基本不等式的变形及应用

1、基本不等式a2 b22ab的变式及应用2不等式a2 b2 2ab是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种 常见的变式及应用1、十种变式2 .2介 a bab 2aba b、2(Tb2)a2若b 0 ,则一b2aa,b1R ,则一a4ab若ab10，则-対b)2上述不等式中等号成立的充要条件均为:若 m,n R ,a,b R，则b2(a b)2m n（当且仅当anbm时等号成立）(a b c)23(a2b2（当且仅当a b c时等号成立）2、应用例 1、若 a,b,c Rc 2，求证：Va 1 Jb证法

2、一：由变式得va1,b同理：寸b 1-2因此 Ua 1 Jb 1 Vc 11 a 12c2a2即Ja 1|1由于三个不等式中的等号不能同时成立,Ja 17b 1Jc 14a2 b2对于某一字母左边是评论：本解法应用“ ab ”观察其左右两端可以发现, 一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幕与降幕功能，本解法应用的是升幕功 能。精选文库Qa 1Jb 1 Qc 11J2(a b 2) J2(c 2)J2(a b c 4)证法二：由变式得 Ja 1 Jb 1J2(a 1 b 1)1)同理：Jc6故结论成立评论：本解法应用“a b J2(a2 b2) ”，这个变式的功能是将“根式合并”，将“离

3、散型”要根式转化为统一根式，显然, 证法三：由变式得对问题的求解起到了十分重要的作用。h/a 1 7 T)23(a 1 b1 c 1)15故 1 Jb 1 Jc 14 即得结论评论：由基本不等式a2 b22ab易产生2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca，两边同时加上a2 b2 c2即得3(a2 b2 c2) (ab c)2，于是便有了变式，本变式的功三式相加即得：厂 厂Jb 4 ccTa即由整体平方转化为个va评论：本解法来至于“若b20，则 2a b”，这个变式将基本不等式转化成更为 b灵活的形式，当分式的分子与分母出现平方与一次的关系时，立即可以使用，方便快捷。2 2例3、实数a

4、,b满足(a 4) (b 3)2，求a b的最大值与最小值43能可以将平方进行“分拆”与“合并”。本解法是将平方进行分拆,整平方，从而有效的去掉了根号。abc例 2、设 a,b,c R，求证：f= Va VbVbVcVa证明：由变式得早 2禹 Tb，琴 2Ub寸c，VbVc解析：结合变式得(a 4)242(b 3)32(a b 7)因此寸14 a bJ14 即 7V14 a当且仅当3(a4)4(b3)、再结合条件得3/14丁及73/14L时，分4丁147别获得最小值与最大值;评论：由a2m2b2n222mnab n(m n)am(m n)b2mn(a2b)再结合m,n R即得变式，这可是一个很

5、特别的公式，它沟通了两分式和与由两分式产生的一个特殊分式的关系，它的灵活应用不仅可以为我们解决基本不等式的最值问题，也为我们 处理圆锥曲线问题中的最值问题开辟了新的途径。例4、已知x, y (2,2)，且 xy 1，解析：由变式U44 x221x-(14x22 (T2y-)125上述两不等式当且仅当号、再结合xy462 L或Vo3?时,V63取得最小值;评论：由a2 b22abb(a b) a(a b)4ab结合a,bR ,两边同除以ab(a b)即得变式，本题两次使用基本不等式，第一次应用变式，第二次应用基本不等式。值得注意的是两次等号成立的条件必须一致，否则，最值是取不到的。例5、当0 x a时，不等式22恒成立，求a的最大值;(a X)解：由变式、得1 1 1122 (X (a X) 2 X)2a X1 _42 x(aX)4(X a X.2(2)上述三个不等式中等号均在同一时刻由 20a故a的最大值为x时成立评论：由(ab)24ab再结合a,b R即得变式；又由2 b2 2ab 得2 2 22(a b ) (a b)b22 1a -(a2，但来之实在不易。首先这两个变式不一定大家都熟悉,O99b)结合ab 0 ,两边同除a b即得变式。本题的求解，虽然“廖廖几步”三次使用变式进行转化，必须保证等号在同一时刻取得，可谓步履维