大一高数总结上册

1、 姓名： 班级： 学号：第一章 函数、极限、连续（小结）一、函数1. 邻域：U (a) ,U (a) 以a 为中心的任何开区间；?2. 定义域： y ? tan x x ? k?; 2y ? cot x x ? k?; y ? arcsin x y ? arctan x x ? R, y ?(?, ) ；2 2 y ? arccos x x ?1,1, y ?0,?. ? ?x ?1,1, y ?2 2 ? ?二、极限1. 极限定义：（了解）lim x ? a ? 若对于? 0 ， ?N ? Z ? ， st. 当 n ? N 时，有| x nn? ? a |? ?；nNote： | xn ?

2、 a |? ? n ? ? x?x0lim f (x) ? A ? ? 0 ， ? 0 ， st. 当0 ?x ? x0 ? ?时，有 f (x) ? A ? ?；Note： f (x) ? A ? ?x ? x0 ? ? lim f ( x) ? A ? ? 0 ， ?X ? 0 ， st. 当 x ? X 时，有 f (x) ? A ? ?；x?Note： f (x) ? A ? ? x ? ? 2. 函数极限的计算（掌握）? ?lim f ( x) ? A ?f (x) ?f (xf ( x) ? A ；（分段函数） （1） 定理： lim 0 0 ) ?x?x0 ?x?x0 ? 0 2

3、 x?1 x ? 1 ? x ； （2） 型：约公因子，有理化； 比如： lim 3 ， lim 3 ?2 x?1 x ? x ? 2 0 x?1 x ?1 ?sin x ?重要极限lim ?lim sin u(x) ?1 ；x?0 x u ( x )?0 u (x) 1 等价无穷小因式代换： tan x ? x, sin x ? x, arc sin x ? x ，1? cos x x， 2n x 1? x ?1 1 n x ， e?1 x ， ln(1 ? x) x 2 ? ? ? 型：先通分； ?型：转化为无穷小； ?x ?01型： 重要极限lim?1 ? x?x ?lim ?1 ? u

4、( x) ?u (x ) ? e ；u ( x )?01 2? 2x?1 1 ? x 1 ? x2 x? 1 比如： lim 2 x? x ? x ? 2 比如： lim 1 1（3） 无穷小量：无穷小? 无穷小=无穷小；无穷小? 有界量=无穷小1 / 8 姓名： 班级： 学号：cos x比如： lim x? 2x（4） 函数极限与无穷小的关系：lim f ( x) ? A ? f ( x) ? A ? ?, 其中：lim ? 0x? x0 x? x0（抽象函数）f (b) ? f (a) （5） 微分中值定理： ? f ?(?) ；b ? a arctan x ? arctan1 比如： l

5、im （第 3 章）x?1 x ?1 ? 0 ? ?f (x) f ?(x) （6） 罗必达法则： lim ?x? x0 g(x) ? limx? x0 g ?(x) 0 , ? ? ?tan x ? x （第 3 章） 2 比如： lim x?0 xsin x 3. 数列极限的计算：夹逼原则： lim n?1 n2 ? 1 1?1 ? ? 1n2 ? n n2 ? 2 ?积分定义： lim n?n ?i ?1 n ?i 11 ? ? ?1 ? xdx ； lim qn ? 0(| q |? 1) ； lim n a ?1 .（第五章）n?n?n 0三、连续1. 函数在点 x0 处连续： li

6、m f ( x) ? f ( x0 ) . x?x0一切初等函数在其定义域都是连续的. 2. 闭区间上函数连续的性质：最大最小值定理：若 f (x) 在 a , b 上连续，则 f (x) 在 a , b 上一定有最大、最小值. 零点定理：设 f (x) ?C a , b ，且 f (a) ? f (b) ? 0 ，? 至少有一点?( a , b ) ，使得 f (?) ? 0 介值定理：设 f (x) ?C a , b ，且 f (a) ? A ， f (b) ? B , A ? B ? 则对 A, B 之间的任意常数C ，至少有一点?( a , b ) ，使得 f (?) ? C . 四、

7、间断点? ? f (x 0 ) 、 f (x 0 ) 存在 ?1. 第一类间断点：若 f (x 0 ) ? f (x 0 ) ? f (x ) 0 ，则称 x 为0 可去间断点； 若 f (x 为跳跃间断点； 0 ) ? f (x 0 ) ，则称 x 02. 第二类间断点：? ?f (x 0 ) 、 f (x 0 ) 至少一个不存在 ?若其中一个趋向? ，则称 x0 为无穷间断点； 若其中一个为振荡，则称 x0 为振荡间断点；2 / 8 姓名： 班级： 学号：第二章 导数与微分（小结）一、导数的概念1. f ?(x ) ? lim 0 ?y ? lim f (x0 ? ?x) ? f (x0

