统计学常用公式

1、公式一1. 众数【 MODE】（ 1） 未分组数据或单变量值分组数据众数的计算未分组数据或单变量值分组数据的众数就是出现次数最多的变量值。（ 2） 组距分组数据众数的计算对于组距分组数据，先找出出现次数最多的变量值所在组，即为众数所在组，再根据下面的公式计算计算众数的近似值。下限公式：M0 =L+1i1 +2式中： M 0 表示众数； L 表示众数的下线；1 表示众数组次数与上一组次数之差；2 表示众数组次数与下一组次数之差；i 表示众数组的组距。上限公式：M 0=U-2i1+2式中： U 表示众数组的上限。2中位数【 MEDIAN】（ 1）未分组数据中中位数的计算根据未分组数据计算中位数时，

2、要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置。设一组数据按从小到大排序后为X 1， X 2， ， X N ，中位数 M e ，为则有：M e =X（ N+1）当 N为奇数21X N+X N当 N为偶数M e =222+1（ 2）分组数据中位数的计算分组数据中位数的计算时，要先根据公式 N / 2 确定中位数的位置，并确定中位数所在的组，然后采用下面的公式计算中位数的近似值：Ni =1fi-Sm-12M e =L+df m式中： M e 表示中位数； L 表示中位数所在组的下限；Sm-1 表示中位数所在组以下各组的累计次数； f m 表示中位数所在组的次数；d 表示中位数所在组的组距。3均值的计算【

3、 AVERAGE】（ 1）未经分组均值的计算nx1 +x2 + xnxi未经分组数据均值的计算公式为：=i 1x =nn（ 2）分组数据均值计算kx1 f1 +x2 f 2+L +xk f kxi fi分组数据均值的计算公式为：=i 1x=+L +fkkf1 f 2fii 14几何平均数【 GEOMEAN】几何平均数是 N个变量值乘积的N次方根，计算公式为：nG= n x1x2xn = nxii -1式中： G表示几何平均数；表示连乘符号。5调和平均数【 HARMEAN】调和平均数是对变量的倒数求平均， 然后再取倒数而得到的平均数， 它有简单调和平均数与加权调和平均数两种计算形式。简单调和平均

4、数 ：H= 1n1 = nn11+xxxi1 xi12nnm1 +m2 +mnmi加权调和平均数 ：i1H= m1m2mn= n mi+x1x2xni1 xi式中： H 表示调和平均数。6极差【 Range】极差也称全距，是一组数据的最大值与最小值之差，即R= max x-minxii式中： R 表示极差； max xi 和 minxi分别表示一组数据的最大值与最小值。7平均差【 Mean Deviation 】平均差是各标志值与其平均数的绝对离差的算术平均。nx -x（1） 根据未分组资料的计算公式 ：iAD= i 1nn（2） 根据分组资料的计算公式 ：AD= i 1xi -x f inf

5、ii 1式中： AD表示平均差8方差【 Variance 】和标准差【 Standard Deviation】方差是各变量值与其均值离差平方的平均数。要求掌握方差和标准差的计算方法。n22x x未分组数据方差的计算公式为：i 1nn22xix fi分组数据方差的计算公式为 ：i 1nfii1式中：2 表示方差。方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为：n2x x未分组数据 ：i 1nn2xx fii分组数据 ：i 1nfii1式中：表示标准差。9离散系数离散系数通常是就标准差来计算的，因此，也称为标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标。其计算公式为：

6、Vx式中： V 表示离散系数。10偏态【 SKEW】偏态是对分布偏斜方向及程度的测度。 利用众数、中位数和均值之间的关系就可以判断分布是左偏还是右偏。显然，判别偏态的方向并不困难，但要测度偏斜的程度就需要计算偏态系数了。nEXCEL中偏态系数的计算公式为：3nxi -xn-1n-2i1s11峰值【 KURT】EXCEL中峰值系数的计算公式为：n n1n1n2n3式中： s 表示样本标准差。n42xi-x3 n1i 1sn 1n 3公式二1均值估计（ 1）样本均值的标准差样本均值的标准差，即为样本均值的标准误差，又称为样本均值的抽样平均误差, 它反映的是所有可能样本的均值与总体均值的平均差异程度

7、，反映了所有可能样本的实际抽样误差水平。样本均值的抽样平均误差计算公式为：重复抽样方式 ：x2nn不重复抽样方式 ：x2NnnN1通常情况下，当 N 很大时，（ N-1）几乎等于 N，样本均值的抽样平均误差的计算公式也可简化为：2nx1nN在公式中， 是总体标准差。但实际计算时，所研究总体的标准差通常是未知的，在大样本的情况下，通常用样本标准差 S 代替。（ 2）大样本均值的极限误差xZ 2x（ 3）大样本下总体均值的区间估计总体均值的置信度为（1）的置信区间：xz 2xxz 2x即 xz 2xz 2nn（ 4）总体方差未知，小样本正态总体均值的区间估计总体均值的置信度为（ 1 ）的置信区间：

