7-1二重积分概念及性质.

1、、二重积分的概念例 1 求由y = .f(x)( ()且连续).z=O,|x =1, y =1所围成的立体图形的体积y0X9柱体体积=低面积X高例2设有界闭区域P内有一张平面薄片（不计厚度）面密度为/（“）（连续），求其质量Hm = lim 工/（徐 7 ）久TU定义设/（匕刃是定义在区域D上的二元函数V分割: Act- i=l,- -zi0取点：（釘上Ao;m h（3）作和ZIAa,lf=l J=1J求极限L/7,）Act. （J = max J.）d-0 y=|ylJ若此极限存在，则称之为/（X*）在D上的二重积分 “上（常数）记为f（x.y）dcr直角坐标系下，记做f（x,y）dxdyJ

2、积分和 面积元素 被积表达式积分变量被积函数当/(x,j)在闭区域上连续或分片连续时,定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.在直角坐标系下用平行 于坐标轴的直线网来划分 区域D,贝ij面积元素为dcr = dxdy故二重积分可写为JJ f(x,y)da =Jj f(x,y)dxdy DD二重积分的几何意义：设/(X)在D上连续/(兀)JJ f(x9y)dcr=VZ = f(x9y)设b为D的面积，= bDD二重积分的几何意义： 设/(X)在D上连续/(兀)n o JJ/gy)b= vD(2)/(x,j)0/ (x,y)da=VDZ =-/(x,y)此时D(3)般情况：=-D即曲面与心面之间

3、上下方体积之差,Vz = /(x,j)z = f(x,y)二、二重积分的性质前提:设下列函数在D上可积 性质若门兀）=1, DI*J而积为6,则JJ Jcr = crftD性质2 (线性性质gRJJ lotf (x,j) +0g(x,y)bD=ajjf(x9y)da +y?jjg(x, jWcrnn性质3对区域具有可加性（0 = 0+。2）J“(2)b= JJ/gyMb + JJ/gyMcrDDjD2性质 4 若在D上 f(x9y) p(x9y)则有/(“Mb jjp(x9y)dcrDD推论1)若在D上(/U,j)O)则有 Jf f (x, jk/cr0)DD（3）设r（JC,y）在D上的最值

4、为M. mm f（x9y） M则 ma. MaD（二重积分估值不等式）性质5 （二重积分中值定理）设/（jc）在）上连续 至少m点（：初丘。使得JJ/gyWb =D证 m JJ/（x,j）Jcr Af=C由二元连续函数介值定理知，至少日一点（：）e D,使得/(7)=WbZ = f (* V )中值定理的几何意义：曲顶柱体的体积可以用平顶柱体的体积代替例 估值/ = jpfdb2 2 D :+ 真a (0ba)a Zr解 mcrS JJ/(x,jW7 VMbDOVx+b “2m = l=e( ex2+y2ea2=Ma=abnab7r |JeA +v dcr 0) Y|x| 讪 Ml解 0|)2 1ln(x2 + j2) 0当 x 4- j 0 =jjf(x9y)da0S 庄茁=_n(x + yKxwJJrD3”、J/D:xlv19yl