换元积分法与分部积分法

1、& 2换元积分法与分部积分法(4时)【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法。【教学重点】换元积分法和分步积分法。【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法。【教学过程】-换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法.定理& 4(换元积分法)设g()在a,0上有定义，=仅切在o,b上可 导，且 a (p(x)(x) Q9xg a,b则上述命题可逆，即当/(x)在a,b上存在 原函数F(x)时，g(“)在a,0上也存在原函数G(m),且G(w) = F(_1() + C , 即f g()du = j g(於)0(如=j fx)dx .=F(x) + C = F( 0)解 令x = 6?sui

2、r, |r|0).解令*品，。(同理可考虑的情况)，于是有asecf tanf . r .at = sectdtatantJ=ln|secr 4- tanr| + C. 借助辅助直角三角形，便于求出secf = , 3心厶一,故得=hix + y/x2 -a2 + Cr+ C例9 求Je7 s)解令x = aiant, |r| y ,于是有r dx r a sec21 ,1 r p = f 力=cos- tdt (x- +a)a sec r a J=J (1 + c os2t)dt=(t + sin t cost) + C laaictanXax 、ax2 + a2 )+ C.图8-3有些不定

3、积分还可采用两种换元方法来计算.例10求J , LXylx2 -1解解法一采用第一换元积分法:dx-1r_r J x rr=J侍如応+CaX解法二采用第二换元积分法(令X = secr)：seertanf sec2 t iant=sill f + C = x 1 + C.x二分部积分法由乘积求导法，可以导出分部积分法.定理& 5 (分部积分法)若2心)与临)可导，不定积分卜“(球/兀存在，则 也存在，并有Ju(xyx)dx = w(x) v(x)- uf(xy(x)dx证由(X)V(X) = Wr(x)v(x)4- M(X)1/(X) 或= k(x)v(x)( - wf(x(x),对上式两边求

4、不定积分，就得到(3)式.公式(3)称为分部积分公式，常简写作Judv = uv-vdu (4) 例 11 求 jxcosxt/x.解 令u = x , vr = cosx ,则有 = l,v = sinx.由公式（3）求得JxcosxtZr = xsiiix-jsindr=xsinx+cosx + C例 12 求 j arctaiuz/x.解令u = arctanv , v = 1,则/ = , v = x,由公式（3）求得l + Xj aictanxt/x. = xarctaiu- - j n dx=xarctaiix _）+ C例 13 求 j x3 lii xdx.解 令u = nx,

5、vr = x由公式(4)则有j x3 lii xdx =4皿旧有时需要接连使用几次分部积分才能求得结果；有些还会出现与原不定积分同类 的项，需经移项合并后方能完成求解.现分别示例如下例 14 求 x2exdx.解 J x2exdx = j x2d(rex)= -x2ex + 2j xexdx = -x2ex +2xde-x) = -x2ex -2xex 2 exdx =-ev(x2 + 2x + 2)+ C.例15求 A = j x cosbxdx 和/)= J 严 sin bxdx.人=丄 Jcosbxd(严)=(严 cosbx + bj严 sillbxdx) =(eax cosbx + bl2),I2 =丄 j*sinbxd)=(eax sillbx_ 如).aJa由此得到alY - bl2 = eax cosbx, Wj + al2 = eax sinbx.解此方程组，求得=J 严 cosbxdx =严= eaxsinbxdx = eaxasinbx-bcosbxa2