2017年高考理科数学模拟试卷(全国卷)

1、2017 年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，其中第卷第22 24 题为选考题 , 其它题为必考题。全卷满分150 分。考试时间120 分钟。注意事项：答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。做选择题时，必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。参考公式 ：柱体体积公式：锥体体积公

2、式：V Sh （其中 S 为底面面积， h 为高）1V Sh （其中 S 为底面面积， h 为高）3球的表面积、体积公式：S4 R2 ,V 4 R3 （其中 R 为球的半径）3第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的12i（）1复数 z（ i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于iA 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2已知集合 M=x|y=lg ， N=y|y=x 2+2x+3 ，则（ ?RM） N=（）A x|0 x 1B x|x 1C x|x 2D x|1 x 23、采用系统抽样方法从960人中抽取32

3、 人做问卷调查为此将他们随机编号为1， 2 .960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32 人中，编号落入区间1,450的人做问卷 A，编号落人区间 451,750的人做问卷 B，其余的人做问卷 C. 则抽到的人中，做问卷C 的人数为（）A. 15B. 10C. 9D. 74. 设 an 是公差为正数的等差数列，若a1a2 a315 ，且 a1a2a380，则 a11a12a13 等于（）A120B105C90D75 来源 :Z.xx.k.Com5. 由 y 2x 和 y3x2 所围成图形面积是（）A.B.C.D.6若 m是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线x2+的

4、离心率为（）A BC或D或( 2 tan 5 )17定义某种运算 Sab ，运算原理如图所示，则ln e lg 1001的值为 （）43A 15B 13 来源: 高&考 %资(源# 网 KS5U.COMC 8D 4高 &考%资 ( 源#网 来源 : 高&考%资 (源# 网第 7 题图第 8 题图8. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A 54B.27C.18D.99. . 如图，已知 ABC中，点 M在线段 AC上，点 P 在线段 BM上且满足AM MP 2，若|AB| 2， |AC| 3，MC PB（） BAC120，则 APBC的值为A 2B 2C.2D113 3第 9 题图

5、第 10 题图10如图 , 在平行四边 ABCD中,22若将其沿 BD折成直二面角 A-BD-C,则三棱锥 A BCD=90.,2AB+BD =4,的外接球的表面积为（）A. 4B.8C.12D.1611. 抛物线 y2=2px（ p 0）的焦点为 F，已知点 A， B 为抛物线上的两个动点，且满足 AFB=120过弦AB的中点 M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A B 1CD 212. 已知定义在0,上的单调函数f x ，对x 0,，都有 f f xlog3 x 4 ，则函数g x f x1f x 1 3 的零点所在区间是（）A .4,5B .3,4C .2,3D . 1,

6、2第卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分 20 分13. ( x31)9 的展开式中的常数项为_xx14. 若数列 an是正项数列，a1a2.ann 23n(n N ) ，则 a1a2.an_23n115若 (0,3)，则直线 ( 2)x (3 ) 3 0 与x轴、 轴围成的三角形的面积小于9的概率为 _mmm yy816. 在 ABC中，内角 A、 B、 C对边分别为 a、 b、 c, 若其面 S=a 2(b c) 2 , 则 Sin A_2三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17（本小题 12 分）设ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c,

7、 且 a cosC1 cb .2(1) 求角 A 的大小 ;(2) 若 a 1, 求 ABC 的周长的取值范围 .18、( 本小题满分12 分)为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛. 先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表分数（分数段）频数（人数）频率60,70)9x70,80)y0.3880,90)160.3290,100)zs合计p1（ 1）求出上表中的x, y, z, s, p 的值；（ 2）按规定，预赛成绩不低于90分的选

8、手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序. 已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格.求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望.19（本小题12 分）如图，在四棱锥PABCD 中， PA 平面ABCD ，ACBD 于 O ， E 为线段PC上一点，且ACBE ，（ 1）求证：PA/平面BED；（ 2）若BC / AD ，BC2 ，AD2 2 ，PA3 且ABCD求 PB 与面 PCD 所成角的正弦值。20.（本小题12 分）已知抛物线C ： x21 y ，直线 y kx 2交 C 于 M 、 N 两

9、点， Q 是线段 MN 的2中点，过 Q 作 x 轴的垂线交 C 于点 T 。yM（ 1）证明：抛物线C 在点 T 处的 切线与 MN 平行；2（ 2）是否存在实数k 使 TM TN0 ，若存在， 求 k 的值；若不存在， 说明理由NQT21. （本小题 12 分）设函数 fx 1e x O（ 1）证明：当 x1 时， fxx ；x1x（ 2）设当 x0 时， fx，求实数 a 的取值范围ax1请考生在第（22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22、（本小题满分1 0

10、 分）选修4 1 : 几何证明选讲 .如图，四边形ABCD内接于 O， BD是O的直径， AECD 于点 E，DA平分 BDE（ 1）证明： AE是O 的切线；（ 2）如果 AB=2 ， AE= ，求 CDx23. （本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程已知圆 M的极坐标方程为2 sin() ，现以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角4坐标系。（ 1）求圆 M的标准方程；2（ 2）过圆心M且倾斜角为的直线 l 与椭圆 xy 21交于 A， B 两点，求 | MA | | MB |的值。4224. （本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲已知函数 f （ x）

