勾股定理(讲义)

1、勾股定理 一、知识归纳 1 勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a， b，斜边为c ,那么a2 b2 c2 2 .勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对 于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所 考察的对象是直角三角形 3 .勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长，求第三边 2 2 2 2 2 2 在 ABC 中， C 90 ，贝U c a b , b c a , a . c b 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 二

2、、题型 题型一：直接考查勾股定理 例1 在ABC中，C 90 已知AC 6 , BC 8 .求AB的长 已知AB 17, AC 15，求BC的长 解： 题型二：应用勾股定理建立方程 例 2 .在 ABC 中， ACB 90 , AB 5 cm , BC 3 cm , CD AB 于 D , CD = 已知直角三角形的两直角边长之比为 3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 已知直角三角形的周长为 30 cm，斜边长为13 cm，则这个三角形的面积为 例 3 如图 ABC 中， C 90 ,12 , CD 1.5, BD 2.5，求 AC 的长 例4.如图Rt ABC , C 90 AC 3

3、,BC 4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 题型三：实际问题中应用勾股定理 例5.如图有两棵树，一棵高 8 cm，另一棵高2 cm，两树相距8 cm，一只小鸟从一棵树的树 梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m D C 三、勾股定理的逆定理知识归纳 1. 勾股定理的逆定理： 2 2 2 如果三角形的三边长 a, b, c有下面关系：a + b = c，那么这个三角形是直角三角形， 其中c为斜边。 2. 常用的平方数 2 2 2 2 2 2 2 11 = 12 = 13 = 14 = 15 = 16 = 17 2 2 2 2 = 18 = 19 = 20 = 25 = 注意.如果三角形三边长

4、a , b , c满足a b c ,那么这个三角形是直角三角形， 其中c为 斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数 2 2 转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a b与较 长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若 a2 b2 c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若 a2 b2 c2，时，以a，b， c为三边的三角形是锐角三角形； 3. 勾股数： 2 2 2 满足a + b = c的三个正整数叫做勾股数(注意：若a, b, c、为勾股数，那么 ka, kb, kc同样也

5、是勾股数组。) 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25 ; 8,15,17等 用含字母的代数式表示n组勾股数： n2 1,2n, n21 ( n 2, n 为正整数)； 2n 1,2n22n,2n2 2n 1 ( n 为正整数) 2 2 2 2 m n ,2mn, m n ( m n, m , n 为正整数) *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10 ； 9,12,15 ； 5,12,13 4判断直角三角形： (1) 有一个角为90的三角形是直角三角形。 (2) 有两个角互余的三角形是直角三角形。 2 2 2 (3) 如果三角形

6、的三边长 a、b、c满足a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形。 (经典直角三角形：勾三、股四、弦五) 注：用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： (1) 确定最大边(不妨设为 c )； 2 2 2 (2) 若c = a + b，则 ABC是以/ C为直角的三角形； 22 2 若a + b c ,则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边) 5. 直角三角形的性质： (1) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (2) 在直角三角形中，如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一 半。 (3) 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角 等

7、于30。 题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 例6.已知三角形的三边长为 a , b , c，判定 ABC是否为Rt 52 a 1.5, b 2, c 2.5 a - , b 1, c - 4 3 解： 例7三边长为a , b , c满足a b 10 , ab 18, c 8的三角形是什么形状? 解 题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例 8已知 ABC 中，AB 13 cm，BC 10 cm，BC 边上的中线 AD 12 cm，求证：AB AC 证明： 练习 1. 已知一个Rt的两边长分别为 3和4,则第三边长是 2. 如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm

8、，那么这个圆锥的母线L是 3 .直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边上的咼为 4. 已知等腰三角形的腰长是 6cm，底边长是8cm，那么这个等腰三角形的面积是 . 5 .如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边 长为8,正方形A的面积是10，B的面积是11, C的面积是13,则D的面积之为 6. 如图，C、D分别是一个湖的南、北两端 A和B正东方向的两个村庄，CD= 6 km，且 D位于C的北偏东30 方向上，则AB=km BD A C 第6 |第 13题 第9题 12 7. 如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树

9、梢飞到另 一棵树的树梢，则它至少要飞行米. （结果精确到 、.31.732 ） r I 30 .- A （第10题图） B1 P B 第 11 题 图 &如图，直线L过正方形 ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是 1和2，则 正方形的 ABCD的面积是 . 9.如图是一个长方体长 4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为 。 10某校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯如果地毯的宽度恰 好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30 , BCA 90：，台阶的 高BC为2米，那么请你帮忙算一算需要 米长的地毯恰好能铺好台阶. 0.1m ,取、21.4

10、14 ABCD的面积3为1,按上述 方法所作的正方形的面积依次为 S2, S3，Sn （n为正整数） ，那么第8个正方形的 面积S8 二、看准了再选 13. “数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点 P所表示的数是5 ”，这种利用图 形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（ A.代入法 E.换元法 ） C.数形结合的思想方法 D.分类讨论的思想方法 32cm 11 有一圆柱体高为 10cm，底面圆的半径为 4cm, AA1、BB为相对的两条母线。在 AA上 有一个蜘蛛 Q, QA=3cm；在BB 上有一只苍蝇 P, PB=2 cm。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到 P点吃苍蝇，最短的路径是 cm。

11、（结果用带n和根号的式子表示） 12.如图，如果以正方形 ABCD的对角线 AC为边作第二个正方形 ACEF,再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH,如此下去，已知正方形 第17题 14.下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（） A. a 7,b 24,c 25 D. a 15,b 8,c 17 B. a 1.5,b 2,c 2.5 2 5 C. a,b 2,c - 3 4 15两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝正东方挖，每分钟挖 8cm，另一只朝正南方挖，每分 钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（） A. 50cm B.100cmC.140cm D. 80cm 16.如图一个圆桶

12、儿，底面直径为24cm,高为32cm,则桶内能容下的最长的木棒为 （） A.20cm B.50cm C.40cmD.45cm 17 若等边厶ABC的边长为4cm，那么 ABC的面积为（）. A. 2 .3 cm2 B. 4、3 cm? C. 6、3 cm? D. 8cm2 18.如图（2）,在直角坐标系中， OBC的顶点 0 （0, 0）, B （-6 , 0）,且/ OCB=90 , ?OC=B则点C关于y轴对称的点的坐标是（） A. （3, 3） B. （-3 , 3） C. （-3 , -3 ） D. （ 3.2 , 3 . 2 ） 19如图所示：数轴上点A所表示的数为a,则a的值是（）

13、 A. .5+1B. -、5+1 C. . 5-1 D.5 20. 直角三角形的周长为 24,斜边长为10 ,则其面积为（）. A. 96B. 49C. 24D. 48 21. 老李家有一块草坪如图所示.已知AB=3米,BC=4米,CD=12米,DA=13米，且AB丄BC,这块草 坪的面积是（） 2 2 2 2 A. 24 米.B.36米.C.48米.D.72 米. 22. 在一块平地上，李大爷家屋前9米远处有一棵大树.在一次强风中，这棵大树从离地 面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米.出门在外的李大爷担心自己的房子被倒 下的大树砸到.大树倒下时能砸到李大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回 答.（） A. 定不会E.可能会C. 一定会D.以上答案都不对 23. 如图，在直角坐标系中，将矩形 OABC沿OB对折，使点A落在A处，已知OA= 3 , AB=1，则点Ai的坐标是（ ）。 3 3、 2 2 佇,3) c、（| 孑 三、想好了再规范的写 AB = 3.00 cm CA = 4.11 cm 24、已知：在四边形 ABCD 中