勾股定理16种证明方法

1、勾股定理的证明az/ab【证法1】（课本的证明）abbab做8个全等的直角三角形，三个边长分别为3、b、C的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b,所以而积相等.即+/? + 4 X /? = ? +A-xab亠，, , .22,整理得【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以C为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为C,再做等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、 C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.: RtAHAE 今 RtAEBF,

2、/. ZAHE = ZBEF.: ZAEH + ZAHE = 90, ZAEH + ZBEF = 90 ZHEF = 180 90 二 90.四边形EFGH是一个边长为C的正方形.: Rt A GDH它的而积等于cl Rt A HAE,又丁,+ o o o o 9一一G:.ABCD是一个边长为a + .（ + /?） = 4x a）,b的正方形,cr +b- =c-以C为斜DCABGH边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2.把这四个直角三仝 Rt A ABE, ZEAB.ZHAD = 90,ZHAD = 90,角形拼成如图所示形状.T Rt ADAHZHDA =T ZHAD +

3、ZEAB +ABCD是一个边长为c的正方形，它的而积等于cl: EF = FG =GH =HE = b-a ,ZHEF = 90EFGH是一个边长为b-a的正方形，它的面积等于 4x/? + （/?-） =c 2 .a-b- =c【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以8、b为直角边，以C为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面仝 Rt A CBE, ZBEC.ZADE = 90,ZBEC = 90180 90= 90积等于戸.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.DbaBEaA bT Rt AEADZADE =T ZAED +ZAED +Z

4、DEC =DA DEC是一个等腰直角三角形，c 它的面积等于2 .又 T ZDAE = 90, ZEBC = 90,它的而积等于理设它们的两条直角边长分别为8. b ,斜边长为6把它 使D、E F在一条直线上过C作AC的延长线交DF于/. ADBCABCD是一个直角梯形，（a + bV = 2xab + e2 2 2 /.宀宀【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形， 们拼成如图那样的一个多边形， 占P 八、*T D、E. F在一条直线上，且Rt A GEF仝Rt A EBD,/ ZEGF = ZBED,/ ZEGF + ZGEF = 90 ,/. ZBED + ZGEF = 90 ,

5、ZBEG =18090 J 90. 又T AB = BE = EG = GA = c,ZCBE = 90 竺 Rt A EBD, ZEBD.ZCBE = 90 ABEG是一个边长为c的正方形.ZABC +: Rt A ABCZABC =ZEBD +即 ZCBD二 90 又 ZBDE = 90, ZBCP = 90,BC = BD = a.BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S,a- +b- =S + 2x-ab2C = S + 2x ah 2 a- +/?- =c【证法6】(项明达证明)做两个全等的直角三角形， C.再做一个边长为

6、C的正方形 直线上.设它们的两条直角边长分别为a、b (ba),斜边长为把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条E过点Q作QPBC,交AC于点P 过点B作BM丄PQ,垂足为M；再过点 F作FN丄PQ,垂足为N. ZBCA =ZMPC = BM 丄 PQ,ZBMP =90% QPBC,90%90%BCPM是一个矩形，即ZMBC = 90占 ZQBM + ZMBA = ZQBA = 90, ZMBA = ZMBC = 90, ZABC,90, ZBCA = 90% BQ = BA = c, 今 Rt A BCA.bcMccCNcBAZABC +ZQBM = 又 T ZBMP =/. Rt

7、 A BMQ同理可证Rt AQNF竺Rt A AEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为在一条直线上，连结BF、CD.过 C 作 CL丄DE,交AB于点M,L.T AF =ZFABa、b、交DE于点AC, AB = AD =Z GAD t AFAB 今 A GAD,c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点GKaFbMBAa AFAB的而积等于2,A GAD的而积等于矩形ADLM 的面积的一半，矩形ADLM的面积同理可证，矩形MLEB的而积=b:正方形ADEB的而积=矩形ADLM的而积+矩形MLEB的而积 C- =-+/?-,即=r【

8、证法8】（利用相似三角形性M证明）如图，在Rt AABC中，设直角边AC、BC的长度分别为8、b,斜边AB的长为C,过 点C作CD丄AB,垂足是D.从而有BCBD.ABa- +b- =c-在AADC和AACB中，: ZADC = ZACB = 90,ZCAD = ZBAC, AADC S AACB.AD ： AC = AC : AB,即 AC，= AD* AB.同理可证，ACDB s AACB,.AC- + BC- = （ad +AJ? = AB 即【证法9】（杨作玫证明）垂足为P过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b （ba）,斜边长为c

9、 再做一个边长为C的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF丄AC, AF交GT 于F, AF交DT于R.过B作BP丄AF, E, DE 交 AF - J- H.: ZBAD = 90, ZPAC = 90, ZDAH = ZBAC.又 ZDHA = 90, ZBCA = 90,AD = AB = c, Rt ADHA 今 Rt ABCA./. DH = BC = a, AH = AC = b.rtl作法可知，PBCA是一个矩形，从而 PH = ba. 今 Rt A BCA , 竺 Rt A BCA. 今 Rt ADHA . =a, ZGDT = 90, ZDHF =所以 Rt A AP

