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三 好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、 五

7、、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？ 【试题答案】 21 1.六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有一的人订少年报，有一的 32 人订数学报，两种刊物都订的有多少人？ 2 1k 96 969616（人） 3 2 2 1 或 96（1）16（人） 32 答：两种刊物都订的有 16人。 2小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家 登记表如下表（单位：平方米） 姓名 居室 门厅 厨房 厕所 总面积 小明 14 12 8 4 38 小龙 20 12 8 4 44 他们住的一套房子共有多少平方米? 38 44 12 8

8、4 58（ 平方米 ） 或 20 14 12 8 4 58（平方米 ） 答：这套房子共有 58 平方米。 3. 某班 45 名同学参加体育测试，其中百米得优者 20 人，跳远得优者 18人，又知百米、 跳远都得优者 7人，跳高、百米得优者 6人，跳高、跳远均得优者 8人，跳高得优者 22 人， 全班只有 1 名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。 45 1 44（ 人） 20 18 22 7 6 8 39（ 人） 44 39 5（人 ） 4. 某班四年级时， 五年级时和六年级时分别评出 10 名三好学生， 又知四、 五年级连续三 好生 4 人，五、六年级连续三好生 3 人，四年级、六年级两年评上三好生的有 5 人，四、 五、六三年没评过三好生的有 2