完整版)大学物理授课教案第十二章机械振动

1、第十二章 机械振动沈阳工业大学 郭连权（教授）第四篇 振动与波动第十二章 机械振动12-1 简谐振动1、弹簧振子运动如图所取坐标，原点 O在 m平衡位置。现将 m略向右移到 A，然后放开，此时，由图 12-1于弹簧伸长而出现指向平衡位置的弹性力。在弹性 力作用下，物体向左运动，当通过位置 O时，作用 在 m 上弹性力等于 0 ，但是由于惯性作用， m 将继续向 O左边运动，使弹簧压缩。此时，由于弹簧被压缩， 而出现了指向平衡位置的弹性力并将阻止物体向左 运动，使 m速率减小，直至物体静止于 B（瞬时静 止），之后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。 这样在弹性力作用下物体左右往复运动，即作机

2、械振动。2、简谐振动运动方程由上分析知， m位移为 x（相对平衡点 O）时，它受到弹性力为（胡克定律） ： F kx （12-1）式中： 当x 0即位移沿 +x时，F沿-x ，即F 0当x 0即位移沿-x 时，F沿+x，即F 0k 为弹簧的倔强系数，“”号表示力 F 与位移 x（相对 O点）反向定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。由定义知，弹簧振子做谐振动。由牛顿第二定律知， m 加速度为F kx am m（m 为物体质量）d2xd2x ka 2 2 x 0dt 2 dt2 mk2k、 可有：m 均大于 0，可令m第十二章 机械振动沈阳工业大学 郭连权（教授）3、位相d2xdt2

3、2x 0(12-2)式 (12-2) 是谐振动物体的微分方程。它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为或x Asin tx Acos t(12-3)(12-4)式(12-3)(12-4) 是简谐振动的运动方程。因此，我们也可以说位移是时间 t 的正弦或余 弦函数的运动是简谐运动。本书中用余弦形式表示谐振动方程。3、谐振动的速度和加速度xt物体位移： x Acos tdxV 速度：加速度：dtd2xa2dt2Asin t2Acos t2x可知：(12-5)(12-6)Vt、a t 曲线如下Aa 2 A max图 12-2图 12-3说明：（1） F（2）akx是谐振动的动力学特征；22

4、x是谐振动的运动学特征；3）做谐振动的物体通常称为谐振子12-2 谐振动的振幅 角频率 位相上节我们得出了谐振动的运动方程 x Acos t ，现在来说明式中各量意义1、振幅做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅，记做 A。 A反映了振动 的强弱。2、角频率（圆频率）为了定义角频率。首先定义周期和频率。物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率，用11vTT 或 vx Acos t Acos t TT 表示； v 表示。由上可知： T 为周期， 从 t时刻经过周期为 2 ）1个周期时，物体又首次回到原来t 时刻状态， T 2 （余弦函

5、数可见： 表示在 22 2 v T秒内物体所做的完全振动次数，mk2 mk1k 2mm、 k 都是一定的，所以 T 、 v完全由弹簧振子本身的性质因此，这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。称为角频率（圆频率）2对于给定的弹簧振子， 所决定，与其它因素无关。在力学中，物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定，振动中，当A、给定后，物体的位置和速度取决于 t，t由上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量称为位相(或周相、相位) 是t 0 时的位相，称为初相4、A 、 的确定对于给定的系统，已知，初始条件给定后可求出 A 、初始条件： t 0 时x x0 由 x 、v 表达式有v v0x

6、0Acosv0Asin 即x0Acosv0Asintg 0 即x012-6)12-7)值所在象限：1)x00，v00：在第象限2)x00，v00：在第象限3)x00，v00：在第象限4)x00，v00：在第象限图 12-45、两个谐振动物体在同一时刻位相差设物体 1 和 2 的谐振动方程为x1 A1 cos 1t 1x2 A2 cos 2t 2任意 t时刻二者位相差为212t 21t 10 ：2的位相比 1 超前0：2、1 同位相0 ：2 的位相比 1 落后第十二章 机械振动沈阳工业大学 郭连权（教授）图 12-6例 12-1 ：如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上，已知 k 1.60N /m，

