§双曲线几何性质.

1、双曲线的几何性质 一课题：双曲线的几何性质 二教学目标：1 能熟记双曲线的离心率、明确e的几何意义； 2 知道双曲线的另一定义和准线的概念，能正确写出双曲线的准线方程. 三. 教学重、难点：双曲线的离心率和双曲线的第二定义 四. 教学过程： （一）复习：双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线 （二）新课讲解： 1.离心率： 1）概念：双曲线焦距与实轴长之比 2 ）定义式：e a 3）范围：e 1 122 4） 考察双曲线形状与 e的关系： k - e2 1 , a a 因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔. 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口

2、就越阔 2 .双曲线的第二定义： a2c 例1.点M（x, y）与定点F（c,O）的距离与到|：x的距离之比为常数（c a 0）, ca 求M的轨迹方程 解：设d是点M到直线I的距离，根据题意，所求点轨迹是集合 化简得: 设c2 MF d 2 2 2 (c a )x a2 b2，就可化为: 由此得: 2 2 (c 这是双曲线的标准方程，所以点 说明：此例题要求学生进 、(x c)2 y2 ia2 | |x | c a2). 2 y_ b2 M的轨迹是实轴长、 1 (a 0,b 0) 虚轴长分别为2a,2b的双曲线 步熟悉并熟练掌握求解曲线轨迹方程的一般步骤 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到

3、定直线I的距离之比为常数 c（c a 0）的点的轨迹 a 是双曲线 说明： 1 ）其中定点-焦点，定直线-准线. x 对于二 a 1来说，相对于左焦点 F, c,0）对应着左准线h：x 对于 2 y 2 a 2）位置关系: 相对于右焦点f2（c,o）对应着右准线12: x 1来说, 3）焦点到相应准线的距离: 2 练习：已知双曲线J 64 2 x 36 3 .例题分析: a2 相对于下焦点F1（0, c）对应着下准线11 相对于上焦点F2（o,c）对应着上准线i2：y b2 1上一点到其右焦点距离为 8,求其到左准线的距离。 96 （答案：却） 5 例2.双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一

4、条准线方程为 x -，求双曲线的方程. 2 解：设双曲线的方程为 2 2 7 古 1（a 0，b 0）， 由题意得 - 2 64 2 x 解得a 2,c8 4 60 2 双曲线的方程为二 1. 460 例3.双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上, 曲线的方程 两准线间的距离为 4,且经过 A（2、.63）,求双 解：若焦点在x轴上, 则双曲线的方程设为 2 x 2 a 0,b 0）， 由已知, 24 a 2a2 2c， c 24 代入一2 a 11 , a2 6,b2 3或 a2 b2 2c， _9 b2 22,b2 99, 1，整理得 c2 14c 330 双曲线的方程为 -y 1或1. 63

5、22 99 1(a 0,b 0), 2 2 若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为爲 9 由已知，得弓 a 24 b2 1 2 / a 数解(Q0)。 2 2 2 双曲线的方程为 X y 1或 6 3 22 a2 b2 2 2 2 0，此方程无实 2c, b c 2c 代入得 2c 13c 66 2 土 1. 99 说明：当双曲线的焦点位置不定时，必须进行分类讨论 1求符合下列条件的双曲线的标准方程: (1 )离心率为 3，准线方程为X 3 x2 6;(答案： 48 (2)双曲线的一条渐近线经过点P(1,2),两准线间距离为 2 y_ 16 4、5 5 2 X (答案：一 4 2 y 2 1或y 16 4X2 1) 五.课堂小结: 方程 2 2 x y 21 (a 0,b0) a b 2 2 y x 21 ( a 0,b0) a b 图象 厶 7 / 、 a,b,c关系 a2b2c2 范围 |x| a, y R | y| a, x R 顶点 (a,0) (0, a) 对称性 关于x, y轴成轴对称、关于原点成中心对称 渐近线 b y x a a yb 离心率 c e a (1) 焦占 八、八、 F( c,0) F(0, c) 准线 2 a x c a2 y c 六.作业：课本 p14习题8.4 第3题 补充： 2 2已知双曲