11、 =|x 1| （ 1）解不等式： f （x） +f （x 1） 2；（ 2）当 a 0 时，不等式2a3f （ ax） af （ x）恒成立，求实数a 的取值范围理科数学评分标准一 . 选择题（每小题5 分，共 12 小题，满分60 分）题号123456789101112答案ACDBCDBCAAAC二 . 填空题（每小题5 分，共 4 小题，满分20 分）2n26n .21713. 84 .17三、解答题（解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17、（本小题满分12 分）解 (1)由 a cosC1 cb 得 sin AcosC1 sin Csin B22又 sin B

12、sin( AC )sin AcosCcos Asin C1 sin Ccos A sin C ,Q sin C0, cos A122Q 0AA23(2)由正弦定理得: ba sin B2c2sin Asin B ,sin C33la bc12sin Bsin C12sin Bsin A B3312(1 sin B3 cosB)12 sin( B)32233Q A2 ,B(0,),B( , 2 ) ,33333sin( B) (3 ,132故ABC 的周长的取值范围为(2, 231 .3 2 分 4 分 6 分 8 分 10 分 12 分18（本小题满分12 分）解：（ 1）由题意知， x0.1

13、8, y19, z6, s0.12, p 50 3 分（ 2）由（）知，参加决赛的选手共6 人， 4 分设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A ，C51 +C14C417则 P( A)A6210所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为7 . -6 分10随机变量 X 的可能取值为0,1,2 7 分P( X 0)C431， P( X1)C42C213, P( X 2)C41C221， 10 分C635C635C635随机变量 X 的分布列为：X012P131555 11 分因为 EX0 113 21 =1，555所以随机变量X 的数学期望为 1. 12 分19. （本小题满分 12 分）（ 1）

14、 Q ACBD , ACBE, BDBEB ，AC平面 BDE , 连接 OE ， 1 分所以 ACOE ，又 PA平面 ABCD ，ACPA，又 OE, PA 都是平面 PAC 中的直线，OE PA ， 3 分且 OE平面 BDE ， PA平面 BDE ，PA 平面 BDE 4 分（ ） QBC / AD， BC2 ， AD2 2 且ABCD2在等腰梯形中 OBOC1,OAOD 2 5 分由（ 1）知 OE平面 ABCD ，分别以 OB,OC , OE 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则 B(1,0,0), C (0,1,0), D ( 2,0,0), P(0,2,3)

15、6 分rruuur02xy0n CD设平面 PCD 的法向量为 n( x, y, z) 则 ruuur，所以3z0n PC03y取 x1 ，则 yz2r(1, 2, 2) ， nuuur(1,2,3) ，又 PBuuur ruuurr14PBncos PB, nuuurr14PB n14所以 PB与平面 PCD所成角的正弦值为1420、（本小题满分12 分）解：（ 1）设 M ( x1 , y1), N ( x2 , y2 ), Q ( x0 , y0 ) ，y2x2得2kx 2 0联立kx2xy2所以 x1x2k , x1 x21 ，2x1x2k，x024Q y 2x2 ，所以 y x xk

16、0所以抛物线 y2x2在 T 点处的切线与MN平行。2kk（ 2）由（ 1）可得 T (,) ，则uuur uuurk )( x2k ) ( y1k2k2TM TN ( x1)( y2)4488( k21)x1 x27k3)( x1x2 )k 2k 2)2( k(2848163(k 24)(k 216)064uuuruuur解得 k2 ，所以存在 k02 满足 TMTN21、（本小题满分12 分）解：（ 1）证明：当 x1 时， x 10 ， 9 分 11 分 12 分 1 分 2 分 3 分 4 分 6 分 7 分 9 分 11 分 12 分f xxxxxx1xxx，即 1 e11exee

17、1 x .1xx11令 gxex1 x ， x1， 2 分g xex1，令 gx0 ，得 x 0 令g x0得 x0; 令 g x0得 1 x 0.所以当 x1时， g ming0e0100 ，故当 x1时， gx0，即 ex1x ，即 fxx，且当且仅当x0 时等号成立4 分x1（ 2）解：由 x 0 时， 01 e xx恒成立，故 a0 . 5 分ax1设 h xx+e x1 ， x0 ，则ax1hxax1axx1exe xx2 6 分ax2eax122eax11ax 1设 k xexax12， x0 ， 7 分则 kxex2aax1ex2a2 x2a . k 012a 8 分当 12a0

18、 ，即 0a1 时，2k x ex2a2 ， x0 时， ex1 ， 2a21 ，故 k x 0 .2所以 kx单调递增， kxk00 ，故 kx单调递增， kxk00 恒成立，符合题意 . 10 分当 12a0 ，即 a1 时，2存在0， x0,时， kx0， k x单调递减，k xk00 ，与 kx0 恒成立矛盾 . 11 分综合上述得实数a 的取值范围是，1 12 分0222、（本小题满分10 分）（ 1）证明：连结 OA，在 ADE中， AECD 于 点 E， DAE+ADE=90DA平分 BDC ADE=BDAOA=OD BDA=OAD OAD=ADE DAE+OAD=90即： AE是O 的切线 5 分（ 2）在 ADE 和 BDA中，BD是O的直径 BAD=90由（ 1）得： DAE=ABD又 BAD=AEDAB=2求得： BD=4， AD=2 BDA=ADE=BDC=60进一步求得： CD=2 10 分23、（本小题满分10 分）解：（ 1）由22sin()sincos ，得 x2y24yx ，即 (x1 )2( y1 )21 3 分222（ 2）点 M(1 , 1 ) ，2 2x12 t直线 l 的