7、m 0.40kg ，试 求下列情况下 m 的振动方程。（1）将 m 从平衡位置向右移到 x（2）将 m 从平衡位置向右移到 x解：（1） m 的运动方程为t k0.10m处由静止释放；0.10m处并给以 m 向左的速率为 0.20m/s。x Acos由题意知：初始条件：t 0 时，1.602/s0.40x0 0.10m ，v0 0A 可得：2x02v0220.102 00.10m图 12-5v0arctg 0arctgx0 x0 0 ， v0x 0.10 cos 2t m0，2） 初始条件： t x02 v022arctgv0x0x00 时，0.102arctg0，0， v00.1 2cos

8、2tx0 0.10m ，20.20 2220.202 0.10v00.20m/ s0.1 2marctg 1m4对于给定的系统，如果初始条件不同，则振幅和初相就有相应的改变。可见：例 12-2 ：如图所示，一根不可以伸长的细绳上端固定，下端系一小球，使小球稍偏离平 衡位置释放，小球即在铅直面内平衡位置附近做振动，这一系统称为单摆。（1） 证明：当摆角 很小时小球做谐振动；（2） 求小球振动周期。证：（1）设摆长为 l ，小球质量为 m ，某时刻小球悬线与铅 直线夹角为 ，选悬线在平衡位置右侧时，角位移 为正，由 转动定律：MJmgsin lml 2d2dt2第十二章 机械振动沈阳工业大学 郭连

9、权（教授）d2dt2gsin0l 很小。 d2 dt2 这是谐振动的微分方程 小球在做谐振动 （2）sin与 正比反向）T22gl注意做谐振动时条件，即很小）12-3 表示谐振动的旋转矢量方法在中学中，为了更直观更方便地研究三角函数，引进了单位圆的图示法，同样，在此为了更直观更方便地研究简谐振动，来引进旋转矢量的图示法。一、旋转矢量自 ox 轴的原点 o 作一矢量 A ，其模为简谐振动的振幅 A ，并使 A 在图面内绕 o 点逆时针转动，角速度大小为谐振动角频率 ，矢量 A 称为旋转矢量。二、简谐振动的旋转矢量表示法 图 12-7（1）旋转矢量 A的矢端 M在 x 轴上投影坐标可表示为 x 轴

10、上的谐振动，振幅为 A（2）旋转矢量 A 以角速度 旋转一周，相当于谐振动物体在 x 轴上作一次完全振 动，即旋转矢量旋转一周，所用时间与谐振动的周期相同。（ 3）t 0 时刻，旋转矢量与 x 轴夹角 为谐振动的初相， t 时刻旋转矢量与 x 轴夹 角 t 为 t 时刻谐振动的位相。说明：（1）旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简便方法。（2）必须注意， 旋转矢量本身并不在作谐振动， 而是它矢端在 x 轴上的投影 点在 x 轴上做谐振动。旋转矢量与谐振动 x t 曲线的对应关系（设0）第十二章 机械振动沈阳工业大学 郭连权（教授）图 12-93图 12-8三、旋转矢量法应用举例例 12-3 ：一

11、物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为 0.12m ，周期为 2s。t 0 时，位移为 0.06m ，且向 x 轴正向运动（1）求物体振动方程；0.06m 处，试求物体从 t1时刻运动到平衡（2）设 t1时刻为物体第一次运动到 位置所用最短时间。 解：（1）设物体谐振动方程为x Acos t由题意知 A 0.12m22T方法一用数学公式求x0 Acos A 0.12m , x012Asin0.06mcosv00.12 costm3方法二用旋转矢量法求根据题意，有如左图所示结果x 0.12 cos t第十二章 机械振动沈阳工业大学 郭连权（教授）2t1133或v1A sin t1此时2t13300.2

12、cos t2有：33t232或2( t2 2v2Asin t2033t232t211s6115t t2t11s66方法二用旋转矢量法求 t由题意知，有左图所示结果， M1 为t1时刻 A末端位置， M2 为 t2 时刻 A 末端位置。从23)t2 t1M1OM253265t t2 t1655s66显然方法二简单。t1 t2 内 A转角为例 12-4 ：图为某质点做谐振动的图 12-10x t 曲线。求振动方程。由图知：A 10cm2 2 1 sT2解： 设质点的振动方程为 x Acos t由上可见，方法二简单2）方法一用数学式子求 tt10.06 0.12 cos t1由题意有： 3 （ t1

