2-9切线和法线方程

1、模块基本信息一级模块名称微分学二级模块名称三级模块名称切线和法线方程模块编号先行知识导数的几何意义模块编号知识内容教学要求1、函数的切线方程和法线方程1 、会求函数的切线方程和法线方程2、隐函数和参数方程的切线和2 、了解隐函数和参数方程的切线和法线的求法线的求法。法。1.培养学生的知识迁移能力能力目标2.培养学生的计算能力时间分配15 分钟编撰尧克刚校对熊文婷审核修订肖莉娜二审危子青一、正文编写思路及特点：思路：在复习导数几何意义的基础上， 按照由易到难的顺序讲题例题、练习，让学生能够灵活运用导数求切线方程和法线方程。特点：通过例题及练习，巩固学生的计算能力。二、授课部分（一） 预备知识函数

2、 y=f(x)在点 x0 处的导数 f (x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点 M(x0 , f(x0)处的切线的斜率 , 即f (x 0) tan其中是切线的倾角 .（二）新课讲授1.切线方程：应用模块2-92-3掌握程度简单应用危子青由直线的点斜式方程 , 可知曲线 y=f (x)在点 M(x0, y0)处的切线方程为y y0 f (x0)(x x0).特别：y=f(x)在点 x0 处的导数为无穷大 , 这时曲线 y=f(x)的割线以垂直于 x 轴的直线 x=x0 为极限位置 , 即曲线 y=f(x)在点M(x0 , f(x0 )处具有垂直于 x 轴的切线 x=x0.2.法线方程：过切点

3、 M(x0 , y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点 M处的法线如果f x0法线的斜率为1,从而法线方程为( )10,f (x )0yy01(x x0) .f (x0 )(三 )、经典案例1、基本初等函数的切线和法线方程（一级）例 1 . 求等边双曲线 y 1 在点 ( 1 , 2) 处的切线的斜率 , 并写出x 2在该点处的切线方程和法线方程.解: y1, 所求切线及法线的斜率分别为x2k1(124 , k211.x2 ) xk141切线方程为 y 24(x1) , 即 4y40.x2法线方程为 y21 ( x 1 ) , 即 2x 8y 15 0.42（选讲）2. 隐函数的切线

4、和法线方程（二级）例 2.求由方程 x3eyxye0 所确定的隐函数在（ 0，1)处的切线和法线方程 .解 :方程两边同时对 x 求导3x2eyyyxy0得y3x2yeyx0eyx切线的斜率： k1y x3x2y10xey1eyx 0y 1法线的斜率： k21ek1切线方程： y11 x 即 eyxee法线方程： y1ex 即 yex1（选讲）3. 参数方程的切线和法线方程（三级）例 3.计算由摆线的参数方程t 处的切线方程和法线方程。2x a(t sin t) 所确定的函数 y f(x) 的y a(1 cost )解: 当 t时 x a(1), y a ,22dyy (t)a(1cost)a sin tdxx (t)a(tsin t)a(1cost)sin tcot t1 cost2切线的斜率： k1(cot t )1法线的斜率： k2112 t，k12切线方程为 y aa(1) x , 即 y a(1 )x a022，法线方程为 y aa(1)x , 即 y a(1)x a022.三、能力反馈部分1.（考察初等函数的切线和法线方程） （一级）求 y=sinx-cosx 在点 x2 处的切线和法线方程。2.（考察隐函数的切线和法线方程）（二级）（选做）设方程 ex y2 x 2 y25 0 确定函数y=y(x), 求函数在点(