2020_2021学年高中数学第二章数列2.5第1课时等比数列的前n项和公式的推导及简单应用学案含解析新人教A版必修520210311258

1、25等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和公式的推导及简单应用内容标准学科素养1.理解等比数列前n项和公式的推导过程2.掌握等比数列前n项和的公式，会用前n项和公式解决等比数列问题.提升数学运算发展逻辑推理应用数学建模授课提示：对应学生用书第41页基础认识知识点等比数列前n项和公式等差数列有求和公式，对于等比数列，可用a1和q求Sna1a2an吗？(1)若等比数列an的公比q1，这时数列an是什么数列？其前n项和公式是什么？提示：常数列(2)对于等比数列an，q1.Sna1a2an1ana1a1qa1q2a1qn2a1qn1，qSna1qa1q2a1q3a1qn1a1qn，后Sn能用a1

2、和q表示吗？提示：Sn. 知识梳理等比数列的前n项和公式Sn.Sn用an、a1和q怎么表示，Sn.自我检测1数列2n1的前99项和为()A21001B12100C2991 D1299答案：C2在等比数列an中，q2，n5，Sn62，则a1_.答案：2授课提示：对应学生用书第41页探究一等比数列的前n项和公式的基本运算阅读教材P56例1及P61A组第1题方法步骤：(1)确定a1和q.(2)利用Sn及an建立方程例1(1)若an32n，求S6.解析因为an32n62n1，所以该等比数列的首项a16，公比q2，于是S6378.(2)已知等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a2a410，b2b4

3、a5.求an的通项公式；求和：b1b3b5b2n1.解析设an的公差为d，bn的公比为q.则a2a42a310，即a35.故a3a12d514，即d2.an12(n1)2n1(nN*)由知a59，即b2b49，则bq49，q23.bn是公比为q的等比数列，b1，b3，b5，b2n1构成首项为1，公比为q23的等比数列，b1b3b5b2n1(nN*)方法技巧(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论(2)当q1时，等比数列是常数列，所以Snna1；当q1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式当已知a1，q与n时，用Sn比较方便；当已知a1，

4、q与an时，用Sn比较方便跟踪探究1.求和：Sn1aa2an1.解析：(1)当a0时，数列1，a，a2，an1不是等比数列，Sn1.(2)当a1时，Snna1，即Snn.(3)当a0且a1时，Sn.若令a0，可得Sn1，满足关系式Sn.故Sn例2在等比数列an中，(1)若Sn189，q2，an96，求a1和n；(2)若a1a310，a4a6，求a4和S5；(3)若q2，S41，求S8.解析(1)由Sn，ana1qn1以及已知条件得a12n192，2n.189a1(2n1)a1(1)，a13.又2n132，n6.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得即a10,1q20，得q3，即q，a18.a

5、4a1q3831，S5.(3)法一：q2，S41，1，即a1，S817.法二：S41，且q2，S8(1q4)S4(1q4)1(124)17.方法技巧(1)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时用整体代换的思想(2)在等比数列中，对于a1，q，n，an，Sn五个量，若已知其中三个量就可求出其余两量，常常列方程组来解答问题跟踪探究2.已知等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则()A3B4C. D.解析：已知等比数列an的首项为a1，则.答案：C3若首项为1的等比数列an(nN*)的前3项和为3，则公比q为()A2 B1C2或1 D2或1解析：当q1时

6、，S33a13，符合题意；当q1时，S31qq23，解得q2.答案：C探究二等比数列前n项和的实际应用阅读教材P56例2方法步骤：(1)判断等比数列(2)写明已知条件(3)建立Sn的关系式求n.例3某市决定将燃油型公交车，尽快换为电力型公交车该市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2019年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.(1)该市在2025年应该投入电力型公交车多少辆？(2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？解析(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列an，其中a1128，q1.5，2025年应投入电力型公交车为a7a1q6

7、1281.561 458(辆)(2)设an的前n项和为Sn，则Sn256(1.5n1)，由Sn(10 000Sn)，即Sn5 000，解得n7.到2026年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.方法技巧应用数列知识解决实际问题的步骤(1)根据实际问题提取数据；(2)建立数据关系，对提取的数据进行分析、归纳，建立数列的通项公式或递推关系；(3)检验关系是否符合实际，符合实际可以使用，不符合则要修改关系；(4)利用合理的结论对实际问题展开讨论跟踪探究4.一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过1

8、25 m 吗？解析：用an表示热气球在第n分钟内上升的高度，由题意，得an1an，因此，数列an是首项a125，公比q的等比数列热气球在前n分钟内上升的总高度Sna1a2an125125，即这个热气球上升的高度不可能超过125 m.授课提示：对应学生用书第42页课后小结(1)等比数列前n项和的三点说明求和公式中是qn，通项公式中是qn1，不要混淆应用求和公式时注意公比q的取值，必要时应讨论q1和q1的情况利用方程思想在a1，q，n，Sn和a1，an，q，Sn中，各已知三个量可求第四个量(2)等比数列前n项和的推导方法错位相减法：即本节的课前探究的方法定义法：由等比数列的定义，得q.根据比例的性

9、质，得q(n2)，故(1q)Sna1anq.所得结论同上素养培优等比数列前n项和公式推导方法的拓展应用错位相减法是一种重要的数列求和方法，等比数列前n项和公式的推导用的就是错位相减法当一个数列由等差数列与等比数列对应项的乘积构成时，可使用此法求数列的前n项和设数列an为等差数列，公差为d；数列bn为等比数列，公比为q(q1)；数列anbn的前n项和为Tn.则Tn的求解步骤如下：(1)列出和式Tna1b1a2b2a3b3anbn.(2)两边同乘以公比q：qTna1b1qa2b2qa3b3qanbnqa1b2a2b3a3b4anbn1.(3)两式相减(错位相减)并求和：(1q)Tna1b1(a2b

10、2a1b2)(a3b3a2b3)(anbnan1bn)anbn1a1b1(a2a1)b2(a3a2)b3(anan1)bnanbn1a1b1d(b2b3bn)anbn1a1b1danbn1.(4)两边同除以(1q)即得数列anbn的前n项和Tn.1求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1，的前n项和Sn，其中a0.解析：当a1时，数列变为1,3,5,7，(2n1)，则Snn2.当a1时，Sn13a5a27a3(2n1)an1，aSna3a25a37a4(2n1)an.，得SnaSn12a2a22a32an1(2n1)an，即(1a)Sn1(2n1)an2(aa2a3an1)1(2n1)an21(2n1)an.1a0，Sn.2已知数列an是等差数列，且a12，a1a2a312，(1)求数列an的通项公式；(2)令bnan3n，求数列b