8、) ? lim f (x0 ? h) ? f (x0 ) h?0 h ? x?0 ? x ? x?0 ? xNote：该定义主要用于相关定理的分析与证明；导函数求导公式： f ?(x) ? lim h?0f (x ? h) ? f (x) h.2. 分段函数在分段点处可导性判别：定理： f (x) 在 x0 处可导? f (x) 在 x0 处即左可导，又右可导f ?(x ) ? lim ?0?x? x0f (x) ? f (x0 ) f ?(x ) ? lim f (x) ? f (x0 ) ,.? 0 ?x? x0 x ? x0 x ? x03. 导数的几何意义：切线斜率，即 k ? f ?

9、(x0 ) 当 f ?(x0 ) ? ? 时，曲线在点(x0 , y0 ) 处的切线、法线方程为：y ? y ? ? 切线方程： y ? y ? f ?(x )(x ? x ) ；法线方程：0 0 00二、导数的运算(x ? x ) 0f ?(x0 ) 1 1. 四则运算： ?u(x) ? v(x)? ? u?(x0 ) ? v?(x0 ) ；u(x)v(x)? ? u?(x)v(x) ? u(x)v?(x) ；? u(x) ?u(x)v?(x) ? v(x) ? ?u(x)v(x) ?2 ； v (x) ? ?2. 反函数求导： y ? f (x) ， x ? ?( y) 互为反函数，则 f

10、 ?(x) ?3. 复合函数求导： y ? f ?(x)?，则?1?( y) d y ?f ?(u) ?(x) . d x 4. 隐函数求导： F (x, y) ? 0 两边关于 x 求导，把 y 看成是 x 的函数. ?x ? x(t), dy dy dt dy dx y ?(t ) ? ? ? ? 5. 参数方程： ? 则dx dt dx dt dt x ?(t ) ?y ? y(t), 三、微分?dydy ? A?x 1. 微分的概念：若有 ?y ?f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ? A? x ? o(?x) 成立，记作：y ? f (x), dy ? f ?(x)dx ；

11、Note： dy ? A?x ? Adx ? f ?(x )dx , 2. 微分在近似计算中的应用（1）近似计算f (x) ? f (x0 ) ? f ?(x0 )(x ? x0 ) . 3 / 8 姓名： 班级： 学号：第三章 微分中值定理及导数的应用一、微分中值定理1、罗尔(Rolle)中值定理： (a, b) 内至少存在一点?，使得 f ?(?) ? 0 . Note： 证明导函数根的存在性. 证明原函数根的唯一性. 2、拉格朗日中值定理：在(a, b) 内至少存在一点?,使得 f ?(?) ?Note： 把f (b) ? f (a) b ? a .f (b) ? f (a) b ? a

12、 用 f ?(?) 做代换，求极限. 由 a ? ? b 建立不等式，用于证明不等式. f (b) ? f (a) 3、柯西中值定理：在(a, b) 内至少存在一点?,使得： ? g?(?) g(b) ? g(a)f ?(?) Note：用于说明洛必达法则. 二、洛必达法则（1） 可结合两个重要极限、等价无穷小代换，约公因子等方法灵活运用. （2） 若?-? ，不为分式，可通过令： x ? ，创造分式. 1 txln(1 ? ) ? x 比如： lim x?2 10 ? 0 ? 取倒数 ? ?0取对数?-? ? ? 0 ? ? ? 00通分x三、函数图形的描绘（1）写定义域，研究 f (x)

13、的奇偶性、周期性；? ? ? 1?（2）求 f ?(x) ， f ?(x) ；f ?(x) ? 0? f ?(x) ? 0?（3） 令 ? 可疑极值点 x ， ? 可疑拐点 x ；? ?1 f ?(x)不? ?f ?(x)不? ?2（4） 补充个别特殊点，求渐近线： lim f ( x) ? C ， lim f (x) ? ? ；x?x?x0（5） 列表分析单调性、凹凸性、拐点、极值点； （6）画图 五、最值的计算: x f (x) f ?(x) f ?(x) ?x1 ? x1 x 2 ?x2 ?x2 ? ? ? ? ?极值点 ? ?拐点 ? x1（1）求 f (x) 在(a , b) 内的可

14、疑极值点： x1 , x2 , ? , xm4 / 8 姓名： 班级： 学号：（2）最大值： M ? max? f (x1), f (x2 ) ,?, f (xm), f (a), f (b) ?特别的，（1） f (x) 在 a, b 上只有一个可疑极值点，若此点取得极大值，则也是最大值点. （2） f (x) 在 a, b 上单调时，最值必在端点处达到. （3） 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 . 第四章 不定积分一、不定积分： f (x)dx ? F (x) ? C ， Note： C 为积分常数不可丢！d ?f (x)d x? ? f (x