8、xt 2xxt 2x即x tsx ts22nn2比例估计（ 1）样本比例的抽样平均误差样本比例的抽样平均误差为：重复抽样下 ：pp 1pn上式中， p 应为总体比例，实际计算时通常用样本比例p 代替。不重复抽样下 ：p 1 pNnp 1 pnpN1n1nN（ 2）样本比例的抽样极限误差PZ 2p（ 3）总体比率的区间估计总体比例 P 的置信度为（ 1）的置信区间为：pPppP即pZ 2pppZ 2p3总体均值检验（ 1） 单一总体均值检验正态总体（总体方差已知）或大样本均值检验检验统计量 Z 为：x0Zn正态总体（总体方差未知）小样本均值检验检验统计量 t 为：tx0sn（ 2） 两个总体的均

9、值检验两个正态总体均值检验两个总体方差已知或大样本Z 检验统计量为：x1 x2 -12Z2212n1n2大样本下对两个总体均值进行检验时，在总体标准差未知的情况下， 可用样本标准差代替总体标准差进行计算，检验统计量不变。两个正态总体均值检验（小样本）两个总体方差未知但相等T 检验统计量为：x1 x2 -12Z1 1 sp n1 n2n1 1 s12n2 1 s22spn22n1其中：s21n12s21n22xx ；xx1n11 ii12n2i211 i 14 总体比例检验（ 1） 单一总体的比例检验Z 检验统计量：pp0Zp01p0n（ 2） 两个总体比例的检验?检验的统计量为：Zp1p2?1

10、?1?ppppn1n2?n1 p1n2 p2?， p 为当 p1p2 时 p1和 p2的联合估计值。其中： pn1n25总体方差假设检验（ 1） 单一正态总体方差的假设检验检验统计量为：2 n 1 s220n22xix2其中： si 1为的估计量。n 1（ 2） 两个正态总体的方差假设检验检验统计量为：F s12 s22n12n22xxxx2i 1i2i 1i其中：；。s1n11s2n21公式三1. 单因素方差分析设总体共分为k 种处理进行观察，第j 种处理试验了容量为nj 的样本。（ 1） 计算各项离差平方和在单因素方差分析中，需要计算的离差平方和有 3 个，它们分别是总离差平方和， 误差项

11、离差平方和以及水平项离差平方和。总离差平方和 ，用 SST（Sum of Squares for Total）代表：n j2kSSTxij xi 1j 1式中： x 表示全部样本观测值的总均值。其计算公式为：xijxn误差离差平方和 ，用 SSE（ Sum of Squares for Error）代表：n jk2SSExijxji 1j1njxij式中： xj 表示第 j 种水平的样本均值，x ji 1n j水平项离差平方和 。为了后面叙述方便，可以把单因素方差分析中的因素称为A。于是水平项离差平方和可以用 SSA（Sum of Squares for Factor A）表示。njk2SSA

12、的计算公式为：SSAx jxi 1j 1（ 2） 计算平均平方用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。对 SST来说，其自由度为（ n-1 ）；对 SSA来说，其自由度为（ r-1 ），这里 r 表示水平的个数；对SSE来说，其自由度为（ n-r ）。与离差平方和一样， SST、SSA、SSE之间的自由度也存在着如下的关系：n-1= （r-1 ） +（ n-r ）对于 SSA，其平均平方 MSA（组间均方差）为：SSAMSA1r对于 SSE，其平均平方 MSE（组内均方差）为：SSEMSErn（ 3） 检验统计量 FMSAFMSE2两因素方差分析设两个因素 A、B

13、分别有 k 个水平和 n 个水平，共进行nk 次试验。（ 1） 计算各项离差平方和在两因素方差分析中，需要计算的离差平方和有 4 个，它们分别是总离差平方和， 误差项离差平方和以及水平 A、B 项离差平方和。2总离差平方和 ，用 SST（Sum of Squares for Total）代表：SSTxijx式中： x 表示全部样本观察值的总均值，其计算公式为：1n kxxijnk i 1 j 1水平项离差平方和 可以分别用 SSA（Sum of Squares for Factor A）和 SSB（ Sum of Squaresfor Factor B）表示。nk2SSA的计算公式为：SSAx

14、? jxi 1j1式中：1nx? jxijn i1SSB的计算公式为：nk2SSBi1j 1xi ? x式中：1kxijxi ?kj1误差离差平方和 ，用 SSE（ Sum of Squares for Error）代表：nk2SSExij xi ? x? j xi 1j 1（ 2） 计算平均平方用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（MeanSquare）。对 SST来说，其自由度为（ nk-1 ）；对 SSA来说，其自由度为（ k-1 ），这里 k 表示水平 A 的个数；对 SSB来说，其自由度为（ n-1 ），这里 n 表示水平 B 的个数；对 SSE来说，其自由度为（ n-1 ）（k-1 ）。这样，把各项离差平方和