山西省长治市2020届高三数学下学期5月质量检测试题文含解析

1、山西省长治市2020届高三数学下学期5月质量检测试题 文（含解析）一、选择题1.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得集合，再由交集定义求解【详解】，故选：B【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握一元二次不等式的解法是解题关键本题属于基础题2.已知复数z=2+i，则A. B. C. 3D. 5【答案】D【解析】【分析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】 故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题.3.如图所示的程序框图，若输入的数值是19，则输出的值为（ ）A. -124B. 124C. 26D.

2、0【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】模拟执行程序框图如下：，满足，满足，满足，不满足，.故选：A.【点睛】本题考查由程序框图求输出结果，属基础题.4.由于疫情期间大多数上上课，我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的人数为( )A. 800B. 750C. 700D. 650【答案】D【解析】【分析】设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值

3、，可得高三年级的学生人数.【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x- 2，2x- 4，由题意可得设我校高三年级的学生人数为N,再根据求得，故选：D【点睛】本题主要考查了分层抽样，样本容量，属于容易题.5.双曲线的焦距为，且其渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，结合双曲线的性质，即可得出答案.【详解】圆的圆心坐标为设渐近线方程为，即由渐近线与圆相切则双曲线的方程为故选：D【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程，涉及了直线与圆位置关系的应用，属于中档题.6.一个

4、几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为 ,选D.7.在中，已知，且的面积为，则边上的高等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据的面积为，解得，再由，利用余弦定理得到，两者联立求得边a，c，再利用求解.【详解】因为的面积为，所以，解得，又因为，由余弦定理得：，即，所以，解得或，又因为，所以，所以边上的高.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.定义在上的偶函数，对，且，有成立，已知，则，的大小关

5、系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的性质和单调性即可判断.【详解】解：对，且，有在上递增因为定义在上的偶函数所以在上递减又因为，所以故选：A【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.9.函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项.【详解】解：当时，则，若，若，则恒成立，即当时，恒成立，则在上单调递减，故选：A.【点睛】本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题.10.已知奇函数对任意都有，现将图象向右平移个单位长度得到图象，则下列判

6、断错误的是( )A. 函数在区间上单调递增B. 图象关于直线对称C. 函数在区间上单调递减D 图象关于点对称【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数为，根据奇函数的性质和周期性可求得解析式，根据三角函数平移变换得到解析式，利用代入检验的方式，对应正弦函数图象可确定结果.【详解】由得：，解得：.又为奇函数，解得：，.对于，当时，在上单调递增，正确；对于，当时，关于直线对称，正确；对于，当时，在上不单调，错误；对于，当时，且，关于点对称，正确.故选：.【点睛】本题考查正弦型函数的单调性、对称性的求解问题，涉及到辅助角公式化简三角函数、根据三角函数性质求解函数解析式、三角函数的平移变换等知识

7、；关键是能够熟练掌握代入检验的方式，通过整体对应的方式，对照正弦函数图象得到结果.11.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为五个等级.某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如表所示.该班学生中，这两科等级均为的学生有人，这两科中仅有一科等级为的学生，其另外一科等级为.则该班（ ）等级科目ABCDE物理1016910化学819720A. 物理化学等级都是的学生至多有人B. 物理化学等级都是的学生至少有人C. 这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人D. 这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人【答案】C【解析】【分析】根据条件逐一推理验证即可.【详解

8、】因为两科等级均为的学生有人，这两科中仅有一科等级为的学生，其另外一科等级为,所以有5人物理A化学B，有3人物理B化学A，物理化学等级都是的学生至多为人，物理化学等级都是的学生至少有人，这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人，这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人故选：C【点睛】本题考查合情推理，考查基本分析判断能力，属中档题.12.已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，点O为坐标原点，则下列命题中正确的个数为（ ）面积的最小值为4；以为直径的圆与x轴相切；记，的斜率分别为，则；过焦点F作y轴的垂线与直线，分别交于点M，N，则以为直径的圆恒过定点.A. 1B.

9、 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】依次判断每个选项：的斜率为0时，所以错误，计算正确，证明，所以正确，根据等式令，得或3，所以正确，得到答案.【详解】当斜率为0时，所以错误.设的中点为E，作轴交x轴于点G，作准线交准线于点D，交x轴于点C，则，又，所以，所以正确.直线的方程为，联立，得.设，则，所以，所以正确.直线，所以.同理可得.所以以为直径的圆的方程为，即.令，得或3，所以正确.故选：.【点睛】本题考查了抛物线的面积，斜率，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、填空题13.已知向量，若与方向相同，则等于_.【答案】【解析】【分析】根据共线向量定理以及平面向量基本定

10、理可得答案.【详解】因为与方向相同，所以存在，使得，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了共线向量定理，考查了平面向量基本定理，属于基础题.14.在三棱柱中，平面，则三棱柱的外接球的体积与三棱柱的体积之比为_.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，求出其外接球的半径，然后分别求出多面体的体积及其外接球的体积，即得答案【详解】如图，分别为三棱柱上、下底面的中心，为的中点，连接，则为三棱柱外接球的球心，为外接球的半径，在直角三角形中，求得，又故答案为： 【点睛】本题主要考查几何体体积的计算，考查几何体的外接球问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.