15、) ? F ?(x) dx ? F (x) ? C ?dx ? ? f (x)? g(x)dx ? ? f (x)dx ? ?g(x) dx ； ? kf (x)dx ? k ? f (x)dx . 几个常用的公式? 1?1?1 ? x dx ?x ? C ，ax ? a dx ?ln a ? Cx 1? x dx ? ln x ? C ?sec x tan xdx ? sec x ? C ，二、 换元积分法： 1. f ?(x)?(x)dx u ?( x )? csc x cot xdx ? ? csc x ? C ，? f (u) du . Note：常见凑微分：1 1 dx ? d (x

16、 ? c), xdx ? d (x 2 ? c), 1 dx ? 2d ( x ? c), dx ? d (ln | x | ?c) x 2 x 1 1dx ? d (arc tan x) ? ?d (arc cot x), dx ? d (arcsin x) ? ?d (arc cos x) 21+x 1? x2适用于被积函数为两个函数相乘的情况，若被积函数为一个函数，比如：?e2 x ?1?dx ，若被积函数多于两个，比如：? 1? sin x 4sin x cos x dx ，要分成两类；?(x) ； 一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成?若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项

17、；u ?( x )2. f (u) du ? f ?(x)?(? x)dx ? ?5 / 8 姓名： 班级： 学号：Note：常见代换类型: ?2 2x? a ) x ? a sec t f (x , dx ， ?2 2a? x ) f (x , dx ， x ? a tan t ?n ? f (x , ax ? b ) dx ， t ?n ax ? b 2 2a? x ) x ? a sin t f (x , dx ， ?t ? a? f (a) dx ，x x ? f (x , ?n a x?b c x?d) dx ， t ?n c x?da x?b ?三、分部积分法： uv?dx ? u

18、v ? u?v dx . Note：按“ 反对幂指三” 的顺序，谁在前谁为u u?v 要比uv? 容易计算；适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：xt ? x ）； arcsin x ?1dx ， e ? ? dx （? ?多次使用分部积分法：u u? u ? ? 求导 v? v三、 有理函数的积分? v ? 积分? P(x) ?1. 假分式= 多项式 + 真分式? ? ；Q(x) ? ?2. 真分式= （拆成）若干部分分式之和；Note：拆项步骤：将分母分解： Q(x) ? (x ? a)?(x? p x ? q)根据因式的情况将真分式拆成分式之和：?2 2 2? p2 ?

19、 4q ? 0?B1x ?C1 ?B2 x ?C2 P1 (x) ?A1 ? A22? ?Q(x) x ? a ? x ? a ? x 2 ? p x ? q (x 2 ? p x ? q) 23. 逐项积分. 注：有时一个题目会用到几种积分方法，要将所有的方法灵活运用，融会贯通！第五章 定积分一、 定积分的概念及性质1. 定义：?b n af (x)dx ? lim i = ? f (?i )?x i ，其中?0 i?1(b ? a)i n；2. 几何意义： f (x) ? 0 , ?b a bf (x) dx 曲边梯形面积f (x) ? 0 , ?f (x) dx 曲边梯形面积的负值a 6

20、 / 8 姓名： 班级： 学号：3. 性质：b a a（1）?a f (x) dx ? ?b f (x) dx ?a f (x) dx ? 0（2） ?dx ? b ? aa b a b b（3）?k f (x) dx ? k ?f (x) dx ; b bb a（4）a b f (x) ? g(x)dx ? ?a f (x) dx ? ?a g(x) dx ;c b（5）a f (x) dx ? ?a f (x) dx ? ?c f (x) dx ; （6）若在a, b 上 f (x) ? 0 ，则?b a f (x) dx ? 0 ;（7） 设 M ? max f (x), m ? min

21、 f (x) ，则 m(b ? a) ?a , ba , b?b af (x) dx ? M (b ? a) ; b（8）积分中值定理：?a f (x) dx ? f (?)(b ? a) ，?a , b .4. 变上限函数： ?(x) ?x af (t) dt d ?( x)? ? f (x) ； Note： f (t) dt f (t) dt ?f ?(x)?(x) ?x a d x d x?(x ) ?f (t) dt ?d ?( x) f (t) dt d ? a f (t) dt ?a ?d x ? ?( x) d x ?( x)? ?b d ? f ?(x)?(x) ? f ?(x)?(x) 5. 牛顿莱布尼茨公式：? f (x) dx ? F (x) ?