相似三角形综合应用

1、第4讲相似三角形综合应用【例1】 在平面坐标系中，正方形 ABCD勺位置如图所示，点 A的坐标为（1, 0）,点D的坐标为（0, 2）,延长CB交x轴于点A，作正方形AiBiCiC，延长CiBi交x轴于点A?，作正方形A2B2GC，,按这样的规律进行 下去，第20i2个正方形的面积为（）yXO0AAiAA.F申2010B.B* 已 M104c.申毗D.乳申贬【例2】 如图，梯形ABCD中 AD/ BC对角线AC BD相交于点O,若AO CO=2 3, AD=4,则BC等于（）A.Ai2b.B8C.C7D.D6【例3】 如图，在直角三角形 ABC中（/C=90 ），放置边长分别3, 4,x的三个

2、正方形,则x的值为（）CABCDA.5B.6C.7D.12【例4】 如图，等边三角形ABC的边长为3,点P为BC边上一点，且BP=i,点D为AC边上一点，若/APD=60， 则CD的长为（）S PCACDA.2B.3C4D.1【例5】 如图， ABC中，BC=2, DE是它的中位线，下面三个结论：（1） ADE的面积与厶ABC的面积之比为1： 4 .其中正确的有（）；(2) AD0A ABC ( 3)BB.1个CC.2个A.0个【例6】 在?ABCD中，点E为AD的中点，连接 BE,交AC于点F,则AF： CF=DD.3个)ABA.1 : 2B.1 : 3C.C 2： 3【例7】 如图，在平行

3、四边形 ABCD（ AB BC）,直线EF经过其对角线的交点N,交BA DC的延长线于点 E、F,下列结论：AO=BOOE=OF厶EAMTA EBN厶EAO CNQ其中正确的是（）DD.2： 5O,且分别交 AD BC于点MDABA.B.C.【例8】 已知：如图，在 ABC中，/ AEDM B,则下列等式成立的是（CDD.A.I I.C.1.C. CB AE-d_j!d. 77AE=30, EC=32.若/ A=50 ,【例9】 如图为一 ABC其中 D E两点分别在 AB AC上，且AD=31, DB=29 则图中/ 1、/ 2、/ 3、/4的大小关系，下列何者正确？（）A. /1/3B.

4、/ 2=/4C. /1/4DD./ 2=/3【例10】 如图，在 ABC中，/ ACB=90 , CDLAB于点D,下列说法中正确的个数是（ AC?BC=AB?CD AC=AD?DB bC=bd?ba cD=ad?dbAA.1个BB.2个CC.3个D.D 4个【例11】如图，已知等腰三角形 ABC中，求证：4DH DA=BC2AB = AC，咼AD , BE相交于H【例12】 如图，在直角梯形 ABCD中，AB / CD , AB _ BC，对角线 AC _ BD，垂足为E , AD = BD ,过E的直线EF / AB交AD于F .(1) AF = BE,(2) AF2 =AE EC .【例

5、13】 如图，已知梯形 ABCD中，AD/BC , AB=DC=3 , P是BC上一点，PE/AB交AC于E, PF/CD 交BD于F,当P点在BC边上移动时，PE+PF的值是否变化？若变化，求出它的取值范围；若不变化，求出 它的值.【例14】阅读下列材料：已知：如图，矩形 ABCD中，AC、BD相交于点O, 0E丄BC于E,连结DE交 0C于点F，作FG丄BC于G.求证：点 G是线段BC的一个三等分点.请你仿照（1）的画法，在原图上画出 BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）.E GC【例15】 如图，在等腰梯形 ABCD中，AD / BC, AD=3 cm, BC=7

6、 cm, / B=60 , P为下底BC上一点（不 与B、C重合），连结 AP，过P点作PE交DC于E,使得/ APE= / B .求证： ABP PCE;求等 腰梯形的腰 AB的长；在底边 BC上是否存在一点 P,使得DE : EC=5 : 3?如果存在，求出 BP的长，如 果不存在，请说明理由.【例16】 如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , AD平分/ CAB交于点D，过点C作CE丄AD于E, CE的 延长线交 AB于点F,过点E作EG / BC交AB于G, AE-AD=16 , AB=4 5 .求证:CE=EF ;求 EG的长.【例17】 如图，在矩形ABCD中，AB=12

7、cm, BC=6皿，点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度 移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动.如果 P、Q同时出发，用t ( s)表示移动的 时间(OWt弓6那么当t为何值时， QAP为等腰直角三角形； 求四边形QAPC的面积，提出一个与 计算结果有关的结论； 当t为何值时，以点 Q、A、P为顶点的三角形与 ABC相似？【例18】 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为Si , S2，则S的值为【例19】我们定义：四个顶点都在三角形边上的方形是三角形的内接正方形C=90 AC=6 , BC=3.(1) 如图1，四边形CDEF是厶

