苏教版高中数学必修五知识讲解_不等关系与不等式_基础

1、精品文档用心整理不等关系与不等式：【学习目标】1了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系.2会用差值法比较两实数的大小；.3掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题【要点梳理】要点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意xr，则x0（x为正数）、x=0或x0,b0a+b0；a0,b0a+b0,b0ab0；a0,b0两个异号实数相乘，积是负数符号语言：a0,b0ab0ab；a-b0ab,a=b,ab，c=0ac=bcc0acbbb,bcac(3)可加性：aba+cb+c(cr)c0acbc运算性质有：(1)可加法则：ab,cda+cb+d.(2)可乘法则：ab0,cd0acbd0(3)可乘

2、方性：ab0,nn*anbn0(4)可开方性：ab0,nn+,n1nanb要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.要点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式a、b，可以作差a-b后比较a-b与0的关系，进一步比较a与b的大小。a-b0ab；a-b0a1ab；a1ab且bc，则ac（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.利用函数的单调性比较大小.若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小作差比较法的步骤：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理第三步：定号

3、，就是确定差是大于、等于还是小于0；最后下结论。要点诠释：“三步一结论”。这里“定号”是目的，“变形”是关键过程。【典型例题】类型一：用不等式表示不等关系例1.某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为18m2，可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。【解析】假设

4、装修大、小客房分别为x间，y间，根据题意，应由下列不等关系：（1）总费用不超过8000元（2）总面积不超过180m2；（3）大、小客房的房间数都为非负数且为正整数.即有：1000x+600y80005x+3y4018x+15y1806x+5y60即y0(yn*)x0(xn*)x0(xn*)y0(yn*)此即为所求满足题意的不等式组.【总结升华】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题。在解决实际问题时，要注意变量的取值范围举一反三：【变式】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单

5、价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？【答案】设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为(8-x-2.50.10.2)x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式(8-x-2.50.2)x200.1类型二：不等式性质的应用例2对于实数a,b,c判断以下命题的真假（）若ab,则acbc2，则ab;资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（）若ababb2;（）若ab|b|;（）若ab,11,则a0,b0ababab所以b-a，从而abbc2,所以c0,从而c20，故原命题为真命题。

6、aaba0ab2babb2，故原命题为真命题（）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题aba-b0（）因为11，所以11-0b-a0又因ab，所以a0,b0，故原命题为真命题.【总结升华】不等式的性质应用要注意使用的条件，正确变形举一反三：【不等关系与不等式387156题型二不等式的性质】【变式1】若a0ba，cd0，则下列命题：(1)adbc；(2)ab+和均不成立的个数是()a1b2c3d4【答案】c；【变式2】若ab和均不成立b.1111a-ba|a|b|资料来源于网络仅供免费交流使用c.1和(a+)2(b+)2均不成立精品文档用心整理111a-baba和(a+)2(b+)2均不

7、成立d.1111|a|b|ba【答案】b；【解析】特殊值法：abcdabcdcbcdabdv0)，s2us+=u+vu-vu2-v22su2-v2=平均速度u=，tuu-u=u2-v2v2-u=-0，uuuu因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度。资料来源于网络仅供免费交流使用则t1a+1b=s,t=22a+b22a2b2ab=-b0时，logalogb.1122【答案】(1)；（2）；（3）；（4）【变式2】比较下列两代数式的大小：（1）(x+5)(x+9)与(x+7)2；（2）2a2+2b2-2ab与2a+2b-3.【答案】（1）(x+

8、5)(x+9)0，2a2+2b2-2ab2a+2b-3.【变式3】（2015西城一模）已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（）。a.2枝玫瑰的价格高b.3枝康乃馨的价格高c.价格相同d.不确定【答案】设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别x,y元，6x+3y242x+y8由题意得：,化为,4x+4y-5设2x-3y=m(2x+y)+n(-x-y)=(2m-n)x+(m-n)y,令2m-n=2m-n=-3,解得m=5,n=8.例5.已知ab(ab0),试比较1所以2x-3y=5(2x+y)+8(-x-y)5

9、8-85=0因此2x3y.所以2枝玫瑰的价格高。故选a.1和的大小。ab【解析】11b-a-=，ababab即b-a0时精品文档用心整理b-a110，；ababb-a11当ab0，.abab【总结升华】变形一步最为关键，直至变形到能判断符号为止；另需注意字母的符号，必要时需要分类讨论举一反三：+与a+b的大小【变式】已知a0,b0且ab，比较a2b2ba【答案】（+）-(a+b)a2b2baa3+b3=-(a+b)aba2-2ab+b2=(a+b)()ab(a+b)(a-b)2=0aba2b2+a+b.ba类型四：作商比较大小例6已知：a、br+,且ab,比较aabb与abba的大小.【思路点

10、拨】本题是两指数式比较大小，如果设想作差法，很明显很难判断符号，由指数式是正项可以联想到作商法.【解析】a、br+，aabb0，abba0作商：aabbabaaa=()a()b=()a()-b=()a-babbababbb（*）(1)若ab0,则aa1，a-b0,()a-b1,此时aabbabba成立；bbaa(2)若ba0,则01,a-b1,此时aabbabba成立。bb综上，aabbabba总成立。【总结升华】资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理1、作商比较法的基本步骤是:判定式子的符号并作商变形判定商式大于1或等于1或小于1结论。2、正数的幂的乘积形式的大小比较一般用作商比较法.举一反三：【变式】已知a、b、c为互不相等的正数，求证：a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.【答案】a、b、c为不等正数，不失一般性，设abc0,这时a2ab2bc2c0，ab+cbc+aca+b0，则有：a2ab2bc2cabc=a(a-b)+(a-c)