11、各项均为正数且公比q1的等比数列an的前n项和为Sn，若a1a54，a2+a45，则的最小值为_【答案】8【解析】分析】先根据等比数列的性质求出首项、公比，然后将结论表示出来，最后利用换元法结合基本不等式求最小值，注意取最小值时等号要成立【详解】解：由题意：a1a5a2a44，又由a2+a45，又公比q1，a21，a44，故，故q2，令t2n11，2，22，23，则原式，当且仅当t2，即n2时取等号故答案为：8【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的通项公式和前项和公式，考查用基本不等式求最值，求最值时要注意等号成立的条件16.已知函数，若，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据

12、函数的定义域结合函数的图象，分 ， ，五种情况讨论求解.【详解】函数的图象如图所示：当时，所以，因，所以，成立，此时，当时，所以，因为，所以，成立，此时，当时，所以，因为，所以，解得，此时，当时，所以，因为，所以，即，解得或，此时，当时，所以，因为，所以，即，解得，此时，综上：的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查函数与不等式问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.三、解答题17.已知递增等比数列满足，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差中项可得，将和化为首项和公比，联立可解得首项和公比，从而

13、可得；（2）化简后，利用进行裂项求和即可得到结果.【详解】（1）设数列的公比为，由题得所以，所以，所以，所以，即，所以，解得或（舍），所以，所以.（2）因为，.【点睛】本题考查了等比数列通项公式基本量的计算，考查了求等比数列通项公式，考查了裂项求和方法，属于基础题.18.中国诗词大会是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.（1）若将被污损的数字视为09中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的

14、热情,现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：年龄20304050每周学习诗词的平均时间34由表中数据分析，与呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间.参考公式：，【答案】（1） （2）；小时【解析】【分析】（1）由题，列出不等式，解得x的取值范围，即可得到本题答案；（2）由，求得线性回归方程，然后令，即可得到本题答案.【详解】（1）设污损的数字为，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得，即，；（2），又，时，.答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为小时.【点睛】本题主要考

15、查与平均数相关的计算以及线性回归方程的求法，属基础题.19.如图，在四棱锥中，平面平面，是的中点，是上一点，且（1）求证:平面；（2）若求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取PA的中点M，连接MD，ME，证明四边形MDFE是平行四边形，则，再由直线与平面平行的判定可得面PAD；（2）过点P作于点H，则平面ABCD，以H为坐标原点，HA所在直线为y轴，过点H且平行于AB的直线为z轴，PH所在直线为x轴建立空间直角坐标系，求出平面ABCD的一个法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.【详解】（1）如图，取的中

16、点，连接.则，.又，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为面，面，所以 （2）过点作于点，则平面，以为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在等腰三角形中，因为，所以，解得.则，所以，所以.易知平面的一个法向量为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题.20.已知点、分别在轴、轴上运动，点在线段上，且.（1）求点的轨迹方程；（2）动直线与交于不同的两点，且的面积为，其中为坐标原点，证明为定值.【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】【

17、分析】（1）设，根据点在线段上，且，得到，的坐标，再由建立x，y方程即可所求.（2）当直线的斜率不存在时，、两点关于轴对称，根据在椭圆上和，求得坐标即可，当直线的斜率存在时，设直线方程为，将代入方程中，利用弦长公式求得，点到直线的距离，由得到k，m的关系，再利用韦达定理求解即可.【详解】（1）设，因为点在线段上，且，所以，因为，所以，即，所以点的轨迹的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，、两点关于轴对称，所以，.因为，在椭圆上，所以有，又因为，所以，解得，此时，当直线的斜率存在时，设其方程为，由题意.将代入方程中，整理得，则.因为点到直线的距离为，所以，得且符合式，此时，所以，综上所述，（定值

18、）【点睛】本题主要考查椭圆轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.设.（1）讨论在上的单调性；（2）令，试证明在上有且仅有三个零点.【答案】（1）的单调递增区间是，递减区间是；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先求导得到，再根据导函数的正负性即可得到函数的单调区间.（2）首先根据，得到是的一个零点，再根据是偶函数得到在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可，再求出在时的单调性和最值，确定其零点个数即可.【详解】，令，则或.时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增，时，单调递减.的单调递增区间是，递减区间是.（2），因为，所以是一个零

19、点. 所以是偶函数，即要确定在上的零点个数，需确定时，的零点个数即可.当时，令，即或.时，单调递减，且，时，单调递增，且在有唯一零点 当时，由于，.而在单调递增，所以恒成立，故在无零点，所以在有一个零点，由于是偶函数，所以在有一个零点，而，综上在有且仅有三个零点.【点睛】本题第一问考查利用导数求函数的单调区间，第二问考查利用导数求函数的零点，同时考查了分类讨论的思想，属于难题.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标，直线经过点，且倾斜角为.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的标准参数方程；（2）直线与曲线交于两点，直线的参数方程为（t