完整版)概率论与数理统计练习题

1、概率论与数理统计练习题一、填空题1、设 A、B为随机事件，且 P(A)=0.5 ，P(B)=0.6 ，P(B A)=0.8 ，则 P(A+B)=_ 0.7 _ 2、?1, ?2是常数 的两个 无偏 估计量，若D( ?1) D ( ?2) ，则称 ?1比 ?2有效。3、设A、B为随机事件，且 P( A)=0.4, P( B)=0.3, P(AB)=0.6 ，则 P( AB )=_0.3_4. 设随机变量 X服从0,2 上的均匀分布， Y=2X+1，则 D(Y)= 4/35. 设随机变量 X 的概率密度是：f (x)3x2 0 x 1，且 P X0 其他0 .784 ，则 =0.6 。6. 已知随

2、机向量(X，Y)的联合密度函数 f (x,y)xy20,0 x 2, 0 其他y 1 ，则 E(Y)= 3/47. 若随机变量 X N (1，4)，Y N (2 ，9)，且X与Y相互独立。设 ZXY3，则Z N(2, 13) 。8. 设 A，B为随机事件，且 P(A)=0.7 ，P(AB)=0.3，则 P(A B) 0.6 。9. 设随机变量 X N (1, 4) ，已知 (0.5)=0.6915 ，(1.5)=0.9332 ，则 P X 2 0.6247 。10. 随机变量 X的概率密度函数 f(x)1x2 2x 1e则 E(X)=xy, 0 x 2,0 y 1，则 E(X)= 4/3 。0

3、, 其他11. 已知随机向量( X，Y)的联合密度函数 f (x, y)P(AB)= P( AB ), 则 P(B)= 0.412. 设 A，B 为随机事件，且 P(A)=0.6,x2 4x 4 113. 设随机变量 X N( , 2 ) ，其密度函数 f (x) e 6 ，则 = 214. 设随机变量 X的数学期望 EX和方差DX0都存在，令 Y (X EX)/ DX ，则 DY= 1 。15. 随机变量 X与Y相互独立，且 D( X)=4 ，D( Y)=2 ，则 D(3X 2Y ) 44。11116. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为1,1,1 ，则目标能被击54

4、3 中的概率是 3/5 。17. 设随机变量 X N (2， 2 )，且P2 X 4 0.3 ，则 PX 0 0.2 。18. 设随机变量 X 的概率分布为 P(X 1) 0.2,P(X 2) 0.3,P(X 3) 0.5，则 X 的期望 EX=2.319. 设(X, Y) 的联合概率分布列为10421/91/32/911/18ab若 X、Y相互独立，则 a = 1/6 ，b = 1/9 。20. 设随机变量 X服从1 ，5上的均匀分布，则 P 2 X 4 1/2 。21. 设随机变量 XN(1 ，4) ，则P X 2 0.3753 。(已知 (0.5)=0.6915 ， (1.5)=0.93

5、32 )22. 若随机变量 XN (0 ，4)，YN (1，5)，且 X与Y相互独立。设 ZXY3，则 Z N( 4， 9) 。23. 设随机变量 X服从参数为 的泊松分布，且 3P X 2 P X 4 ，则 = 6 。24.25.26. 某人投篮，每次命中率为 0.7 ，现独立投篮 5 次，恰好命中 4次的概率是 C54 0.74 0.3127. 设随机变量 X的密度函数 f(x)121 e2(x 2)22P X c ，则 c = -228. 随机变量 X N( ,4)，则 Y X N(0,1) 229. 设随机变量 XN (2 ，9)，且 P Xa = P X a ，则a 230. 称统计

6、量 ?为参数 的无偏估计量，如果 E( )= 二、选择题1设随机事件 A与 B互不相容，且 P(A) P(B) 0，则( D )。.P(AB) 1A )。. P(A) 1 P(B) B. P(AB) P(A)P(B) . P(A B) 1 2将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为(A. 2242B.C21C42C.2!P42D.2!4!3设随机变量X f (x) ，满足 f(x)f ( x) ，F(x) 是 x的分布函数，则对任意实数 a 有()。A.F( a) 1a0 f (x)dxB.F( a)a0 f (x)dxC. F( a) F(a)D.F( a) 2F(a)

7、14设 A， B为随机事件，P(B)0，P(A|B) 1，则必有( A)。A.P(A B) P(A) B.B C. P(A) P(B) D.P(AB)P(A)注：答案应该为 A, 因 B 不严谨，A和 B可以相等。5设 X1, X 2是来自总体 X 的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是)。A. ) 1 X1 1 X222) 1 2B. ) X1X2 C.334X14X2D.) 2 X1 3X251526、已知 A、B、C 为三个随机事件，则 A、B、C不都发生的事件为A)。A.ABCB. ABCC.A+B+CD.ABC7( X , Y)是二维随机向量，与 Cov(X,Y)0不等价的是(A.