10、B 9 Rt A BCA.即 PB =CA = b, AP= a, Rt A DGTRt ADHA Rt A DGTZHDA .90%=ZHDA+ ZTDH = 90,DH = DG又 ZDGT =ZGDH = ZGDT + ZTDHDGFH是一个边长为a的正方形. GF = FH = a . TF 丄 AF, TF = GT-GF = b-a .TFPB是一个直角梯形，上底TF=b-a,下底BP= b.高FPp + (b-a). 用数字表示面积的编号(如图)，则以C为边长的正方形的面积为c = S + Sj + S3 + $4 + Sj.S8+S3+S4 =-b + (b-a)*4 + 0-

11、a).S5 hSg+Sy,.S3 + S4 -于必-S* 二胪_5_ 把代入，得C- =S, +$2 +方2 -S, -去 + +=胪 +S2+S9 = /+/： a +h- =c【证法10】(李锐证明)设直角三角形两直角边的长分别为8、b (ba),斜边的长为C.做三个边长分别为a. G三点在一条直线上.用数字表示b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、 而积的编号(如图).T ZTBE =ZTBH =又 T ZBTH =BT = BE Rt A HBT/. HT = AEZABH = 90,ZABE.ZBEA = 90, =b,9 Rt A ABE.rba. GH = GT-HT

12、 = b-a.又 T ZGHF + ZBHT = 90,8 /DV3M 4E/5 /AHGQZDBC + ZBHT = ZTBH + ZBHT = 90, ZGHF = ZDBC.: DB = EB-ED = b-a,ZHGF = ZBDC = 90, Rt A HGF RtA BDC.即 = S?.过Q作QM丄AG,垂足是M.由ZBAQ = ZBEA = 90% 可知 ZABE即s严S.=AE = a, ZAQM = ZBAE,+ ZCAR = 90% ZAQM = ZBAE,=ZQAM,而 AB = AQ = c,所以 Rt A ABE 竺 Rt A QAM .又 Rt A HBT 9 R

13、t A ABE.所以 Rt A HBT 旦 Rt A QAM .由 Rt AABE 今 Rt AQAM,又得 QMZAQM + ZFQM = 90, ZBAEZFQM = ZCAR.ZQMF = ZARC = 90, QM =RtAQMF RtAARC.即几=.C- =S, + $2 + S3 + 6 + $5 , d? =S, +$6, b，=S3 +S8 ,又丁Sf = s?, s* = S5, SA=Sb ,ct + h = S| + S 6 + S3 + Sf + Sg二Sj +Sj + S3 + S2 + S5BfJ=ca- +h- =?-【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt A

14、ABC中，设直角边BC = a, AC = b，斜边AB = c.如图，以B为圆心a为半 径作圆，交AB及AB的延长线分别D、E.则BD = BE = BC = a.因为ZBCA = 90, 点C在B上，所以AC是B的切线.由切割线定理，得在Rt AABC中，设直角边BC = a, AC = b,斜边AB = c （如图）.过点A作ADCB, 过点B作BDCA,则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接 四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有ABDC = ADBC+ACBD: AB = DC = c, AD = BC = a,AC = BD = b,/. AB =BC

15、+AC 即 宀【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt AABC中，设直角边BC = a, AC = b,斜边AB = c.作Rt AABC的内切圆00, 切点分别为D、E、F （如图），设0的半径为T AE = AF, BF = BD, CD = CE,. AC + BC AB =（A + CE）+（BD + CD）-（AF + BF）=CE + CD= r + r = 2r,a+b-c = 2ra + b = 2r + c（a + b） =（2r + ）,BfJ/ +/? +2 = 40*2 +rc）+c-,Swc = -ab2 = 4Swc,丈:（2r + c + c）r.=2=

16、r-+rc,.4（宀 w） = 4Sm眈，:.4（r + re） = lab ,:.+h + 2ah = 2ab + c ,:. a +h =【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt AABC中，设直角边AC、BC的长度分别为8、b,斜边AB的长为C,过 点C作CD丄AB,垂足是D.假设/+2处2,即假设aL + bcGab，,则由AB- =二+ 二可知 AC-ABAD,或者 bCaB.BD.即 AD： ACHAC： AB,或者 BD： BCHBC： AB. 在AADC和AACB中， ZA = ZA,若 AD： ACHAC： AB,贝!JZADCZACB.在ACDB和AACB中， ZB =

17、ZB,:.若 BD： BCHBC： AB,贝ijZCDBHZACB.又 ZACB = 90。，aL+BC? B，的假设不能成立.ababaabb【证法15（辛卜松证明）A.b, aD ZADCH90, ZCDB90 这与作法CD丄AB矛盾.所以, :.a-+h =c-Ba C设直角三角形两直角边的长分别为a.b,斜边的长为C.作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的而积为 沪+2川2；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的一 d . (a）,斜边的长为c做两个边长分别为a、 b的正方形（ba）,把它们拼成如图所

18、示形状， 示面积的编号（如图）.在EH = b上截取ED = a,连结DA、DC,:=b + a , ED = =(b + d) 8 = b.90, CM = a, 90, AE = b, 今 Rt A DMC. ZMDC, DC = AD = c. ZADC+ ZMDC =180%则 AD = c.: EM = EH + HM DM = EMED :又丁 ZCMD =ZAED = Rt A AEDZEAD =T ZADE +ZADE + ZMDC = ZADE + ZEAD = 90, ZADC = 90.作ABDC, CBDA,则ABCD是一个边长为c的正方形.T ZBAF + ZFAD = ZDAE + ZFAD = 90, ZBAF二ZDAE.连结FB,在A ABF和A ADE中， AB =AD = c, AE = AF = b, ZBAF二ZDAE,