13、4303t1 1s设t2 时刻物体从 t1时刻运动后首次到达平衡位置，32 （或 2 ）用旋转矢量法（见上页图）可知，x 10cos t cm2图 12-12例 12-5 ：弹簧振子在光滑的水平面上做谐振动， A为振幅， t 0 时刻情况如图所示。 O 为原点。试求各种情况下初相。12-4 谐振动的能量对于弹簧振子，系统的能量 E = Ek （物体动能） + Ep （弹簧势能）已知：物体位移 x 物体速度 v E Ek E pAcos tAsin t1 2 1 2 mv kx221m Asin22A2 sin21k Acos21 2 2kA cos2(m 2 k)1 2 2kA2 sin2 t

14、21kA22cosE 1kA2 1m 2A222说明：（1）虽然 Ek 、 E p均随时间变化，但总能量 E Ek E p且为常数。原因是系 统只有保守力作功，机械能要守恒。（2） Ek与Ep互相转化。当 x 0时，Ep 0，Ek Ekmax E。在 x A处， Ek 0 Ep Epmax E，。Ek 1Ep例 12-6 ：一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动，振幅为 A 。试求 k 2 p的位置。11-8)解：设弹簧的倔强系数为 k ，系统总能量为Ek1Ep在k2 时，有3312EkEp Epkxp 2 p22EEk Ep1kA223kx21kA242x3A例 12-7 ：如图所示系统，弹簧

15、的倔强系数 m1与 m2间最大静摩擦系数为 衡位置，然后任其自由振动，使k 25N / m ，物块 m1 0.6kg ，物块 m2 0.4kg，0.5，m1 与地面间是光滑的。 现将物块拉离平m2 在振动中不致从 m1上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。 解：系统的总能量为E 1kA22E E 1kA2k max E 0k max 2 （此时 Ep 0） m2 不致从 m1 上滑落时，须有m2am2g图 12-13极限情况 amaxggm1 m2A2gk2Ek max1k gm1 m22k129.82 0.520.60.4 2225A21m1210.48Jm2222gk12-5 同方向

16、同频率两谐振动合成一个物体可以同时参与两个或两个以上的振动。如：在有弹簧支撑的车厢中，人坐 在车厢的弹簧垫子上，当车厢振动时，人便参与两个振动，一个为人对车厢的振动，另 一个为车厢对地的振动。又如：两个声源发出的声波同时传播到空气中某点时，由于每 一声波都在该点引起一个振动，所以该质点同时参与两个振动。在此，我们考虑一质点 同时参与两个在同一直线的同频率的振动。取振动所在直线为 x 轴，平衡位置为原点。振动方程为x1 A1 cos t 1x2 A2 cos t 2A1、 A2分别表示第一个振动和第二个振动的振幅；1、 2分别表示第一个振动和第二个振动的初相是两振动的角频率。由于 x1、 x2表

17、示同一直线上距同一平衡位置的位移，所以合成振动的位移 x 在同一直线上，而且等于上述两分振动位移的代数和，即xx1x2为简单起见，用旋转矢量法求分振动图 12-15如图所示， t 0时，两振动对应的旋转矢量为 A1 、A2 ，合矢量为 A A1 A2。 A1、 A2以相同角速度 转动，转动过程中 A1与 A2间夹角不变，可知 A大小不变，并且 A也第十二章 机械振动沈阳工业大学 郭连权（教授）以 转动。任意时刻 t， A矢端在 x 轴上的投影为：x x1 x2A为合振动振幅，为合振动初相因此，合矢量 A 即为合振动对应的旋转矢量， 合振动方程为：x Acos t仍为谐振动）312-9）12-10）解：（1） A2 ?22A2A1 A 2 A1 Acos60.1m222（ 2 ） AA1 A20.22 2 3 10 1 0.2cos6由图中三角形 OM 1M 2 知：A A1 A2 2A1A2 cos 2 1由图中三角形 OMP 知：tgA1 sin 1A2 sin 2PMA1 cos 1A2 cos 2OP讨论：（1） 21 2k （k 0, 1, 2,） 时（称为位相相同）A A1A2（2） 21 2k 1 （k 0, 1,2, ） 时（