8、E(XY) E(X)E(Y) B. D(X Y)D(X)D(Y) C.D(XY)D(X) D(Y)D.8A.9A.和Y 相互独立设总体 X N( ,22)，其中 未知， X1, X2,方差为 s2 ， 则下列各式中不是统计量的是(2XB.C. X, Xn 为来自总体的样本，样本均值为X，样本D.(n 1)s22若随机事件 A与 B相互独立，则P(A) P(B) B. P(A) P(B)P(A B) P(A)P(B)10若 A与 B对立事件，则下列错误的为( AA. P(AB) P(A)P(B) B. P(A B) 1 C.C.)。P(A)P(B) D.P(A) P(B)P(A B) P(A)P

9、(B) D. P(AB) 011设随机事件 A、B 互不相容， P(A) p, P(B)q，则 P(AB) (C )。A. (1 p)qB.pqC. qD. p12设 x1x,2 , , xn 是一组样本观测值，则其标准差是(B )。1 n 2A. n11 i 1(xi x)2B.n11 n (xin 1 i 1x)2C. 1(xini12x)D.2x21n(xix)ni113设随机变量 X N（，9），Y N（ ，25） ，记 p1PX3, p2 Y 5 ，则( B )。B. A1, A2, A3 两两独立D. A1, A2, A3 相互独立)A) E(X) 2B) D(X) 3C) D(X

10、) 9D）以上都不是A. p1p2 D.p1 与 p2 的关系无法确定14若事件 A1,A2, A3两两独立，则下列结论成立的是（ B ）。A. A1, A2, A3相互独立C. P(A1 A2 A3) P(A1)P(A2)P(A3) 15设随机变量 X N(4,9)，则(三、计算题F(x) A Be0,x0其它1已知连续型随机变量 X 的概率密度为f(x)a x,0x其它10,求（1）a；（2）X的分布函数 F （x）；（3）P （ X 0.25） 。解： （1）f (x)dx1axdx 2a 1 3a 3/ 22）当x0时，F(x)xf (t)dt 0当0x 1时，F(x)f (t)dt

11、0 2 P （X1/4）=1 F（1/4）=7/8 2已知连续型随机变量 X 的分布函数为 tdt x3/2当x1时，F(x)xf (t)dt 10,x0故 F(x) x3/2 ,0 x 11, x 1求(1)A，B； (2)密度函数 f (x)；(3)P (1 X2 )(1) lim F(x) xA1解：limF(x)AB0x0B12)x2/2f (x)F(x)xex00,x 0(3) P (1X2)=F(2)F(1)= e 1/2 e 23设随机向量( X， Y)联合密度为f(x, y)=Ae (2x3y)x 0,y 0;0,其它.1) 求系数 A；2) 判断 X，Y 是否独立，并说明理由

12、；3) 求 P 0 X2，0Y1 。解 ： ( 1 ) 由 1 f (x,y)dxdyAe (2x 3 y) dxdyA e 2xdx e 3ydy00A( 1e 2x )(201e 3y3可得 A 6。2)因( X，Y)关于 X和 Y的边缘概率密度分别为fX (x) 2e2x0,x 0; 其它.f Y (y) 3e0,3yy 0;其它.(2x220)(3y 1 )0(1 e 4)(1 e 3).212e 2xdx 3e 3ydy004某车间生产滚珠， 其直径 X N (, 0.05) ，从某天的产品里随机抽出 9 个量得直径如下 (单位：毫米 )：14.6 15.1 14.9 14.8 15

13、.2 15.1 14.8 15.0 14.7则对于任意的 (x,y) R2, 均成立 f (x, y)= f X (x)* f Y (y)，所以 X与 Y独立213)P 0 X2，0Y1 6e (2x 3 y) dxdy00若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径(已知： t0.05(9)=2.262, t0.05 (8)=2.306, Z 0.025 = 1.960 )的置信度为 0.95 的置信区间解：由于滚珠的直径 X服从正态分布 , 所以 Ux/n N(0,1)P|U | u0.025 0.95所以的置信区间为：(x u0.025,xu0.025n)9经计算 x 91 xi 14.

14、911i1的置信度为 0.95 的置信区间为即(14.765 ，15.057)(14.911 1.96 03.05 ,14.911 1.96 03.05 )5工厂生产一种零件 ,其口径 X(单位:毫米)服从正态分布 N( , 2) ,现从某日生产的零件中随机 抽出 9 个,分别测得其口径如下 :14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.7已知零件口径 X 的标准差0.15，求 的置信度为 0.95 的置信区间(已知： t0.05(9)=2.262, t0.05 (8)=2.306, U 0.025 1.960 )解：由于零件的口径服从正态分布 , 所

15、以Ux/n N (0,1)P|U | u0.025 0.95所以的置信区间为：(x u0.025,x9经计算 x 19 xi 14.9i1即(14.802 ,14.998)的置信度为 0.95 的置信区间为 (14.9 1.96 0.315 ,14.9 1.96 0.315)6设总体 X服从参数为 1 的指数分布， x1,x2,x3,K , xn是一组样本值，求参数 的最大似然估计解：1 n 1 nn 11xi11i 1xi1 1 nL e e i 1 ln L nlnxii 1 i1 idln L dn 1 n2i 1xi07已知 P(A) 1/4,P(B|A) 1/3,P(A|B) 1/2

16、，求 P(AUB)。已知P(A) 1/ 4,P(B|A) 1/3,P(A|B) 1/2，求 P(AUB)。解：P(B|A) 1/3 PP(AAB) 13 P(AB) 31P(A) 13 14 112P(A|B)1/ 2P(AB)P(B)11 1P(B) 2P(AB) 2212 6P(AU B)P(A)P(B)P(AB)11- 1 146-12 38设总体 X 的概率分布为X0123P22 (1 )212其中 (0 1/ 2)是未知参数，利用总体 X 的如下样本值： 3,1, 3, 0, 2, 3 ，求 的 矩估计值和极大似然估计值 .1) EX 0 2 1 2 (1 ) 2 2 3 (1 2 ) 3 4 ,令 EX X , 可得 的矩估计量为 ? 1(3 X),4根据给定的样本观察值计算 x因此 的矩估计值11(3 1 3 0 2 3) 2 61；4；4分2)对于给定的样本值 似 然 函 数 为 L( )2 5(1 2 )3(1)ln L( ) ln 2 5ln3ln(1) ln(1 )令 dln L( ) 5 6 令 d 1 2218 2 22 5 02 )(1 ) 0(1可得 的极大似然 估计值11 3118111831 12 不合