8、ABC的内接正方形，则正方形 CDEF的边长印是;(2) 如图2,四边形DGHI是(1 )中厶EDA的内接正方形，则第 2个正方形DGHI的边长a2=;继续在图2中的 HGA中按上述方法作第 3个内接正方形；以此类推，则第n个内接正方形的边长 an=. ( n为正整数)【例20】 如图，直线I : y X，点A坐标为(，过点A作y轴的垂线交直线I于点Bl ,以原点O为 3圆心，OBi长为半径画弧交y 一轴于点A2 ；再过点A2作y轴的垂线交直线于点 B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交 y轴于点 A，按此做法进行下去， 点A4的坐标为(, )；点An的坐标为(, ).xn =1( n是自

9、然数)A| A2 _ A2A3AzA -A3A4A3 A4A4AnAn代代1,则直线kx b的解析式为，点B3的坐标为【例21】 如图，设四边形 ABCD是边长为1的正方形，以正方形 ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线 AE为边作第三个正方形 AEGH，如此下去 (1)记正方形ABCD的边长为& =1，按上述方法所作的正方形的边长依次为ai, a2, as，,an,求出a4 =；(2)根据以上规律写出第 n个正方形的边长an的表达式【例 22】 矩形A1B1C1O,A2B2C2C1,Ab B3C3C2,按如图所示放置.点A1,A2,A3,A4,和点 G ,

10、 C2 ,C3 ,C4 ,分别在直线y =kx+b(k0)和x轴上，若点Bd1,2) ,B2(3,4),且满足，点Bn的坐标为【例23】 如图，n+i个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设B2DiCi的面积为S . B3D2C2的面积为S2，iBn+DnCn的面积为W，则3=；Sn =（用含n的式子表示）【例24】 如图，nJ个上底、两腰长皆为 1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形RMdz面积为Si ,四边形BM2N2N3的面积为S2 ,四边形PnMnNnNni的面积记为 ,（阴影部分） 通过计算 Sn =.【例25】 如图，已知直线II: y = ：j3x，过点Ai

11、 1,0作X轴的垂线交直线I于点Bi，在线段ABi右侧作等边三角形AEG，过点G作X轴的垂线交X轴于A，交直线I于点B2，在线段A2B2右侧作等边三角形A2B2C2，按此作法继续下去则B2的坐标为 ； Bn的坐标为 .（n为正整数）【拓展】如图1,在平面直角坐标系中，直线 I与坐标轴相交于 A (2半,0), B (0,半)两点，将Rt AOB 绕原点O逆时针旋转得到 Rt A OB.(1) 求直线I的解析式；(2) 若OA丄AB，垂足为D，求点D的坐标；(3) 如图2,若将Rt AOB绕原点O逆时针旋转90 A B与直线I相交于点F，点E为x轴上一动点.试探究：是否存在点E，使得以点A, E

12、, F为顶点的三角形和 A BB相似.若家庭作业1.如图，在Rt ABC内有边长分别为 a, b, c的三个正方形则 a, b, c满足的关系式是（2 2 2A. b 二 a c B b 二 ac C b 二 a 亠 c d . b 二 2a 二 2c2.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与厶 ABC相似的是（）3.如图，五边形2ABCD罰五边形ABCDEi是位似图形，且PA二土 PA,3AB?AiBi 等于（）A.2B.C.D.（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石,4 34. 厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石.那么黑色大理石的

13、面积与白色大理石面积的比是（5. 下列说法“位似图形都相似；位似图形都是平移后再放大（或缩小）得到；直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1 : 2;两个相似多边形的面积比为 4 ： 9，则周长的比为16 : 81. ”中，正确的有（）A 1个B、2个C、3个 D 4个6. 如图，点 M在BC上，点N在AM上，CM=CN二 空，下列结论正确的是（）AN CMA. . ABMh. ACBB. ：ANC ：AMBAC. . ANS ACMD. ：CMN ：BCA7.如图，路灯距地面 8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O） 20米的点A处，沿0A所在的直线行走14米到点B时，人影的长度A.增大1

14、.5米 B.减小1.5米C. 增大3.5米D.减小3.5米68.如图，在平行四边形 ABCD中，M N为AB的三等分点，DM DN分别交AC于P、Q两点，贝U AP: PQQC=9. 如图，已知点 D是 AB边的中点,AF / BC,CG： GA=3： 1,BC=8,贝U AF=C10. 如图，在平面直角坐标系中有两点A （4, 0） , B（ 0, 2）,如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的时，使得 BOSA AOB.11. 阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 2.7m宽的亮区（如图所示）,已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.EAd/12.如图，在 ABC中，AB=AC=1点D,E在直线 BC上运动.设 BD=x, CE=y.(l )如果/ BAC=30,Z DAE=l050,试确定y与x之间的函数关系式；(2 )如果/ BACa , / DAE=3 ,当a , 3满足怎样的关系时，(I )中y与x之间的函数关系式还成立? 试说明理由.第茨题图P、Q